Прямоугольный потенциальный барьер

В квантовой механике прямоугольный ( иногда квадратный ) потенциальный барьер представляет собой стандартную одномерную задачу, демонстрирующую явления волново-механического туннелирования (также называемого «квантовым туннелированием») и волново-механического отражения. Задача состоит в решении одномерного стационарного уравнения Шредингера для частицы, встречающей прямоугольный потенциальный энергетический барьер. Обычно предполагается, как и здесь, что свободная частица падает на барьер слева.

Хотя классически частица , ведущая себя как точечная масса , будет отражаться, если ее энергия меньше чем В классической волновой физике этот эффект известен как затухающая волновая связь . Вероятность того, что частица пройдет через барьер, определяется коэффициентом прохождения, тогда как вероятность того, что она отразится, определяется коэффициентом отражения . Волновое уравнение Шредингера позволяет рассчитать эти коэффициенты. ${\ Displaystyle В_ {0}}$

Не зависящее от времени уравнение Шрёдингера для волновой функции имеет вид ${\ Displaystyle \ фунтов на квадратный дюйм (х)}$

Барьер расположен между и . Барьер можно переместить в любое положение без изменения результатов. Первый член гамильтониана - это кинетическая энергия. ${\ Displaystyle х = 0}$ ${\ Displaystyle х = а}$ ${\ Displaystyle х}$ ${\ textstyle -{\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ psi}$

Барьер делит пространство на три части ( ). В любой из этих частей потенциал постоянен, что означает, что частица квазисвободна, и решение уравнения Шредингера можно записать как суперпозицию левых и правых движущихся волн (см. Свободная частица ). Если ${\ Displaystyle х <0,0 <х <а, х> а}$ ${\ Displaystyle Е> V_ {0}}$

Индекс на коэффициентах и обозначает направление вектора скорости. Обратите внимание, что, если энергия частицы ниже высоты барьера, становится мнимой, и волновая функция экспоненциально затухает внутри барьера. Тем не менее, мы сохраняем обозначение , хотя волны в этом случае больше не распространяются. Вот и предположили . Случай рассматривается ниже. ${\ Displaystyle р / л}$ ${\ Displaystyle А}$ ${\ Displaystyle В}$ ${\ Displaystyle к_ {1}}$ ${\ Displaystyle р / л}$ $E\neq V_{0}$ $E=V_{0}$

Рассеяние на конечном потенциальном барьере высотой . Указаны амплитуды и направления левых и правых движущихся волн. Красным цветом обозначены волны, используемые для определения амплитуды отражения и передачи. для этой иллюстрации.

V_{0}

E>V_{0}

Вероятность прохождения через конечный потенциальный барьер для = 1, 3 и 7. Штрих: классический результат. Сплошная линия: квантово-механический результат.

{\textstyle {\sqrt {2mV_{0}}}a/\hbar }