Уравнения Колмогорова (процесс марковского скачка)

Эта статья предоставляет недостаточный контекст для тех, кто не знаком с предметом . Пожалуйста, помогите улучшить статью , предоставив читателю больше контекста . ( Январь 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В контексте марковского процесса с непрерывным временем , то уравнения Колмогорова , в том числе Колмогорова вперед уравнений и обратные уравнений Колмогорова , являются парой систем дифференциальных уравнений , которые описывают временную эволюцию вероятности , где (состояние пространства) и являются окончательное и начальное время соответственно.${\displaystyle P(x,s;y,t)}$${\displaystyle x,y\in \Omega }$${\displaystyle t>s}$

Уравнения [ править ]

В случае счетного пространства состояний мы ставим вместо . Колмогоровские прямые уравнения читать ${\displaystyle i,j}$${\displaystyle x,y}$

${\displaystyle {\frac {\partial P_{ij}}{\partial t}}(s;t)=\sum _{k}P_{ik}(s;t)A_{kj}(t)}$,

где - матрица скорости перехода (также известная как матрица генератора),${\displaystyle A(t)}$

в то время как Колмогоров обратные уравнения являются

${\displaystyle {\frac {\partial P_{ij}}{\partial s}}(s;t)=-\sum _{k}A_{ik}(s)P_{kj}(s;t)}$

Функции являются непрерывными и дифференцируемыми по обоим аргументам времени. Они представляют собой вероятность того, что система, которая была в состоянии в определенный момент времени, перейдет в состояние позже . Непрерывные величины удовлетворяют${\displaystyle P_{ij}(s;t)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle s}$${\displaystyle j}$${\displaystyle t>s}$${\displaystyle A_{ij}(t)}$

${\displaystyle A_{ij}(t)=\left[{\frac {\partial P_{ij}}{\partial u}}(t;u)\right]_{u=t},\quad A_{jk}(t)\geq 0,\ j\neq k,\quad \sum _{k}A_{jk}(t)=0.}$

Фон [ править ]

Первоначальный вывод уравнений Колмогоровым ^[1] начинается с уравнения Чепмена-Колмогорова (Колмогоров назвал его основным уравнением ) для непрерывных во времени и дифференцируемых марковских процессов на конечном дискретном пространстве состояний. В этой формулировке предполагается, что вероятности являются непрерывными и дифференцируемыми функциями от . Также предполагаются адекватные предельные свойства для производных. Феллер ^[2] выводит уравнения при несколько иных условиях, начиная с концепции чисто разрывного марковского процесса и формулируя их для более общих пространств состояний. Феллер ^[2]${\displaystyle P(i,s;j,t)}$${\displaystyle t>s}$доказывает существование решений вероятностного характера к форвардным уравнениям Колмогорова и обратным уравнениям Колмогорова в естественных условиях.

Связь с производящей функцией [ править ]

По-прежнему в случае дискретного состояния, допуская и предполагая, что система изначально находится в состоянии , прямые уравнения Колмогорова описывают начальную задачу для определения вероятностей процесса при заданных величинах . Пишем где , тогда${\displaystyle s=0}$${\displaystyle i}$${\displaystyle A_{jk}(t)}$${\displaystyle p_{k}(t)=P_{ik}(0;t)}$${\displaystyle \sum _{k}p_{k}(t)=1}$

${\displaystyle {\frac {dp_{k}}{dt}}(t)=\sum _{j}A_{jk}(t)p_{j}(t);\quad p_{k}(0)=\delta _{ik},\qquad k=0,1,\dots .}$

Для случая чистого процесса смерти с постоянной скоростью ненулевые коэффициенты равны . Сдача${\displaystyle A_{j,j-1}=\mu ,\ j\geq 1}$

${\displaystyle \Psi (x,t)=\sum _{k}x^{k}p_{k}(t),\quad }$

система уравнений в этом случае может быть преобразована в уравнение в частных производных для с начальным условием . После некоторых манипуляций система уравнений имеет вид ^[3]${\displaystyle {\Psi }(x,t)}$${\displaystyle \Psi (x,0)=x^{i}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}(x,t)=\mu (1-x){\frac {\partial {\Psi }}{\partial x}}(x,t);\qquad \Psi (x,0)=x^{i},\quad \Psi (1,t)=1.}$

История [ править ]

Краткую историческую справку можно найти в уравнениях Колмогорова .

См. Также [ править ]

• Марковский процесс с непрерывным временем
• Перейти процесс
• Главное уравнение
• Уравнение Фоккера – Планка.
• Колмогоровские обратные уравнения (диффузия)

Ссылки [ править ]