Дробный факторный план

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) Эта статья может быть слишком технической для понимания большинством читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технических деталей. ( Апрель 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники:  «Дробный факторный дизайн»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( апрель 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон ) ‹Приведенный ниже шаблон ( необходим эксперт ) рассматривается для удаления. См. Шаблоны для обсуждения, чтобы помочь достичь консенсуса. › Эта статья требует внимания специалиста по статистике . Добавьте причину или параметр обсуждения в этот шаблон, чтобы объяснить проблему со статьей. WikiProject Statistics может помочь нанять эксперта. ( Январь 2015 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В статистике , дробные факторные планы являются экспериментальными проектами , состоящие из тщательно выбранного подмножества (доли) экспериментальных прогонов полного факторного плана . ^[1] Подмножество выбрано таким образом, чтобы использовать принцип разреженности эффектов, чтобы раскрыть информацию о наиболее важных особенностях изучаемой проблемы, используя при этом небольшую часть усилий полного факторного плана с точки зрения экспериментальных прогонов и ресурсов. . Другими словами, он использует тот факт, что многие эксперименты в полном факторном дизайне часто являются избыточными , давая мало или совсем не давая новой информации о системе.

Обозначение [ править ]

Дробные планы выражаются с использованием обозначений l ^{k - p} , где l - количество уровней каждого исследуемого фактора, k - количество исследованных факторов, а p описывает размер используемой фракции полного факториала. Формально, р представляет собой число генераторов , заданий, какие эффекты или взаимодействия являются проклятыми , то есть , не может быть оценены независимо друг от друга (см ниже). План с p такими генераторами представляет собой 1 / ( l ^p ) = l ^-p часть полного факторного плана.

Например, план ² 5–2 составляет 1/4 двухуровневого пятифакторного факторного плана. Вместо 32 прогонов, которые потребовались бы для полного факторного эксперимента с 2 ⁵ , этот эксперимент требует только восемь прогонов.

На практике редко можно встретить l > 2 уровней в дробных факторных планах, поскольку методология поверхности отклика является гораздо более экспериментальным способом определения взаимосвязи между экспериментальным откликом и факторами на нескольких уровнях. Кроме того, методология создания таких дизайнов для более чем двух уровней намного более громоздка.

Уровни фактора обычно кодируются как +1 для более высокого уровня и -1 для более низкого уровня. Для трехуровневого фактора промежуточное значение кодируется как 0.

Чтобы сэкономить место, точки в двухуровневом факторном эксперименте часто сокращаются строками со знаками плюс и минус. Строки содержат столько символов, сколько факторов, и их значения определяют уровень каждого фактора: обычно для первого (или низкого) уровня и для второго (или высокого) уровня. Точки в этом эксперименте , таким образом , могут быть представлены в виде , , , и .${\ displaystyle -}$${\ displaystyle +}$${\ displaystyle -}$${\ displaystyle + -}$${\ displaystyle - +}$${\ displaystyle ++}$

Факториальные точки также могут быть сокращены до (1), a, b и ab, где наличие буквы указывает, что указанный фактор находится на своем высоком (или втором) уровне, а отсутствие буквы указывает, что указанный коэффициент находится на низком (или первом) уровне (например, «а» указывает, что фактор A находится на высоком уровне, а все другие факторы имеют низкое (или первое) значение). (1) используется, чтобы указать, что все факторы имеют самые низкие (или первые) значения.

Поколение [ править ]

На практике экспериментаторы обычно полагаются на статистические справочники, чтобы предоставить «стандартные» дробные факторные планы, состоящие из главной дроби . Основная фракция представляет собой набор комбинаций лечения , для которых генераторов вычисляться + при комбинированной терапии алгебры. Однако в некоторых ситуациях экспериментаторы могут взять на себя создание собственного дробного дизайна.

Дробный факторный эксперимент создается из полного факторного эксперимента путем выбора структуры псевдонима . Структура псевдонима определяет, какие эффекты смешиваются друг с другом. Например, пятифакторный фактор 2 ^5-2 можно получить, используя полный трехфакторный факторный эксперимент, включающий три фактора (скажем, A , B и C ), а затем решив смешать два оставшихся фактора D и E с взаимодействиями, порожденными D = * В и Е = * С . Эти два выражения называютсягенераторы дизайна. Так, например, когда эксперимент будет запущен и экспериментатор оценивает последствия для фактора D , что на самом деле оцениваются представляет собой сочетание основного эффекта D и взаимодействие два фактора с участием A и B .

Важной характеристикой дробной конструкции является определяющим отношение , которое дает множество столбцов взаимодействия равных в матрице на колонке знаков плюс, обозначаемой I . В приведенном выше примере, поскольку D = AB и E = AC , то ABD и ACE являются столбцами со знаками плюс, а следовательно, и BDCE . В этом случае определяющее соотношение дробного плана I = ABD = ACE = BCDE . Определяющее отношение позволяет определить шаблон псевдонима проекта.

Разрешение [ править ]

Важным свойством дробного дизайна является его разрешение или способность отделять друг от друга главные эффекты и взаимодействия низшего порядка. Формально разрешающая способность конструкции - это минимальная длина слова в определяющем соотношении, исключая ( 1 ). Наиболее важными дробными планами являются планы с разрешением III, IV и V: разрешения ниже III бесполезны, а разрешения выше V бесполезны, поскольку расширенное экспериментирование не имеет практической пользы в большинстве случаев - основная часть дополнительных усилий идет на оценка взаимодействий очень высокого порядка, которые редко встречаются на практике. 2 ^{5 - 2} дизайна выше разрешение III , так как его определение соотношения I = ABD = ACE = BCDE.

Описанное разрешение используется только для обычных дизайнов. Обычные проекты имеют размер пробега, равный степени двойки, и присутствует только полное наложение. Нестандартные конструкции - это конструкции, в которых размер серии кратен 4; в этих схемах присутствует частичное наложение спектров, а в качестве критерия проектирования используется обобщенное разрешение вместо разрешения, описанного ранее.

Пример дробного факторного эксперимента [ править ]

Монтгомери ^[2] приводит следующий пример дробного факторного эксперимента. Инженер провел эксперимент по увеличению скорости фильтрации (производительности) процесса по производству химического вещества и по уменьшению количества формальдегида, используемого в процессе. Полный факторный эксперимент описан на странице Википедии Факторный эксперимент . Учитывались четыре фактора: температура (A), давление (B), концентрация формальдегида (C) и скорость перемешивания (D). Результаты этого примера заключались в том, что основные эффекты A, C и D, а также взаимодействия AC и AD были значительными. Результаты этого примера могут быть использованы для моделирования дробного факторного эксперимента с использованием половинной доли исходного плана 2 ⁴ = 16 прогонов. В таблице показаны 2 ^{4 -1} = план эксперимента с половинной фракцией из 8 прогонов и результирующая скорость фильтрации, извлеченная из таблицы для полного факторного эксперимента из 16 прогонов .

В этом дробном дизайне каждому главному эффекту соответствует трехфакторное взаимодействие (например, A = BCD), а каждому двухфакторному взаимодействию соответствует другое двухфакторное взаимодействие (например, AB = CD). Отношения псевдонимов показаны в таблице. Это дизайн с разрешением IV, что означает, что основные эффекты накладываются на 3-сторонние взаимодействия, а двусторонние взаимодействия накладываются на 2-сторонние взаимодействия.

Анализ дисперсии оценок эффектов показан в таблице ниже. Из таблицы видно, что эффекты A, C и D очень велики. Коэффициент взаимодействия AB довольно мал. Если взаимодействия AB и CD не имеют примерно равных, но противоположных эффектов, этими двумя взаимодействиями можно пренебречь. Если A, C и D имеют большие эффекты, но B мало влияет, то взаимодействия AC и AD, скорее всего, значительны. Эти выводы согласуются с результатами полнофакторного 16-серийного эксперимента.

Поскольку B и его взаимодействия кажутся незначительными, B можно исключить из модели. Отбрасывание B приводит к полному факторному плану 2 ³ для факторов A, C и D. Выполнение анова с использованием факторов A, C и D и условий взаимодействия A: C и A: D дает результаты, показанные в таблицы, которые очень похожи на результаты полного факторного эксперимента , но имеют то преимущество, что требуют только половинную дробь 8 прогонов вместо 16.

Внешние ссылки [ править ]

• Полно-факторные и дробно-факторные эксперименты: часто задаваемые вопросы (Методический центр, Университет Пенсильвании)
• Дробные факторные планы (Национальный институт стандартов и технологий)

См. Также [ править ]

• Надежный дизайн параметров

Ссылки [ править ]