Теорема Фиттинга - это математическая теорема, доказанная Гансом Фиттингом . Это можно сформулировать следующим образом:
- Если М и N являются нильпотентные нормальные подгруппы из в группе G , то их произведение МН также нильпотентная нормальная подгруппа группы G ; если, кроме того, M нильпотентен класса m и N нильпотентен класса n , то MN нильпотентен класса не выше m + n .
По индукции также следует, что подгруппа, порожденная конечным набором нильпотентных нормальных подгрупп, нильпотентна. Это может быть использовано, чтобы показать, что подгруппа Фиттинга некоторых типов групп (включая все конечные группы ) нильпотентна. Однако подгруппа, порожденная бесконечным набором нильпотентных нормальных подгрупп, не обязательно должна быть нильпотентной.
Теоретико-упорядоченное утверждение
С точки зрения теории порядка (часть) теоремы Фиттинга можно сформулировать так:
- Множество нильпотентных нормальных подгрупп образуют решетку подгрупп .
Таким образом, нильпотентные нормальные подгруппы конечной группы также образуют ограниченную решетку и имеют верхний элемент - подгруппу Фиттинга.
Однако нильпотентные нормальные подгруппы в общем случае не образуют полную решетку , поскольку подгруппа, порожденная бесконечным набором нильпотентных нормальных подгрупп, не обязательно должна быть нильпотентной, хотя она будет нормальной. Объединение всех нильпотентных нормальных подгрупп по-прежнему определяется как подгруппа Фиттинга, но оно не обязательно должно быть нильпотентным.