Теорема Гелл-Манна и Лоу

Теорема Гелл-Манна и Лоу - это теорема в квантовой теории поля, которая позволяет связать основное (или вакуумное) состояние взаимодействующей системы с основным состоянием соответствующей невзаимодействующей теории. Это было доказано в 1951 году Мюррей Гелл-Манн и Фрэнсис Э. Лоу . Теорема полезна, потому что, среди прочего, связывая основное состояние взаимодействующей теории с ее невзаимодействующим основным состоянием, она позволяет выразить функции Грина (которые определяются как математические ожидания полей картинки Гейзенберга во взаимодействующем вакууме ) как ожидаемые значения изображения взаимодействияполя в невзаимодействующем вакууме. Хотя теорема Гелл-Манна и Лоу обычно применяется к основному состоянию, она применима к любому собственному состоянию гамильтониана. Его доказательство основано на идее начала с невзаимодействующего гамильтониана и адиабатического включения взаимодействий.

История [ править ]

Теорема была впервые доказана Гелл-Манном и Лоу в 1951 году с использованием ряда Дайсона . В 1969 году Клаус Хепп представил альтернативный вывод для случая, когда исходный гамильтониан описывает свободные частицы, а взаимодействие ограничено нормой. В 1989 году Ненсиу и Раше доказали это с помощью адиабатической теоремы . Доказательство, не основанное на расширении Дайсона, было дано в 2007 году Молинари.

Формулировка теоремы [ править ]

Позвольте быть собственным состоянием с энергией и пусть будет «взаимодействующий» гамильтониан , где - константа связи и член взаимодействия. Мы определяем гамильтониан, который эффективно интерполирует между и в пределе и . Обозначим через оператор эволюции в картине взаимодействия . Теорема Гелл-Манна и Лоу утверждает, что если предел от ${\ displaystyle | \ пси _ {0} \ rangle}$${\ displaystyle H_ {0}}$${\ displaystyle E_ {0}}$${\ displaystyle H = H_ {0} + gV}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle H _ {\ epsilon} = H_ {0} + e ^ {- \ epsilon | t |} gV}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle H_ {0}}$${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0^{+}}$${\displaystyle |t|\rightarrow \infty }$${\displaystyle U_{\epsilon I}}$${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0^{+}}$

${\displaystyle |\Psi _{\epsilon }^{(\pm )}\rangle ={\frac {U_{\epsilon I}(0,\pm \infty )|\Psi _{0}\rangle }{\langle \Psi _{0}|U_{\epsilon I}(0,\pm \infty )|\Psi _{0}\rangle }}}$

существует, то являются собственными состояниями .${\displaystyle |\Psi _{\epsilon }^{(\pm )}\rangle }$${\displaystyle H}$

Обратите внимание, что в применении, скажем, к основному состоянию, теорема не гарантирует, что развитое состояние будет основным состоянием. Другими словами, железнодорожный переезд не исключен.

Доказательство [ править ]

Как и в исходной статье, теорема обычно доказывается с использованием разложения Дайсона оператора эволюции. Однако его применимость выходит за рамки теории возмущений, как было продемонстрировано Молинари. Здесь мы следуем методу Молинари. Сосредоточьтесь и позвольте . Из уравнения Шредингера для оператора временной эволюции ${\displaystyle H_{\epsilon }}$${\displaystyle g=e^{\epsilon \theta }}$

${\displaystyle i\hbar \partial _{t_{1}}U_{\epsilon }(t_{1},t_{2})=H_{\epsilon }(t_{1})U_{\epsilon }(t_{1},t_{2})}$

и граничное условие можно формально записать${\displaystyle U_{\epsilon }(t_{2},t_{2})=1}$

${\displaystyle U_{\epsilon }(t_{1},t_{2})=1+{\frac {1}{i\hbar }}\int _{t_{2}}^{t_{1}}dt'(H_{0}+e^{\epsilon (\theta -|t'|)}V)U_{\epsilon }(t',t_{2}).}$

Сосредоточьтесь на этом деле . Путем замены переменных мы можем написать ${\displaystyle 0\geq t_{1}\geq t_{2}}$${\displaystyle \tau =t'+\theta }$

${\displaystyle U_{\epsilon }(t_{1},t_{2})=1+{\frac {1}{i\hbar }}\int _{\theta +t_{2}}^{\theta +t_{1}}d\tau (H_{0}+e^{\epsilon \tau }V)U_{\epsilon }(\tau -\theta ,t_{2}).}$

Таким образом, у нас есть это

${\displaystyle \partial _{\theta }U_{\epsilon }(t_{1},t_{2})=\epsilon g\partial _{g}U_{\epsilon }(t_{1},t_{2})=\partial _{t_{1}}U_{\epsilon }(t_{1},t_{2})+\partial _{t_{2}}U_{\epsilon }(t_{1},t_{2}).}$

Этот результат можно объединить с уравнением Шредингера и его сопряженным

${\displaystyle -i\hbar \partial _{t_{1}}U_{\epsilon }(t_{2},t_{1})=U_{\epsilon }(t_{2},t_{1})H_{\epsilon }(t_{1})}$

чтобы получить

${\displaystyle i\hbar \epsilon g\partial _{g}U_{\epsilon }(t_{1},t_{2})=H_{\epsilon }(t_{1})U_{\epsilon }(t_{1},t_{2})-U_{\epsilon }(t_{1},t_{2})H_{\epsilon }(t_{2}).}$

Соответствующее уравнение между ними такое же. Его можно получить путем предварительного умножения обеих сторон на , последующего умножения на и использования ${\displaystyle H_{\epsilon I},U_{\epsilon I}}$${\displaystyle e^{iH_{0}t_{1}/\hbar }}$${\displaystyle e^{iH_{0}t_{2}/\hbar }}$

${\displaystyle U_{\epsilon I}(t_{1},t_{2})=e^{iH_{0}t_{1}/\hbar }U_{\epsilon }(t_{1},t_{2})e^{-iH_{0}t_{2}/\hbar }.}$

Другой интересующий нас случай, а именно, может рассматриваться аналогичным образом и дает дополнительный знак минус перед коммутатором (мы не рассматриваем здесь случай, когда имеют смешанные знаки). Таким образом, получаем${\displaystyle t_{2}\geq t_{1}\geq 0}$${\displaystyle t_{1,2}}$

${\displaystyle \left(H_{\epsilon ,t=0}-E_{0}\pm i\hbar \epsilon g\partial _{g}\right)U_{\epsilon I}(0,\pm \infty )|\Psi _{0}\rangle =0.}$

Мы переходим к случаю отрицательного времени. Сокращение различных операторов для ясности

${\displaystyle i\hbar \epsilon g\partial _{g}\left(U|\Psi _{0}\rangle \right)=(H_{\epsilon }-E_{0})U|\Psi _{0}\rangle .}$

Теперь, используя определение, мы дифференцируем и исключаем производные, используя приведенное выше выражение, находим${\displaystyle \Psi _{\epsilon }}$${\displaystyle \partial _{g}(U|\Psi _{0}\rangle )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}i\hbar \epsilon g\partial _{g}|\Psi _{\epsilon }\rangle &={\frac {1}{\langle \Psi _{0}|U|\Psi _{0}\rangle }}(H_{\epsilon }-E_{0})U|\Psi _{0}\rangle -{\frac {U|\Psi _{0}\rangle }{{\langle \Psi _{0}|U|\Psi _{0}\rangle }^{2}}}\langle \Psi _{0}|(H_{\epsilon }-E_{0})U|\Psi _{0}\rangle \\&=(H_{\epsilon }-E_{0})|\Psi _{\epsilon }\rangle -|\Psi _{\epsilon }\rangle \langle \Psi _{0}|H_{\epsilon }-E_{0}|\Psi _{\epsilon }\rangle \\&=\left[H_{\epsilon }-E\right]|\Psi _{\epsilon }\rangle .\end{aligned}}}$

где . Теперь мы можем считать, как по предположению, в левой части конечно. Затем мы ясно видим, что это собственное состояние, и доказательство завершено.${\displaystyle E=E_{0}+\langle \Psi _{0}|H_{\epsilon }-H_{0}|\Psi _{\epsilon }\rangle }$${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0^{+}}$${\displaystyle g\partial _{g}|\Psi _{\epsilon }\rangle }$${\displaystyle |\Psi _{\epsilon }\rangle }$${\displaystyle H}$

Ссылки [ править ]

1. Гелл-Манн, Мюррей; Лоу, Фрэнсис (1951-10-15). «Связанные состояния в квантовой теории поля» (PDF) . Физический обзор . Американское физическое общество (APS). 84 (2): 350–354. DOI : 10.1103 / Physrev.84.350 . ISSN  0031-899X .

2. К. Хепп: конспект лекций по физике (Springer-Verlag, New York, 1969), Vol. 2.

3. G. Nenciu и G. Rasche: "Адиабатическая теорема и формула Гелл-Манна-Лоу", Helv. Phys. Acta 62, 372 (1989).

4. Молинари, Лука Гвидо (2007). «Еще одно доказательство теоремы Гелл-Манна и Лоу». Журнал математической физики . Издательство AIP. 48 (5): 052113. CiteSeerX 10.1.1.340.5866 . DOI : 10.1063 / 1.2740469 . ISSN 0022-2488 . S2CID 119665963 .   

5. AL Fetter и JD Walecka: "Квантовая теория систем многих частиц", McGraw – Hill (1971)