В теории вероятностей , уравнения Колмогорова , в том числе Колмогорова форвардных уравнений и обратных уравнений Колмогорова , характеризуют стохастические процессы . В частности, они описывают, как вероятность того, что случайный процесс находится в определенном состоянии, изменяется с течением времени.
Диффузионные процессы и скачковые процессы
Андрей Колмогоров, писавший в 1931 году, начал с теории марковских процессов с дискретным временем, которые описываются уравнением Чепмена – Колмогорова , и стремился построить теорию марковских процессов с непрерывным временем, расширив это уравнение. Он обнаружил, что существует два типа марковских процессов с непрерывным временем, в зависимости от предполагаемого поведения в течение небольших интервалов времени:
Если вы предположите, что «в небольшом временном интервале существует подавляющая вероятность того, что состояние останется неизменным; однако, если оно изменится, изменение может быть радикальным» [1], то вы попадаете в так называемые процессы перехода .
Другой случай приводит к процессам, подобным тем, которые «представлены диффузией и броуновским движением ; там несомненно, что некоторые изменения произойдут в любом временном интервале, каким бы малым он ни был; только здесь несомненно, что изменения в течение небольших временных интервалов будут тоже маленький ». [1]
Для каждого из этих двух типов процессов Колмогоров вывел прямую и обратную системы уравнений (всего четыре).
История
Уравнения названы в честь Андрея Колмогорова, так как они были выделены в его основополагающей работе 1931 года. [2]
Уильям Феллер в 1949 году использовал названия «прямое уравнение» и «обратное уравнение» для своей более общей версии пары Колмогорова как в процессах скачка, так и в процессах диффузии. [1] Намного позже, в 1956 году, он назвал уравнения для скачкообразного процесса «прямыми уравнениями Колмогорова» и «обратными уравнениями Колмогорова». [3]
Другие авторы, такие как Мотоо Кимура , [4] называли уравнение диффузии (Фоккера – Планка) прямым уравнением Колмогорова, и это название сохранилось.
Современный взгляд
- В контексте марковского процесса с непрерывным временем со скачками см. Уравнения Колмогорова (марковский скачкообразный процесс) . В частности, в естествознании прямое уравнение также известно как основное уравнение .
- В контексте процесса диффузии для обратных уравнений Колмогорова см. Обратные уравнения Колмогорова (диффузия) . Прямое уравнение Колмогорова также известно как уравнение Фоккера – Планка .
Пример из биологии
Ниже приводится один пример из биологии: [5]
Это уравнение применяется для моделирования роста населения с рождением . Где - индекс населения, относящийся к исходному населению, это рождаемость, и наконец , то есть вероятность достижения определенной численности населения .
Аналитическое решение: [5]
Это формула для плотности в терминах предыдущих, т.е. .
Рекомендации
- ^ a b c Феллер У. (1949). «К теории случайных процессов с особым упором на приложения» . Труды (Первого) симпозиума Беркли по математической статистике и теории вероятностей . С. 403–432.
- ^ Колмогоров, Андрей (1931). "Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung" [Об аналитических методах в теории вероятностей]. Mathematische Annalen (на немецком языке). 104 : 415–458. DOI : 10.1007 / BF01457949 .
- ^ Феллер, Уильям (1957). "О границах и боковых условиях для дифференциальных уравнений Колмогорова". Анналы математики . 65 (3): 527–570. DOI : 10.2307 / 1970064 .
- ^ Кимура, Мотоо (1957). «Некоторые проблемы случайных процессов в генетике». Анналы математической статистики . 28 (4): 882–901. JSTOR 2237051 .
- ^ а б Логан, Дж. Дэвид; Волесенский, Уильям Р. (2009). Математические методы в биологии . Чистая и прикладная математика. Джон Вили и сыновья. С. 325–327. ISBN 978-0-470-52587-6.