G-сеть

В теории массового обслуживания , дисциплине математической теории вероятностей , G-сеть ( обобщенная сеть массового обслуживания ^[1] или сеть Геленбе ^[2] ) - это открытая сеть G-очередей, впервые представленная Эролом Геленбе в качестве модели для систем массового обслуживания. со специфическими функциями управления, такими как перенаправление трафика или уничтожение трафика, а также модель для нейронных сетей . ^[3] G-очередь - это сеть очередей с несколькими типами новых и полезных клиентов:

• положительные запросы, которые прибывают из других очередей или поступают извне как прибытие Пуассона и подчиняются стандартным правилам обслуживания и маршрутизации, как в традиционных сетевых моделях,
• отрицательные запросы, которые поступают из другой очереди или которые поступают извне как прибытие Пуассона и удаляют (или «убивают») клиентов в непустой очереди, что представляет собой необходимость удаления трафика при перегрузке сети, включая удаление партии »покупателей ^{[4] [5] [6]}
• "триггеры", которые поступают из других очередей или извне сети, и которые вытесняют клиентов и перемещают их в другие очереди

Решение формы продукта, внешне похожее по форме на теорему Джексона , но которое требует решения системы нелинейных уравнений для потоков трафика, существует для стационарного распределения G-сетей, в то время как уравнения трафика G-сети находятся в факт на удивление нелинейный, и модель не подчиняется частичному балансу. Это нарушило предыдущие предположения о том, что частичный баланс был необходимым условием для решения формы продукта. Мощным свойством G-сетей является то, что они являются универсальными аппроксиматорами для непрерывных и ограниченных функций, так что их можно использовать для аппроксимации довольно общего поведения ввода-вывода. ^[7]

Определение [ править ]

Этот раздел включает в себя список ссылок , связанных материалов или внешних ссылок , но его источники остаются неясными, поскольку в нем отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить этот раздел, добавив более точные цитаты. ( Февраль 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Сеть из m связанных очередей является G-сетью, если

1. в каждой очереди есть один сервер, который обслуживает со скоростью μ _i ,
2. внешние поступления положительных клиентов или триггеров или сбросов формируют пуассоновские процессы оценки для положительных клиентов, в то время как триггеры и сбросы, включая отрицательные клиенты, образуют пуассоновский процесс оценки ,${\displaystyle \scriptstyle {\Lambda _{i}}}$${\displaystyle \scriptstyle {\lambda _{i}}}$
3. по завершении обслуживания заявка переходит из очереди i в очередь j как положительная заявка с вероятностью , как триггер или сброс с вероятностью и покидает сеть с вероятностью ,${\displaystyle \scriptstyle {p_{ij}^{+}}}$${\displaystyle \scriptstyle {p_{ij}^{-}}}$${\displaystyle \scriptstyle {d_{i}}}$
4. по прибытии в очередь положительный запрос действует как обычно и увеличивает длину очереди на 1,
5. по прибытии в очередь отрицательный запрос уменьшает длину очереди на некоторое случайное число (если в очереди присутствует хотя бы один положительный запрос), в то время как триггер перемещает заявку вероятностно в другую очередь, а сброс устанавливает состояние очереди в его устойчивое состояние, если очередь пуста, когда приходит сброс. Все триггеры, отрицательные клиенты и сбросы исчезают после того, как они предприняли свои действия, так что они фактически являются «контрольными» сигналами в сети.

• обратите внимание, что обычные клиенты, покидающие очередь, могут стать триггерами или сбросами и отрицательными клиентами при посещении следующей очереди.

Очередь в такой сети называется G-очередью .

Стационарное распределение [ править ]

Определите использование на каждом узле,

${\displaystyle \rho _{i}={\frac {\lambda _{i}^{+}}{\mu _{i}+\lambda _{i}^{-}}}}$

где для удовлетворения${\displaystyle \scriptstyle {\lambda _{i}^{+},\lambda _{i}^{-}}}$${\displaystyle \scriptstyle {i=1,\ldots ,m}}$

${\displaystyle \lambda _{i}^{+}=\sum _{j}\rho _{j}\mu _{j}p_{ji}^{+}+\Lambda _{i}\,}$

( 1 )

${\displaystyle \lambda _{i}^{-}=\sum _{j}\rho _{j}\mu _{j}p_{ji}^{-}+\lambda _{i}.\,}$

( 2 )

Затем записываем ( n ₁ ,…, n _m ) для состояния сети (с длиной очереди n _i в узле i ), если существует единственное неотрицательное решение приведенных выше уравнений ( 1 ) и ( 2 ) такое, что ρ _i для всех i, тогда существует стационарное распределение вероятностей π, которое задается формулой${\displaystyle \scriptstyle {(\lambda _{i}^{+},\lambda _{i}^{-})}}$

${\displaystyle \pi (n_{1},n_{2},\ldots ,n_{m})=\prod _{i=1}^{m}(1-\rho _{i})\rho _{i}^{n_{i}}.}$

Доказательство [ править ]

Этот раздел включает в себя список ссылок , связанных материалов или внешних ссылок , но его источники остаются неясными, поскольку в нем отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить этот раздел, добавив более точные цитаты. ( Февраль 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Достаточно показать, что удовлетворяет глобальным уравнениям баланса, которые, в отличие от сетей Джексона, являются нелинейными. Отметим, что модель также позволяет использовать несколько классов.${\displaystyle \pi }$

G-сети использовались в широком спектре приложений, в том числе для представления генных регулирующих сетей, сочетания управления и полезной нагрузки в пакетных сетях, нейронных сетей и представления цветных изображений и медицинских изображений, таких как изображения магнитного резонанса.

Распределение времени ответа [ править ]

Время ответа - это время, которое клиент проводит в системе. Распределение времени отклика для одной G-очереди известно ^[8], где заявки обслуживаются с использованием дисциплины FCFS со скоростью μ , с положительными поступлениями со скоростью λ ⁺ и отрицательными поступлениями со скоростью λ ^- что убивает клиентов из конца очереди. . Преобразование Лапласа распределения времени отклика в этой ситуации равно ^{[8] [9]}

${\displaystyle W^{\ast }(s)={\frac {\mu (1-\rho )}{\lambda ^{+}}}{\frac {s+\lambda +\mu (1-\rho )-{\sqrt {[s+\lambda +\mu (1-\rho )]^{2}-4\lambda ^{+}\lambda ^{-}}}}{\lambda ^{-}-\lambda ^{+}-\mu (1-\rho )-s+{\sqrt {[s+\lambda +\mu (1-\rho )]^{2}-4\lambda ^{+}\lambda ^{-}}}}}}$

где λ  =  λ ⁺  +  λ ^- и ρ  =  λ ⁺ / ( λ ^-  +  μ ), требуя, чтобы ρ  <1 для устойчивости.

Время отклика для тандемной пары G-очередей (где клиенты, которые заканчивают обслуживание на первом узле, немедленно переходят на второй, а затем покидают сеть) также известно, и считается, что расширение до более крупных сетей будет неразрешимым. ^[9]

Ссылки [ править ]