В кристаллографии , А система дробных координат представляет собой систему координат , в которой ребра элементарной ячейки используются в качестве основных векторов для описания положения атомных ядер. Элементарная ячейка представляет собой параллелепипед, определяемый длинами его краев и углами между ними . а , б , c {\ displaystyle a, b, c} α , β , γ {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }
Общий случай [ править ] Рассмотрим систему периодической структуры в пространстве и используйте , и как три независимых вектора периодов, образующих правую триаду, которые также являются краевыми векторами ячейки системы. Тогда любой вектор в декартовых координатах можно записать как линейную комбинацию векторов периодов a {\displaystyle {\mathbf {a} }} b {\displaystyle \mathbf {b} } c {\displaystyle \mathbf {c} } r {\displaystyle \mathbf {r} }
r = u a + v b + w c . {\displaystyle {\mathbf {r} }=u{\mathbf {a} }+v{\mathbf {b} }+w{\mathbf {c} }.} Наша задача состоит в том, чтобы вычислить скалярные коэффициенты , известные как дробные координаты , и , предполагая , , и известны. u {\displaystyle u} v {\displaystyle v} w {\displaystyle w} r {\displaystyle \mathbf {r} } a {\displaystyle \mathbf {a} } b {\displaystyle \mathbf {b} } c {\displaystyle \mathbf {c} }
Для этого вычислим следующий вектор площади поверхности ячейки
σ a = b × c , {\displaystyle \mathbf {\sigma } _{\mathbf {a} }={\mathbf {b} }\times {\mathbf {c} },} тогда
b ⋅ σ a = 0 , c ⋅ σ a = 0 , {\displaystyle {\mathbf {b} }\cdot \mathbf {\sigma } _{\mathbf {a} }=0,{\mathbf {c} }\cdot \mathbf {\sigma } _{\mathbf {a} }=0,} а объем ячейки равен
Ω = a ⋅ σ a . {\displaystyle \Omega ={\mathbf {a} }\cdot \mathbf {\sigma } _{\mathbf {a} }.} Если мы сделаем векторное внутреннее (точечное) произведение следующим образом
r ⋅ σ a = u a ⋅ σ a + v b ⋅ σ a + w c ⋅ σ a = u a ⋅ σ a = u Ω , {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {\sigma } _{\mathbf {a} }&=u{\mathbf {a} }\cdot \mathbf {\sigma } _{\mathbf {a} }+v{\mathbf {b} }\cdot \mathbf {\sigma } _{\mathbf {a} }+w{\mathbf {c} }\cdot \mathbf {\sigma } _{\mathbf {a} }\\&=u{\mathbf {a} }\cdot \mathbf {\sigma } _{\mathbf {a} }\\&=u\Omega ,\end{aligned}}} тогда мы получаем
u = 1 Ω r ⋅ σ a . {\displaystyle u={\frac {1}{\Omega }}{{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {\sigma } _{\mathbf {a} }}.} По аналогии,
σ b = c × a , c ⋅ σ b = 0 , a ⋅ σ b = 0 , b ⋅ σ b = Ω , {\displaystyle \mathbf {\sigma } _{\mathbf {b} }={\mathbf {c} }\times {\mathbf {a} },{\mathbf {c} }\cdot \mathbf {\sigma } _{\mathbf {b} }=0,{\mathbf {a} }\cdot \mathbf {\sigma } _{\mathbf {b} }=0,{\mathbf {b} }\cdot \mathbf {\sigma } _{\mathbf {b} }=\Omega ,} r ⋅ σ b = u a ⋅ σ b + v b ⋅ σ b + w c ⋅ σ b = v b ⋅ σ b = v Ω , {\displaystyle {\mathbf {r} }\cdot \mathbf {\sigma } _{\mathbf {b} }=u{\mathbf {a} }\cdot \mathbf {\sigma } _{\mathbf {b} }+v{\mathbf {b} }\cdot \mathbf {\sigma } _{\mathbf {b} }+w{\mathbf {c} }\cdot \mathbf {\sigma } _{\mathbf {b} }=v{\mathbf {b} }\cdot \mathbf {\sigma } _{\mathbf {b} }=v\Omega ,} мы приходим к
v = 1 Ω r ⋅ σ b , {\displaystyle v={\frac {1}{\Omega }}{{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {\sigma } _{\mathbf {b} }},} а также
σ c = a × b , a ⋅ σ c = 0 , b ⋅ σ c = 0 , c ⋅ σ c = Ω , {\displaystyle \mathbf {\sigma } _{\mathbf {c} }={\mathbf {a} }\times {\mathbf {b} },{\mathbf {a} }\cdot \mathbf {\sigma } _{\mathbf {c} }=0,{\mathbf {b} }\cdot \mathbf {\sigma } _{\mathbf {c} }=0,{\mathbf {c} }\cdot \mathbf {\sigma } _{\mathbf {c} }=\Omega ,} r ⋅ σ c = u a ⋅ σ c + v b ⋅ σ c + w c ⋅ σ c = w c ⋅ σ c = w Ω , {\displaystyle {\mathbf {r} }\cdot \mathbf {\sigma } _{\mathbf {c} }=u{\mathbf {a} }\cdot \mathbf {\sigma } _{\mathbf {c} }+v{\mathbf {b} }\cdot \mathbf {\sigma } _{\mathbf {c} }+w{\mathbf {c} }\cdot \mathbf {\sigma } _{\mathbf {c} }=w{\mathbf {c} }\cdot \mathbf {\sigma } _{\mathbf {c} }=w\Omega ,} w = 1 Ω r ⋅ σ c . {\displaystyle w={\frac {1}{\Omega }}{{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {\sigma } _{\mathbf {c} }}.} Если есть много s, которые нужно преобразовать по отношению к одним и тем же векторам периодов, для ускорения мы можем иметь r {\displaystyle \mathbf {r} }
u = r ⋅ σ a ′ , v = r ⋅ σ b ′ , w = r ⋅ σ c ′ , {\displaystyle {\begin{aligned}u&={{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {\sigma } _{\mathbf {a} }^{\prime }},\\v&={{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {\sigma } _{\mathbf {b} }^{\prime }},\\w&={{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {\sigma } _{\mathbf {c} }^{\prime }},\end{aligned}}} где
σ a ′ = 1 Ω σ a , σ b ′ = 1 Ω σ b , σ c ′ = 1 Ω σ c . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\sigma } _{\mathbf {a} }^{\prime }={\frac {1}{\Omega }}{\mathbf {\sigma } _{\mathbf {a} }},\\\mathbf {\sigma } _{\mathbf {b} }^{\prime }={\frac {1}{\Omega }}{\mathbf {\sigma } _{\mathbf {b} }},\\\mathbf {\sigma } _{\mathbf {c} }^{\prime }={\frac {1}{\Omega }}{\mathbf {\sigma } _{\mathbf {c} }}.\end{aligned}}} В кристаллографии [ править ] В кристаллографии , длины ( , , ) из и углов ( , , ) между кромкой (период) векторами ( , , ) от параллелепипеда элементарной ячейки известны. Для простоты он выбран так, чтобы вектор кромки в направлении положительной оси, вектор кромки в плоскости с положительной компонентой оси, вектор кромки с положительной компонентой оси в декартовой системе, как показано на рисунке ниже. a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} c {\displaystyle c} α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta } γ {\displaystyle \gamma } a {\displaystyle \mathbf {a} } b {\displaystyle \mathbf {b} } c {\displaystyle \mathbf {c} } a {\displaystyle \mathbf {a} } x {\displaystyle x} b {\displaystyle \mathbf {b} } x − y {\displaystyle x-y} y {\displaystyle y} c {\displaystyle \mathbf {c} } z {\displaystyle z}
Тогда векторы ребер можно записать как
a = ( a , 0 , 0 ) , b = ( b cos ( γ ) , b sin ( γ ) , 0 ) , c = ( c x , c y , c z ) , {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {a} }&=(a,0,0),\\{\mathbf {b} }&=(b\cos(\gamma ),b\sin(\gamma ),0),\\{\mathbf {c} }&=(c_{x},c_{y},c_{z}),\end{aligned}}} где все , , , , положительны. Затем выразим все компоненты известными переменными. Это можно сделать с помощью a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} c {\displaystyle c} sin ( γ ) {\displaystyle \sin(\gamma )} c z {\displaystyle c_{z}} c {\displaystyle \mathbf {c} }
c ⋅ a = a c cos ( β ) = c x a , c ⋅ b = b c cos ( α ) = c x b cos ( γ ) + c y b sin ( γ ) , c ⋅ c = c 2 = c x 2 + c y 2 + c z 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {c} }\cdot {\mathbf {a} }&=ac\cos(\beta )=c_{x}a,\\{\mathbf {c} }\cdot {\mathbf {b} }&=bc\cos(\alpha )=c_{x}b\cos(\gamma )+c_{y}b\sin(\gamma ),\\{\mathbf {c} }\cdot {\mathbf {c} }&=c^{2}=c_{x}^{2}+c_{y}^{2}+c_{z}^{2}.\end{aligned}}} потом
c x = c cos ( β ) , c y = c cos ( α ) − cos ( γ ) cos ( β ) sin ( γ ) , c z 2 = c 2 − c x 2 − c y 2 = c 2 { 1 − cos 2 ( β ) − [ cos ( α ) − cos ( γ ) cos ( β ) ] 2 sin 2 ( γ ) } . {\displaystyle {\begin{aligned}c_{x}&=c\cos(\beta ),\\c_{y}&=c{\frac {\cos(\alpha )-\cos(\gamma )\cos(\beta )}{\sin(\gamma )}},\\c_{z}^{2}&=c^{2}-c_{x}^{2}-c_{y}^{2}=c^{2}\left\{1-\cos ^{2}(\beta )-{\frac {[\cos(\alpha )-\cos(\gamma )\cos(\beta )]^{2}}{\sin ^{2}(\gamma )}}\right\}.\end{aligned}}} Последний продолжается
c z 2 = c 2 sin 2 ( γ ) − sin 2 ( γ ) cos 2 ( β ) − [ cos ( α ) − cos ( γ ) cos ( β ) ] 2 sin 2 ( γ ) = c 2 sin 2 ( γ ) { sin 2 ( γ ) − sin 2 ( γ ) cos 2 ( β ) − [ cos ( α ) − cos ( γ ) cos ( β ) ] 2 } {\displaystyle {\begin{aligned}c_{z}^{2}&=c^{2}{\frac {\sin ^{2}(\gamma )-\sin ^{2}(\gamma )\cos ^{2}(\beta )-[\cos(\alpha )-\cos(\gamma )\cos(\beta )]^{2}}{\sin ^{2}(\gamma )}}\\&={\frac {c^{2}}{\sin ^{2}(\gamma )}}\left\{\sin ^{2}(\gamma )-\sin ^{2}(\gamma )\cos ^{2}(\beta )-[\cos(\alpha )-\cos(\gamma )\cos(\beta )]^{2}\right\}\end{aligned}}} где
sin 2 ( γ ) − sin 2 ( γ ) cos 2 ( β ) − [ cos ( α ) − cos ( γ ) cos ( β ) ] 2 = sin 2 ( γ ) − sin 2 ( γ ) cos 2 ( β ) − cos 2 ( α ) − cos 2 ( γ ) cos 2 ( β ) + 2 cos ( α ) cos ( γ ) cos ( β ) = sin 2 ( γ ) − cos 2 ( α ) − sin 2 ( γ ) cos 2 ( β ) − cos 2 ( γ ) cos 2 ( β ) + 2 cos ( α ) cos ( β ) cos ( γ ) = sin 2 ( γ ) − cos 2 ( α ) − [ sin 2 ( γ ) + cos 2 ( γ ) ] cos 2 ( β ) + 2 cos ( α ) cos ( β ) cos ( γ ) = sin 2 ( γ ) − cos 2 ( α ) − cos 2 ( β ) + 2 cos ( α ) cos ( β ) cos ( γ ) = 1 − cos 2 ( α ) − cos 2 ( β ) − cos 2 ( γ ) + 2 cos ( α ) cos ( β ) cos ( γ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}&\sin ^{2}(\gamma )-\sin ^{2}(\gamma )\cos ^{2}(\beta )-[\cos(\alpha )-\cos(\gamma )\cos(\beta )]^{2}\\&=\sin ^{2}(\gamma )-\sin ^{2}(\gamma )\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\gamma )\cos ^{2}(\beta )+2\cos(\alpha )\cos(\gamma )\cos(\beta )\\&=\sin ^{2}(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\sin ^{2}(\gamma )\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\cos ^{2}(\beta )+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )\\&=\sin ^{2}(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-[\sin ^{2}(\gamma )+\cos ^{2}(\gamma )]\cos ^{2}(\beta )+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )\\&=\sin ^{2}(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )\\&=1-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma ).\end{aligned}}} Вспоминая , и будучи позитивным, человек получает c z {\displaystyle c_{z}} c {\displaystyle c} sin ( γ ) {\displaystyle \sin(\gamma )}
c z = c sin ( γ ) 1 − cos 2 ( α ) − cos 2 ( β ) − cos 2 ( γ ) + 2 cos ( α ) cos ( β ) cos ( γ ) . {\displaystyle c_{z}={\frac {c}{\sin(\gamma )}}{\sqrt {1-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )}}.} Поскольку модуль площади нижней поверхности ячейки равен
| σ c | = a b sin ( γ ) , {\displaystyle \left|\mathbf {\sigma } _{\mathbf {c} }\right|=ab\sin(\gamma ),} объем ячейки параллелепипеда также можно выразить как
Ω = c z | σ c | = a b c 1 − cos 2 ( α ) − cos 2 ( β ) − cos 2 ( γ ) + 2 cos ( α ) cos ( β ) cos ( γ ) {\displaystyle \Omega =c_{z}\left|\mathbf {\sigma } _{\mathbf {c} }\right|=abc{\sqrt {1-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )}}} [2] После того, как объем рассчитан, как указано выше,
c z = Ω a b sin ( γ ) . {\displaystyle c_{z}={\frac {\Omega }{ab\sin(\gamma )}}.} Подведем итог выражению векторов ребер (периодов)
a = ( a x , a y , a z ) = ( a , 0 , 0 ) , b = ( b x , b y , b z ) = ( b cos ( γ ) , b sin ( γ ) , 0 ) , c = ( c x , c y , c z ) = ( c cos ( β ) , c cos ( α ) − cos ( β ) cos ( γ ) sin ( γ ) , Ω a b sin ( γ ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {a} }&=({a}_{x},{a}_{y},{a}_{z})=(a,0,0),\\{\mathbf {b} }&=({b}_{x},{b}_{y},{b}_{z})=(b\cos(\gamma ),b\sin(\gamma ),0),\\{\mathbf {c} }&=({c}_{x},{c}_{y},{c}_{z})=(c\cos(\beta ),c{\frac {\cos(\alpha )-\cos(\beta )\cos(\gamma )}{\sin(\gamma )}},{\frac {\Omega }{ab\sin(\gamma )}}).\end{aligned}}} Преобразование из декартовых координат [ править ] Давайте сначала вычислим следующий вектор площади поверхности ячейки
σ a = ( σ a , x , σ a , y , σ a , z ) = b × c , {\displaystyle \mathbf {\sigma } _{\mathbf {a} }=(\mathbf {\sigma } _{\mathbf {a} ,x},\mathbf {\sigma } _{\mathbf {a} ,y},\mathbf {\sigma } _{\mathbf {a} ,z})={\mathbf {b} }\times {\mathbf {c} },} где
σ a , x = b y c z − b z c y = b sin ( γ ) Ω a b sin ( γ ) = Ω a , σ a , y = b z c x − b x c z = − b cos ( γ ) Ω a b sin ( γ ) = − Ω cos ( γ ) a sin ( γ ) , σ a , z = b x c y − b y c x = b cos ( γ ) c cos ( α ) − cos ( β ) cos ( γ ) sin ( γ ) − b sin ( γ ) c cos ( β ) = b c { cos ( γ ) cos ( α ) − cos ( β ) cos ( γ ) sin ( γ ) − sin ( γ ) cos ( β ) } = b c sin ( γ ) { cos ( γ ) [ cos ( α ) − cos ( β ) cos ( γ ) ] − sin 2 ( γ ) cos ( β ) } = b c sin ( γ ) { cos ( γ ) cos ( α ) − cos ( β ) cos 2 ( γ ) − sin 2 ( γ ) cos ( β ) } = b c sin ( γ ) { cos ( α ) cos ( γ ) − cos ( β ) } . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\sigma } _{\mathbf {a} ,x}&={b}_{y}{c}_{z}-{b}_{z}{c}_{y}=b\sin(\gamma ){\frac {\Omega }{ab\sin(\gamma )}}={\frac {\Omega }{a}},\\\mathbf {\sigma } _{\mathbf {a} ,y}&={b}_{z}{c}_{x}-{b}_{x}{c}_{z}=-b\cos(\gamma ){\frac {\Omega }{ab\sin(\gamma )}}=-{\frac {\Omega \cos(\gamma )}{a\sin(\gamma )}},\\\mathbf {\sigma } _{\mathbf {a} ,z}&={b}_{x}{c}_{y}-{b}_{y}{c}_{x}=b\cos(\gamma )c{\frac {\cos(\alpha )-\cos(\beta )\cos(\gamma )}{\sin(\gamma )}}-b\sin(\gamma )c\cos(\beta )\\&=bc\left\{\cos(\gamma ){\frac {\cos(\alpha )-\cos(\beta )\cos(\gamma )}{\sin(\gamma )}}-\sin(\gamma )\cos(\beta )\right\}\\&={\frac {bc}{\sin(\gamma )}}\left\{\cos(\gamma )[\cos(\alpha )-\cos(\beta )\cos(\gamma )]-\sin ^{2}(\gamma )\cos(\beta )\right\}\\&={\frac {bc}{\sin(\gamma )}}\left\{\cos(\gamma )\cos(\alpha )-\cos(\beta )\cos ^{2}(\gamma )-\sin ^{2}(\gamma )\cos(\beta )\right\}\\&={\frac {bc}{\sin(\gamma )}}\left\{\cos(\alpha )\cos(\gamma )-\cos(\beta )\right\}.\\\end{aligned}}} Другой вектор площади поверхности клетки
σ b = ( σ b , x , σ b , y , σ b , z ) = c × a , {\displaystyle \mathbf {\sigma } _{\mathbf {b} }=(\mathbf {\sigma } _{\mathbf {b} ,x},\mathbf {\sigma } _{\mathbf {b} ,y},\mathbf {\sigma } _{\mathbf {b} ,z})={\mathbf {c} }\times {\mathbf {a} },} где
σ b , x = c y a z − c z a y = 0 , σ b , y = c z a x − c x a z = a Ω a b sin ( γ ) = Ω b sin ( γ ) , σ b , z = c x a y − c y a x = − a c cos ( α ) − cos ( β ) cos ( γ ) sin ( γ ) = a c sin ( γ ) { cos ( β ) cos ( γ ) − cos ( α ) } . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\sigma } _{\mathbf {b} ,x}&={c}_{y}{a}_{z}-{c}_{z}{a}_{y}=0,\\\mathbf {\sigma } _{\mathbf {b} ,y}&={c}_{z}{a}_{x}-{c}_{x}{a}_{z}=a{\frac {\Omega }{ab\sin(\gamma )}}={\frac {\Omega }{b\sin(\gamma )}},\\\mathbf {\sigma } _{\mathbf {b} ,z}&={c}_{x}{a}_{y}-{c}_{y}{a}_{x}=-ac{\frac {\cos(\alpha )-\cos(\beta )\cos(\gamma )}{\sin(\gamma )}}\\&={\frac {ac}{\sin(\gamma )}}\left\{\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos(\alpha )\right\}.\end{aligned}}} Последний вектор площади поверхности ячейки
σ c = ( σ c , x , σ c , y , σ c , z ) = a × b , {\displaystyle \mathbf {\sigma } _{\mathbf {c} }=(\mathbf {\sigma } _{\mathbf {c} ,x},\mathbf {\sigma } _{\mathbf {c} ,y},\mathbf {\sigma } _{\mathbf {c} ,z})={\mathbf {a} }\times {\mathbf {b} },} где
σ c , x = a y b z − a z b y = 0 , σ c , y = a z b x − a x b z = 0 , σ c , z = a x b y − a y b x = a b sin ( γ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\sigma } _{\mathbf {c} ,x}&={a}_{y}{b}_{z}-{a}_{z}{b}_{y}=0,\\\mathbf {\sigma } _{\mathbf {c} ,y}&={a}_{z}{b}_{x}-{a}_{x}{b}_{z}=0,\\\mathbf {\sigma } _{\mathbf {c} ,z}&={a}_{x}{b}_{y}-{a}_{y}{b}_{x}=ab\sin(\gamma ).\end{aligned}}} Подвести итоги
σ a ′ = 1 Ω σ a = ( 1 a , − cos ( γ ) a sin ( γ ) , b c cos ( α ) cos ( γ ) − cos ( β ) Ω sin ( γ ) ) , σ b ′ = 1 Ω σ b = ( 0 , 1 b sin ( γ ) , a c cos ( β ) cos ( γ ) − cos ( α ) Ω sin ( γ ) ) , σ c ′ = 1 Ω σ c = ( 0 , 0 , a b sin ( γ ) Ω ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\sigma } _{\mathbf {a} }^{\prime }&={\frac {1}{\Omega }}{\mathbf {\sigma } _{\mathbf {a} }}=\left({\frac {1}{a}},-{\frac {\cos(\gamma )}{a\sin(\gamma )}},bc{\frac {\cos(\alpha )\cos(\gamma )-\cos(\beta )}{\Omega \sin(\gamma )}}\right),\\\mathbf {\sigma } _{\mathbf {b} }^{\prime }&={\frac {1}{\Omega }}{\mathbf {\sigma } _{\mathbf {b} }}=\left(0,{\frac {1}{b\sin(\gamma )}},ac{\frac {\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos(\alpha )}{\Omega \sin(\gamma )}}\right),\\\mathbf {\sigma } _{\mathbf {c} }^{\prime }&={\frac {1}{\Omega }}{\mathbf {\sigma } _{\mathbf {c} }}=\left(0,0,{\frac {ab\sin(\gamma )}{\Omega }}\right).\end{aligned}}} В результате [3]
[ u v w ] = [ 1 a − cos ( γ ) a sin ( γ ) b c cos ( α ) cos ( γ ) − cos ( β ) Ω sin ( γ ) 0 1 b sin ( γ ) a c cos ( β ) cos ( γ ) − cos ( α ) Ω sin ( γ ) 0 0 a b sin ( γ ) Ω ] [ x y z ] {\displaystyle \left[{\begin{matrix}u\\v\\w\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}{\frac {1}{a}}&-{\frac {\cos(\gamma )}{a\sin(\gamma )}}&bc{\frac {\cos(\alpha )\cos(\gamma )-\cos(\beta )}{\Omega \sin(\gamma )}}\\0&{\frac {1}{b\sin(\gamma )}}&ac{\frac {\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos(\alpha )}{\Omega \sin(\gamma )}}\\0&0&{\frac {ab\sin(\gamma )}{\Omega }}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right]} где , , являются компоненты произвольного вектора в декартовой системе координат. ( x {\displaystyle (x} y {\displaystyle y} z ) {\displaystyle z)} r {\displaystyle \mathbf {r} }
Преобразование в декартовы координаты [ править ] Чтобы вернуть ортогональные координаты в ?? Ангстремах из дробных координат, можно использовать первое уравнение сверху и выражение векторов краев (периодов) [4] [5]
[ x y z ] = [ a b cos ( γ ) c cos ( β ) 0 b sin ( γ ) c cos ( α ) − cos ( β ) cos ( γ ) sin ( γ ) 0 0 Ω a b sin ( γ ) ] [ u v w ] . {\displaystyle \left[{\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a&b\cos(\gamma )&c\cos(\beta )\\0&b\sin(\gamma )&c{\frac {\cos(\alpha )-\cos(\beta )\cos(\gamma )}{\sin(\gamma )}}\\0&0&{\frac {\Omega }{ab\sin(\gamma )}}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}u\\v\\w\end{matrix}}\right].} Для частного случая моноклинной ячейки (общий случай), когда и , это дает: α = γ = 90 ∘ {\displaystyle \alpha =\gamma =90^{\circ }} β > 90 ∘ {\displaystyle \beta >90^{\circ }}
x = a u + c w cos ( β ) , y = b v , z = Ω a b w = c w sin ( β ) . {\displaystyle {\begin{aligned}x&=au+cw\cos(\beta ),\\y&=bv,\\z&={\frac {\Omega }{ab}}w=cw\sin(\beta ).\end{aligned}}} Поддерживаемые форматы файлов [ править ] Ссылки [ править ] ^ "Определение элементарной ячейки с использованием параллелепипеда с длинами a , b , c и углами между краями, заданными как α , β , γ " . Ccdc.cam.ac.uk . Архивировано из оригинала на 2008-10-04 . Проверено 17 августа 2016 . CS1 maint: discouraged parameter (link) ^ "Преобразование системы координат" . www.ruppweb.org . Проверено 19 октября 2016 . ^ "Преобразование системы координат" . Ruppweb.org . Проверено 19 октября 2016 . CS1 maint: discouraged parameter (link) ^ Sussman, J .; Holbrook, S .; Церковь, G .; Ким, S (1977). «Процедура уточнения наименьших квадратов структурного фактора для макромолекулярных структур с использованием ограниченных и ограниченных параметров». Acta Crystallogr. . 33 (5): 800–804. Bibcode : 1977AcCrA..33..800S . CiteSeerX 10.1.1.70.8631 . DOI : 10.1107 / S0567739477001958 . ^ Россманн, М .; Блоу, Д. (1962). «Обнаружение субъединиц в кристаллографической асимметричной единице». Acta Crystallogr . 15 : 24–31. CiteSeerX 10.1.1.319.3019 . DOI : 10.1107 / S0365110X62000067 . 
![{\ Displaystyle {\ begin {align} c_ {x} & = c \ cos (\ beta), \\ c_ {y} & = c {\ frac {\ cos (\ alpha) - \ cos (\ gamma) \ cos (\ beta)} {\ sin (\ gamma)}}, \\ c_ {z} ^ {2} & = c ^ {2} -c_ {x} ^ {2} -c_ {y} ^ {2 } = c ^ {2} \ left \ {1- \ cos ^ {2} (\ beta) - {\ frac {[\ cos (\ alpha) - \ cos (\ gamma) \ cos (\ beta)] ^ {2}} {\ sin ^ {2} (\ gamma)}} \ right \}. \ End {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68f4b2b245ad322aa239174a1c015a928cde0a45)
![{\ displaystyle {\ begin {align} c_ {z} ^ {2} & = c ^ {2} {\ frac {\ sin ^ {2} (\ gamma) - \ sin ^ {2} (\ gamma) \ cos ^ {2} (\ beta) - [\ cos (\ alpha) - \ cos (\ gamma) \ cos (\ beta)] ^ {2}} {\ sin ^ {2} (\ gamma)}} \ \ & = {\ frac {c ^ {2}} {\ sin ^ {2} (\ gamma)}} \ left \ {\ sin ^ {2} (\ gamma) - \ sin ^ {2} (\ gamma ) \ cos ^ {2} (\ beta) - [\ cos (\ alpha) - \ cos (\ gamma) \ cos (\ beta)] ^ {2} \ right \} \ end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/935e638c35a037b78b7b2bd379351fb7cbaf8691)
![{\ Displaystyle {\ begin {align} & \ sin ^ {2} (\ gamma) - \ sin ^ {2} (\ gamma) \ cos ^ {2} (\ beta) - [\ cos (\ alpha) - \ cos (\ gamma) \ cos (\ beta)] ^ {2} \\ & = \ sin ^ {2} (\ gamma) - \ sin ^ {2} (\ gamma) \ cos ^ {2} (\ бета) - \ cos ^ {2} (\ alpha) - \ cos ^ {2} (\ gamma) \ cos ^ {2} (\ beta) +2 \ cos (\ alpha) \ cos (\ gamma) \ cos (\ beta) \\ & = \ sin ^ {2} (\ gamma) - \ cos ^ {2} (\ alpha) - \ sin ^ {2} (\ gamma) \ cos ^ {2} (\ beta) - \ cos ^ {2} (\ gamma) \ cos ^ {2} (\ beta) +2 \ cos (\ alpha) \ cos (\ beta) \ cos (\ gamma) \\ & = \ sin ^ {2 } (\ gamma) - \ cos ^ {2} (\ alpha) - [\ sin ^ {2} (\ gamma) + \ cos ^ {2} (\ gamma)] \ cos ^ {2} (\ beta) +2 \ cos (\ alpha) \ cos (\ beta) \ cos (\ gamma) \\ & = \ sin ^ {2} (\ gamma) - \ cos ^ {2} (\ alpha) - \ cos ^ { 2} (\ beta) +2 \ cos (\ alpha) \ cos (\ beta) \ cos (\ gamma) \\ & = 1- \ cos ^ {2} (\ alpha) - \ cos ^ {2} ( \ beta) - \ cos ^ {2} (\ gamma) +2 \ cos (\ alpha) \ cos (\ beta) \ cos (\ gamma). \ end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84639c5dd72fa894c1b432deb4a37048ec16689c)
![{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {\ sigma} _ {\ mathbf {a}, x} & = {b} _ {y} {c} _ {z} - {b} _ {z} { c} _ {y} = b \ sin (\ gamma) {\ frac {\ Omega} {ab \ sin (\ gamma)}} = {\ frac {\ Omega} {a}}, \\\ mathbf {\ sigma} _ {\ mathbf {a}, y} & = {b} _ {z} {c} _ {x} - {b} _ {x} {c} _ {z} = - b \ cos (\ гамма) {\ frac {\ Omega} {ab \ sin (\ gamma)}} = - {\ frac {\ Omega \ cos (\ gamma)} {a \ sin (\ gamma)}}, \\\ mathbf { \ sigma} _ {\ mathbf {a}, z} & = {b} _ {x} {c} _ {y} - {b} _ {y} {c} _ {x} = b \ cos (\ гамма) c {\ frac {\ cos (\ alpha) - \ cos (\ beta) \ cos (\ gamma)} {\ sin (\ gamma)}} - b \ sin (\ gamma) c \ cos (\ beta ) \\ & = bc \ left \ {\ cos (\ gamma) {\ frac {\ cos (\ alpha) - \ cos (\ beta) \ cos (\ gamma)} {\ sin (\ gamma)}} - \ sin (\ gamma) \ cos (\ beta) \ right \} \\ & = {\ frac {bc} {\ sin (\ gamma)}} \ left \ {\ cos (\ gamma) [\ cos (\ альфа) - \ cos (\ beta) \ cos (\ gamma)] - \ sin ^ {2} (\ gamma) \ cos (\ beta) \ right \} \\ &= {\ frac {bc} {\ sin (\ gamma)}} \ left \ {\ cos (\ gamma) \ cos (\ alpha) - \ cos (\ beta) \ cos ^ {2} (\ gamma) - \ sin ^ {2} (\ gamma) \ cos (\ beta) \ right \} \\ & = {\ frac {bc} {\ sin (\ gamma)}} \ left \ {\ cos (\ alpha) \ cos (\ gamma) - \ cos (\ beta) \ right \}. \\\ конец {выровнен}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eadbb81a1bf8feb74e2a08963ebe9b631ef39bcf)
![{\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} и \\ v \\ w \ end {matrix}} \ right] = \ left [{\ begin {matrix} {\ frac {1} {a}} & - {\ frac {\ cos (\ gamma)} {a \ sin (\ gamma)}} & bc {\ frac {\ cos (\ alpha) \ cos (\ gamma) - \ cos (\ beta)} {\ Omega \ sin (\ gamma)}} \\ 0 & {\ frac {1} {b \ sin (\ gamma)}} и ac {\ frac {\ cos (\ beta) \ cos (\ gamma) - \ cos (\ alpha) } {\ Omega \ sin (\ gamma)}} \\ 0 & 0 & {\ frac {ab \ sin (\ gamma)} {\ Omega}} \ end {matrix}} \ right] \ left [{\ begin {matrix} x \\ y \\ z \ end {matrix}} \ right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccbf2aa3407bf0ee76088a2a068ba2fcd067d7cd)
![{\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} x \\ y \\ z \ end {matrix}} \ right] = \ left [{\ begin {matrix} a & b \ cos (\ gamma) & c \ cos (\ бета) \\ 0 & b \ sin (\ gamma) & c {\ frac {\ cos (\ alpha) - \ cos (\ beta) \ cos (\ gamma)} {\ sin (\ gamma)}} \\ 0 & 0 & {\ frac {\ Omega} {ab \ sin (\ gamma)}} \ end {matrix}} \ right] \ left [{\ begin {matrix} u \\ v \\ w \ end {matrix}} \ right]. }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e44ae0b4bf199429eb0763ac90ea96872c37690)
