В математике , то плоская топология является топология Гротендика используется в алгебраической геометрии . Он используется для определения теории плоских когомологий ; он также играет фундаментальную роль в теории спуска (точно плоский спуск). [1] Термин « плоский» здесь происходит от плоских модулей .
Есть несколько немного различных плоских топологий, наиболее распространенными из которых являются топология fppf и fpqc топологии . fppf означает fidèlement plate de présentation finie , и в этой топологии морфизм аффинных схем является накрывающим морфизмом, если он точно плоский и имеет конечное представление. fpqc расшифровывается как fidèlement plate et quasi-compacte , и в этой топологии морфизм аффинных схем является накрывающим морфизмом, если он точно плоский. В обеих категориях семейство покрытий определяется как семейство, которое является покрытием на открытых подмножествах Зарисского. [2] В топологии fpqc любой строго плоский и квазикомпактный морфизм является покрытием. [3]Эти топологии тесно связаны со спуском . «Чистая» точно плоская топология без каких-либо дополнительных условий конечности, таких как квазикомпактность или конечное представление, почти не используется, поскольку не является субканонической; другими словами, представимые функторы не обязательно должны быть пучками.
К сожалению, терминология плоских топологий не стандартизирована. Некоторые авторы используют термин «топология» для претопологии, и есть несколько немного разных претопологий, иногда называемых топологией fppf или fpqc (pre), которые иногда дают одну и ту же топологию.
Плоские когомологии были введены Гротендиком примерно в 1960 г. [4]
Большой и маленький сайты fppf
Пусть X - аффинная схема . Определим fppf покрытие из X , чтобы быть конечным и совместно сюръективны семейство морфизмов
- ( φ a : X a → X )
с каждым X аффинные и каждой ф плоский , конечно представимо . Это порождает претопологию : для произвольного X мы определяем fppf-покрытие X как семейство
- ( φ ' a : X a → X )
которая представляет собой fppf крышки после того, как основание изменяющегося к открытой аффинной подсхеме X . Эта претопология генерирует топологию, называемую топологией fppf . (Это не то же самое, что топология, которую мы получили бы, если бы начали с произвольных X и X a и взяли покрывающие семейства как совместно сюръективные семейства плоских конечно представленных морфизмов.) Мы пишем Fppf для категории схем с топологией fppf .
Небольшой fppf сайт X является категория O ( X fppf ), объектами которой являются схемы ˙U с фиксированным морфизм U → X , который является частью некоторого накрытия семьи. (Это не означает , что морфизм является плоской, конечно представима.) Морфизмами морфизмы схем , совместимых с фиксированными карт на X . Большой fppf сайт X является категорией Fppf / X , то есть категория схем с фиксированной картой к X , рассматриваемой с fppf топологией.
«Fppf» - это сокращение от «fidèlement plate de présentation finie», то есть «точно плоский и конечного представления». Каждое сюръективное семейство плоских и конечно представленных морфизмов является накрывающим для этой топологии, отсюда и название. Определение претопологии fppf также может быть дано с дополнительным условием квазиконечности; из следствия 17.16.2 в EGA IV 4 следует, что это дает ту же топологию.
Большой и маленький сайты fpqc
Пусть X - аффинная схема. Определим fpqc крышку из X , чтобы быть конечным и совместно сюръективны семейство морфизмов { у & alpha ; : Х & alpha ; → X } друг с Х & alpha ; аффинная и каждый U а плоская . Это создает предтопологию: Для X произвольно, мы определяем fpqc крышку X , чтобы семейство { у & alpha ; : Х & alpha ; → X } , которая является fpqc после того, как крышка основания изменяющегося к открытой аффинной подсхеме X . Эта претопология генерирует топологию, называемую топологией fpqc . (Это не то же самое, что топология, которую мы получили бы, если бы мы начали с произвольных X и X α и взяли покрывающие семейства как совместно сюръективные семейства плоских морфизмов.) Мы пишем Fpqc для категории схем с топологией fpqc.
Небольшой fpqc сайт X является категория O ( X fpqc ), объектами которой являются схемы ˙U с фиксированным морфизм U → X , который является частью некоторого накрытия семьи. Морфизмами морфизмы схем , совместимых с фиксированными карт на X . Большой fpqc сайт X является категорией Fpqc / X , то есть категория схем с фиксированной картой к X , рассматриваемой с fpqc топологией.
«Fpqc» - это аббревиатура от «fidèlement plate quasi-compacte», то есть «абсолютно плоская и квазикомпактная». Каждое сюръективное семейство плоских и квазикомпактных морфизмов является накрывающим для этой топологии, отсюда и название.
Плоские когомологии
Порядок определения групп когомологий является стандартным: когомология определяются как последовательность производных функторов функтора , берущего секцию о наличии пучка абелевых групп .
Хотя такие группы имеют ряд приложений, их, как правило, нелегко вычислить, за исключением случаев, когда они сводятся к другим теориям, таким как этальные когомологии .
Пример
Следующий пример показывает, почему «строго плоская топология» без каких-либо условий конечности ведет себя плохо. Предположим, что X - аффинная прямая над алгебраически замкнутым полем k . Для каждой замкнутой точки x множества X мы можем рассмотреть локальное кольцо R x в этой точке, которое является кольцом дискретного нормирования, спектр которого имеет одну замкнутую точку и одну открытую (общую) точку. Мы склеить эти спектры вместе определения их открытых точек , чтобы получить схему Y . Существует естественное отображение из Y в X . Аффинная линия X покрывается множествами Spec ( R x ), которые открыты в строго плоской топологии, и каждое из этих множеств имеет естественное отображение в Y , и эти отображения одинаковы на пересечениях. Однако их нельзя объединить, чтобы получить карту от X до Y , потому что лежащие в основе пространства X и Y имеют разные топологии.
Смотрите также
Заметки
- ^ "Форма (алгебраической) структуры" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- ^ SGA III 1 , IV 6.3.
- ^ SGA III 1 , IV 6.3, Предложение 6.3.1 (v).
- ^ * Гротендик, Александр ; Рейно, Мишель (2003) [1971], Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1) , Documents Mathématiques (Париж) [Математические документы (Париж)], 3 , Париж: Société Mathématique de France , p. XI.4.8, arXiv : math / 0206203 , Bibcode : 2002math ...... 6203G , ISBN 978-2-85629-141-2, MR 2017446
Рекомендации
- Éléments de géométrie algébrique , Vol. IV. 2
- Милн, Джеймс S . (1980), Étale Cohomology , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08238-7
- Майкл Артин и Дж. С. Милн, "Двойственность в плоских когомологиях кривых", Inventiones Mathematicae , том 35, номер 1, декабрь 1976 г.
Внешние ссылки
- Арифметика Двойственность теоремы (PDF) , онлайн книга Джеймса Милна, объясняет на уровне плоских когомологического теоремы двойственностипроисходящих в Тейт-Пуату двойственности в когомологиях Галуа