Фрактальная струна

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) В этой статье нет ведущего раздела . Пожалуйста, помогите, добавив вводный раздел в эту статью. Для получения дополнительной информации см. Руководство по макету и рекомендации по ведущему разделу Википедии, чтобы гарантировать, что раздел будет включать все важные детали. Пожалуйста, обсудите этот вопрос на странице обсуждения статьи . ( Июнь 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Поиск источников:  «Фрактальная строка»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( апрель 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Обычные фрактальные струны [ править ]

Обычная фрактальная струна - это ограниченное открытое подмножество линии действительных чисел. Любое такое подмножество может быть записано как не более чем счетное объединение связанных открытых интервалов с соответствующими длинами, записанными в невозрастающем порядке. Мы позволяем состоять из конечного числа открытых интервалов, в этом случае состоит из конечного числа длин. Мы называем это фрактальной струной .${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\mathcal {L}}=\{\ell _{1},\ell _{2},\ldots \}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Пример [ править ]

Набор Кантора средней трети строится путем удаления средней трети из единичного интервала , а затем удаления средних третей последующих интервалов до бесконечности . Удаляемые интервалы имеют соответствующую длину . Индуктивно мы можем показать, что существуют интервалы, соответствующие каждой длине . Таким образом, мы говорим, что кратность длины равна .${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle \Omega =\left\{\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right),\left({\frac {1}{9}},{\frac {2}{9}}\right),\left({\frac {7}{9}},{\frac {8}{9}}\right),\ldots \right\}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}=\left\{{\frac {1}{3}},{\frac {1}{9}},{\frac {1}{9}},\ldots \right\}}$${\displaystyle 2^{n-1}}$${\displaystyle 3^{-n}}$${\displaystyle 3^{-n}}$${\displaystyle 2^{n-1}}$

Эвристический [ править ]

Геометрическая информация набора Кантора в приведенном выше примере содержится в обычной фрактальной струне . На основе этой информации мы можем вычислить размерность набора Кантора, учитывающую количество ящиков . Это понятие фрактальной размерности можно обобщить до концепции комплексной размерности , которая даст нам полную геометрическую информацию о локальных колебаниях в геометрии множества Кантора.${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Геометрическая дзета-функция [ править ]

Если мы говорим, что имеет геометрическую реализацию в , где интервалы в , всех длин , взятых с кратностью.${\displaystyle \sum _{j\in \mathbb {J} }{\ell _{j}}<\infty ,}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \Omega =\bigcup _{i=1}^{\infty }I_{i}}$${\displaystyle I_{i}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \{\ell _{j}\}_{j\in \mathbb {J} }}$

Каждой фрактальной струне мы можем сопоставить геометрическую дзета-функцию, определенную как ряд Дирихле . Полюса геометрической дзета-функции называются комплексными измерениями фрактальной струны . Общая философия теории сложных размерностей для фрактальных струн состоит в том, что комплексные измерения описывают внутренние колебания в геометрии, спектрах и динамике фрактальной струны .${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \zeta _{\mathcal {L}}}$${\displaystyle \zeta _{\mathcal {L}}(s)=\sum _{j\in \mathbb {J} }\ell _{j}^{s}}$${\displaystyle \zeta _{\mathcal {L}}(s)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Абсцисса сходимости в определяется как .${\displaystyle \zeta _{\mathcal {L}}(s)}$${\displaystyle \sigma =\inf \left\{\alpha \in \mathbb {R} :\sum _{j=1}^{\infty }\ell _{j}^{\alpha }<\infty \right\}}$

Для фрактальной строки с бесконечным числом ненулевых длиной, абсциссой сходимость совпадает с размерностью Минковской границы строки, . В нашем примере граничная строка Кантора - это само множество Кантора. Так абсцисса сходимости геометрической дзета - функции является размерность Минковского множества Кантора, который .${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle \zeta _{\mathcal {L}}(s)}$${\displaystyle {\frac {\log 2}{\log 3}}}$

Сложные размеры [ править ]

Для фрактальной струны , состоящей из бесконечной последовательности длин, сложные размеры фрактальной струны являются полюсами аналитического продолжения геометрической дзета-функции, связанной с фрактальной струной. (Когда аналитическое продолжение геометрической дзета-функции не определено для всей комплексной плоскости, мы берем подмножество комплексной плоскости, называемое «окном», и ищем «видимые» комплексные измерения, существующие в этом окне. ^{[ 1]} )${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Пример [ править ]

Продолжая пример фрактальной струны, связанной с канторовским набором средних третей, мы вычисляем . Мы вычисляем абсциссу сходимости как значение удовлетворения , так что это размерность Минковского множества Кантора.${\displaystyle \zeta _{\mathbb {C} }(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{n-1}}{3^{ns}}}={\frac {\frac {1}{3^{s}}}{1-{\frac {2}{3^{s}}}}}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle 3^{s}=2}$${\displaystyle s=\log _{3}2={\frac {\log 2}{\log 3}}}$

Для комплексного , имеет полюсы в бесконечно многих решениях , которые, в этом примере, встречаются в , для всех целых чисел . Этот набор точек называется набором сложных измерений канторовского множества средних третей.${\displaystyle s}$${\displaystyle \zeta _{\mathbb {C} }(s)}$${\displaystyle 3^{s}=2}$${\displaystyle s={\frac {\log 2+2\pi ik}{\log 3}}}$${\displaystyle k}$

Приложения [ править ]

Для фрактальных строк, связанных с наборами, такими как наборы Кантора, образованных из удаленных интервалов, которые являются рациональными степенями фундаментальной длины, комплексные измерения появляются в регулярной арифметической прогрессии, параллельной мнимой оси, и называются решетчатыми фрактальными строками. Множества, не обладающие этим свойством, называются нерешетчатыми . В теории мер таких объектов существует дихотомия: обычная фрактальная струна измерима по Минковскому тогда и только тогда, когда она нерешетчатая.

Было высказано предположение, что существование нереальных сложных измерений с положительной действительной частью является характерной чертой фрактальных объектов. ^[1] Формально Мишель Лапидус и Махиэль ван Франкенхейсен предлагают определять «фрактальность» как наличие по крайней мере одного нереального комплексного измерения с положительной действительной частью. ^[1] Это новое определение фрактальности решает некоторые старые проблемы фрактальной геометрии. Например, каждый может согласиться с тем, что лестница дьявола Кантора фрактальна, как это было с этим новым определением фрактальности в терминах сложных измерений, но это не в смысле Мандельброта.

Обобщенные фрактальные струны [ править ]

Ссылки [ править ]