Свободно-циклическая группа

---

В теории групп , особенно в геометрической теории групп , в качестве важных примеров глубоко изучен класс свободных циклических групп. Группа называется циклической свободной, если она имеет свободную нормальную подгруппу такую, что факторгруппа циклическая . Другими словами, является циклическим, если его можно выразить как групповое расширение свободной группы с помощью циклической группы (обратите внимание, что для «by» существуют два соглашения). Обычно мы предполагаем, что группа конечно порождена, а фактор представляет собой бесконечную циклическую группу. Эквивалентно, мы можем определить группу, свободно циклическую, конструктивно: если это автоморфизм группы , полупрямое произведение является группой, свободно циклической.${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G/F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle F}$${\displaystyle F\rtimes _{\varphi }\mathbb {Z} }$

Класс изоморфизма свободно-циклической группы определяется внешним автоморфизмом. Если два автоморфизма представляют один и тот же внешний автоморфизм, то есть для некоторого внутреннего автоморфизма , то циклические группы и являются изоморфными.${\displaystyle \varphi,\psi }$${\displaystyle \varphi =\psi \iota }$${\displaystyle \iota }$${\displaystyle F\rtimes _{\varphi }\mathbb {Z} }$${\displaystyle F\rtimes _{\psi }\mathbb {Z} }$

---