Нечеткая сфера

В математике нечеткая сфера — один из самых простых и каноничных примеров некоммутативной геометрии . Обычно функции, определенные на сфере , образуют коммутирующую алгебру. Нечеткая сфера отличается от обычной сферы тем, что алгебра функций на ней некоммутативна. Он порождается сферическими гармониками , спин которых l не более чем равен некоторому j . Члены произведения двух сферических гармоник, включающие сферические гармоники со спином, превышающим j , в произведении просто опущены. Это усечение заменяет бесконечномерную коммутативную алгебру -мерной некоммутативной алгеброй. ${\ Displaystyle J ^ {2}}$

Самый простой способ увидеть эту сферу — реализовать эту усеченную алгебру функций как алгебру матриц в некотором конечномерном векторном пространстве. Возьмем три j -мерные матрицы , формирующие основу для j - мерного неприводимого представления алгебры Ли su(2) . Они удовлетворяют соотношениям , где – вполне антисимметричный символ с , и порождают через матричное произведение алгебру j - мерных матриц. Значение оператора su(2) Казимира в этом представлении равно ${\ Displaystyle J_ {а}, ~ а = 1,2,3}$ ${\ displaystyle [J_ {a}, J_ {b}] = i \ epsilon _ {abc} J_ {c}}$ ${\ Displaystyle \ эпсилон _ {abc}}$ ${\ Displaystyle \ эпсилон _ {123} = 1}$ ${\ displaystyle M_ {j}}$

где I — j - мерная единичная матрица. Таким образом, если мы определим «координаты», где r - радиус сферы, а k - параметр, связанный с r и j соотношением , то приведенное выше уравнение, касающееся оператора Казимира, можно переписать как ${\ displaystyle x_ {a} = kr ^ {- 1} J_ {a}}$ ${\ displaystyle 4r ^ {4} = k ^ {2} (j ^ {2} -1)}$

что является обычным соотношением для координат на сфере радиуса r , вложенной в трехмерное пространство.

где F — матрица, соответствующая функции f . Например, интеграл от единицы, дающий поверхность сферы в коммутативном случае, здесь равен

Дж. Хоппе, Квантовая теория безмассовой релятивистской поверхности и проблема двумерного связанного состояния. Кандидатская диссертация, Массачусетский технологический институт, 1982 г.