Уравнения Гаусса – Кодацци

В римановой геометрии и псевдо-римановой геометрии , то уравнения Гаусса-Кодацци (также называемые уравнения Гаусса-Кодацци-Mainardi или Гаусса-Петерсона-Кодацци Формулы ^[1] ) являются фундаментальными формулы , которые связывают вместе индуцированной метрикой и второй фундаментальной формы подмногообразие (или погружение в) риманова или псевдориманова многообразия .

Уравнения были первоначально обнаружены в контексте поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве . В этом контексте первое уравнение, часто называемое уравнением Гаусса (в честь его первооткрывателя Карла Фридриха Гаусса ), говорит, что кривизна поверхности по Гауссу в любой заданной точке диктуется производными карты Гаусса в этой точке, как кодируется второй основной формой . ^[2] Второе уравнение, называемое уравнением Кодацци или уравнением Кодацци-Майнарди , утверждает, что ковариантная производная второй фундаментальной формы полностью симметрична. Он назван в честь Гаспаре Майнарди.(1856) и Дельфино Кодацци (1868–1869), которые независимо получили результат ^[3], хотя он был открыт ранее Карлом Михайловичем Петерсоном . ^{[4] [5]}

Официальное заявление [ править ]

Пусть - n -мерное вложенное подмногообразие риманова многообразия P размерности . Существует естественное включение касательного расслоения из М в том , что из Р с помощью прямого образом , а Коядро этого нормального расслоения на М :${\ displaystyle i \ двоеточие M \ подмножество P}$${\ displaystyle n + p}$

${\ displaystyle 0 \ rightarrow T_ {x} M \ rightarrow T_ {x} P | _ {M} \ rightarrow T_ {x} ^ {\ perp} M \ rightarrow 0.}$

Метрика разбивает эту короткую точную последовательность , и поэтому

${\ Displaystyle TP | _ {M} = TM \ oplus T ^ {\ perp} M.}$

Относительно этого расщепление, то связность Леви-Чивито из Р разлагается в тангенциальные и нормальные компоненты. Для каждого и векторного поля Y на M ,${\ displaystyle \ nabla '}$${\ Displaystyle X \ in TM}$

${\ displaystyle \ nabla '_ {X} Y = \ top \ left (\ nabla' _ {X} Y \ right) + \ bot \ left (\ nabla '_ {X} Y \ right).}$

Позволять

${\displaystyle \nabla _{X}Y=\top \left(\nabla '_{X}Y\right),\quad \alpha (X,Y)=\bot \left(\nabla '_{X}Y\right).}$

Формулу Гаусса ^{[6] [ разъяснение необходимости ]} Теперь утверждает , что это связность Леви-Чивита для М , и является симметричным вектор-формы со значениями в нормальном пучке. Его часто называют второй фундаментальной формой .${\displaystyle \nabla _{X}}$${\displaystyle \alpha }$

Непосредственным следствием является уравнение Гаусса . Для ,${\displaystyle X,Y,Z,W\in TM}$

${\displaystyle \langle R'(X,Y)Z,W\rangle =\langle R(X,Y)Z,W\rangle +\langle \alpha (X,Z),\alpha (Y,W)\rangle -\langle \alpha (Y,Z),\alpha (X,W)\rangle }$

где есть тензор кривизны Римана из Р и Р является то , что M .${\displaystyle R'}$

Уравнение Вейнгартена является аналогом формулы Гаусса для связности в нормальном расслоении. Пусть и нормальное векторное поле. Затем разложите внешнюю ковариантную производную вдоль X на тангенциальную и нормальную составляющие:${\displaystyle X\in TM}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle \nabla '_{X}\xi =\top \left(\nabla '_{X}\xi \right)+\bot \left(\nabla '_{X}\xi \right)=-A_{\xi }(X)+D_{X}(\xi ).}$

потом

1. Уравнение Вайнгартена :${\displaystyle \langle A_{\xi }X,Y\rangle =\langle \alpha (X,Y),\xi \rangle }$
2. D _X - метрическая связность в нормальном расслоении.

Таким образом, существует пара связностей:, определенная на касательном расслоении к M ; и D , определенный на нормальном расслоении М . Они объединяются , чтобы сформировать соединение по любому тензорного произведения копий T M и T ^⊥ M . В частности, они определили ковариантную производную :${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \left({\tilde {\nabla }}_{X}\alpha \right)(Y,Z)=D_{X}\left(\alpha (Y,Z)\right)-\alpha \left(\nabla _{X}Y,Z\right)-\alpha \left(Y,\nabla _{X}Z\right).}$

Уравнение Кодацци – Майнарди имеет вид

${\displaystyle \bot \left(R'(X,Y)Z\right)=\left({\tilde {\nabla }}_{X}\alpha \right)(Y,Z)-\left({\tilde {\nabla }}_{Y}\alpha \right)(X,Z).}$

Поскольку каждое погружение является, в частности, локальным вложением, приведенные выше формулы верны и для погружений.

Уравнения Гаусса – Кодацци в классической дифференциальной геометрии [ править ]

Постановка классических уравнений [ править ]

В классической дифференциальной геометрии поверхностей уравнения Кодацци – Майнарди выражаются через вторую фундаментальную форму ( L , M , N ):

${\displaystyle L_{v}-M_{u}=L\Gamma ^{1}{}_{12}+M\left({\Gamma ^{2}}_{12}-{\Gamma ^{1}}_{11}\right)-N{\Gamma ^{2}}_{11}}$

${\displaystyle M_{v}-N_{u}=L\Gamma ^{1}{}_{22}+M\left({\Gamma ^{2}}_{22}-{\Gamma ^{1}}_{12}\right)-N{\Gamma ^{2}}_{12}}$

Формула Гаусса, в зависимости от того, как выбрать гауссову кривизну, может быть тавтологией . Это можно сформулировать как

${\displaystyle K={\frac {LN-M^{2}}{eg-f^{2}}},}$

где ( e , f , g ) - компоненты первой фундаментальной формы.

Вывод классических уравнений [ править ]

Рассмотрим параметрическую поверхность в трехмерном евклидовом пространстве,

${\displaystyle \mathbf {r} (u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))}$

где трехкомпонентные функции гладко зависят от упорядоченных пар ( u , v ) в некоторой открытой области U на uv- плоскости. Предположим , что эта поверхность является регулярным , а это означает , что векторы г _U и г _v являются линейно независимыми . Завершите это до базиса { r _u , r _v , n }, выбрав единичный вектор n, нормальный к поверхности. Вторые частные производные от r можно выразить с помощью символов Кристоффеля и вторая основная форма.

${\displaystyle \mathbf {r} _{uu}={\Gamma ^{1}}_{11}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{2}}_{11}\mathbf {r} _{v}+L\mathbf {n} }$

${\displaystyle \mathbf {r} _{uv}={\Gamma ^{1}}_{12}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{2}}_{12}\mathbf {r} _{v}+M\mathbf {n} }$

${\displaystyle \mathbf {r} _{vv}={\Gamma ^{1}}_{22}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{2}}_{22}\mathbf {r} _{v}+N\mathbf {n} }$

Теорема Клеро утверждает, что частные производные коммутируют:

${\displaystyle \left(\mathbf {r} _{uu}\right)_{v}=\left(\mathbf {r} _{uv}\right)_{u}}$

Если мы продифференцируем r _uu по v и r _uv по u , мы получим:

${\displaystyle \left({\Gamma ^{1}}_{11}\right)_{v}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{1}}_{11}\mathbf {r} _{uv}+\left({\Gamma ^{2}}_{11}\right)_{v}\mathbf {r} _{v}+{\Gamma ^{2}}_{11}\mathbf {r} _{vv}+L_{v}\mathbf {n} +L\mathbf {n} _{v}}$${\displaystyle =\left({\Gamma ^{1}}_{12}\right)_{u}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{1}}_{12}\mathbf {r} _{uu}+\left(\Gamma _{12}^{2}\right)_{u}\mathbf {r} _{v}+{\Gamma ^{2}}_{12}\mathbf {r} _{uv}+M_{u}\mathbf {n} +M\mathbf {n} _{u}}$

Теперь подставьте приведенные выше выражения для вторых производных и приравняйте коэффициенты при n :

${\displaystyle M{\Gamma ^{1}}_{11}+N{\Gamma ^{2}}_{11}+L_{v}=L{\Gamma ^{1}}_{12}+M{\Gamma ^{2}}_{12}+M_{u}}$

Преобразование этого уравнения дает первое уравнение Кодацци – Майнарди.

Второе уравнение может быть получено аналогичным образом.

Средняя кривизна [ править ]

Пусть М гладкие м - мерное многообразие погружен в ( м  +  к ) -мерный гладкое многообразие P . Пусть локальная ортонормированный репер векторных полей нормальных к М . Тогда мы можем написать,${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots ,e_{k}}$

${\displaystyle \alpha (X,Y)=\sum _{j=1}^{k}\alpha _{j}(X,Y)e_{j}}$

Если теперь это локальная ортонормированная шкала (касательных векторных полей) на том же открытом подмножестве M , то мы можем определить среднюю кривизну погружения как${\displaystyle E_{1},E_{2},\ldots ,E_{m}}$

${\displaystyle H_{j}=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{j}(E_{i},E_{i})}$

В частности, если M является гиперповерхностью P , т. Е. Имеется только одна средняя кривизна, о которой следует говорить. Погружение называется минимальным, если все тождественно равны нулю.${\displaystyle k=1}$${\displaystyle H_{j}}$

Обратите внимание, что средняя кривизна - это след или среднее значение второй фундаментальной формы для любого заданного компонента. Иногда средняя кривизна определяется умножением суммы в правой части на .${\displaystyle 1/m}$

Теперь мы можем записать уравнения Гаусса – Кодацци в виде

${\displaystyle \langle R'(X,Y)Z,W\rangle =\langle R(X,Y)Z,W\rangle +\sum _{j=1}^{k}\alpha _{j}(X,Z)\alpha _{j}(Y,W)-\alpha _{j}(Y,Z)\alpha _{j}(X,W)}$

Заключение контракта на компоненты дает нам${\displaystyle Y,Z}$

${\displaystyle \operatorname {Ric} '(X,W)=\operatorname {Ric} (X,W)+\sum _{j=1}^{k}\langle R'(X,e_{j})e_{j},W\rangle +\left(\sum _{i=1}^{m}\alpha _{j}(X,E_{i})\alpha _{j}(E_{i},W)\right)-H_{j}\alpha _{j}(X,W)}$

Заметим, что тензор в скобках симметричен и неотрицательно определен в . Предполагая, что M - гиперповерхность, это упрощается до${\displaystyle X,W}$

${\displaystyle \operatorname {Ric} '(X,W)=\operatorname {Ric} (X,W)+\langle R'(X,n)n,W\rangle +\left(\sum _{i=1}^{m}h(X,E_{i})h(E_{i},W)\right)-Hh(X,W)}$

где а и . В этом случае получается еще одно сжатие,${\displaystyle n=e_{1}}$${\displaystyle h=\alpha _{1}}$${\displaystyle H=H_{1}}$

${\displaystyle R'=R+2\operatorname {Ric} '(n,n)+\|h\|^{2}-H^{2}}$

где и - соответствующие скалярные кривизны, а${\displaystyle R'}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle \|h\|^{2}=\sum _{i,j=1}^{m}h(E_{i},E_{j})^{2}}$

Если , уравнение скалярной кривизны может быть более сложным.${\displaystyle k>1}$

Мы уже можем использовать эти уравнения, чтобы сделать некоторые выводы. Например, любое минимальное погружение ^[7] в круглую сферу должно иметь вид${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{m+k+1}^{2}=1}$

${\displaystyle \Delta x_{j}+\lambda x_{j}=0}$

где идет от 1 до и${\displaystyle j}$${\displaystyle m+k+1}$

${\displaystyle \Delta =\sum _{i=1}^{m}\nabla _{E_{i}}\nabla _{E_{i}}}$

является лапласианом на M и является положительной константой.${\displaystyle \lambda >0}$

См. Также [ править ]

• Рамка Дарбу

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Исторические ссылки

• Бонне, Оссиан (1867), «Мемуар о теории поверхностей, применимых на поверхности», Journal de l'École Polytechnique , 25 : 31–151 CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Codazzi, Delfino (1868–1869), "Sulle координата curvilinee d'una superficie dello spazio", Ann. Мат. Pura Appl. , 2 : 101–19 CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Гаусс, Карл Фридрих (1828 г.), «Общие исследования кривых поверхностей» [Общие обсуждения криволинейных поверхностей], Comm. Soc. Должен. (на латыни), 6 CS1 maint: discouraged parameter (link) («Общие обсуждения криволинейных поверхностей»)
• Иванов, А.Б. (2001) [1994], "Уравнения Петерсона – Кодацци" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Клайн, Моррис (1972), Математическая мысль от древних до наших дней , Oxford University Press , ISBN 0-19-506137-3 CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Майнарди, Гаспаре (1856), «Su la teoria generale delle superficie», Giornale dell 'Istituto Lombardo , 9 : 385–404 CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Петерсон, Карл Михайлович (1853), Über die Biegung der Flächen , докторская диссертация, Дерптский университет CS1 maint: discouraged parameter (link).

Учебники

• ду Карму, Манфредо П. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. Исправленное и обновленное второе издание. Dover Publications, Inc., Минеола, Нью-Йорк, 2016. xvi + 510 стр. ISBN 978-0-486-80699-0 , 0-486-80699-5 
• ду Карму, Манфреду Пердигау. Риманова геометрия. Перевод со второго португальского издания Фрэнсиса Флаэрти. Математика: теория и приложения. Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс, 1992. xiv + 300 с. ISBN 0-8176-3490-8 
• Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми. Основы дифференциальной геометрии. Vol. II. Междунаучные трактаты по чистой и прикладной математике, № 15 Vol. II Interscience Publishers John Wiley & Sons, Inc., Нью-Йорк-Лондон-Сидней, 1969 xv + 470 стр.
• О'Нил, Барретт. Полуриманова геометрия. С приложениями к теории относительности. Чистая и прикладная математика, 103. Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], Нью-Йорк, 1983. xiii + 468 стр. ISBN 0-12-526740-1 
• В.А. Топоногов. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. Краткое руководство . Birkhauser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс, 2006. xiv + 206 стр. ISBN 978-0-8176-4384-3 ; ISBN 0-8176-4384-2 .  

Статьи

• Такахаши, Цунеро (1966), "Минимальные погружения римановых многообразий", Журнал математического общества Японии
• Саймонс, Джеймс. Минимальные многообразия в римановых многообразиях. Аня. математики. (2) 88 (1968), 62–105.

Внешние ссылки [ править ]

• Уравнения Петерсона – Майнарди – Кодацци - из Wolfram MathWorld
• Уравнения Петерсона – Кодацци.