Адиабатическая теорема

Адиабатический теорема является понятием в квантовой механике . Его первоначальная форма, созданная Максом Борном и Владимиром Фоком (1928), была сформулирована следующим образом:

Физическая система остается в своем мгновенном собственном состоянии , если данное возмущение действует на него достаточно медленно , и если существует разрыв между собственным значением и остальной частью гамильтониана «s спектра . ^[1]

Проще говоря, квантово-механическая система, подверженная постепенно изменяющимся внешним условиям, адаптирует свою функциональную форму, но когда она подвергается быстро меняющимся условиям, у функциональной формы недостаточно времени для адаптации, поэтому пространственная плотность вероятности остается неизменной.

Диабатические и адиабатические процессы [ править ]

В некоторый начальный момент квантово-механическая система имеет энергию, заданную гамильтонианом ; система находится в собственном состоянии с меткой . Изменение условий непрерывно модифицирует гамильтониан, в результате чего через некоторое время получается окончательный гамильтониан . Система будет развиваться в соответствии с зависящим от времени уравнением Шредингера , чтобы достичь конечного состояния . Адиабатическая теорема утверждает, что модификация системы критически зависит от времени, в течение которого происходит модификация.${\ displaystyle \ scriptstyle {т_ {0}}}$${\ displaystyle \ scriptstyle {{\ hat {H}} (t_ {0})}}$${\ displaystyle \ scriptstyle {{\ hat {H}} (t_ {0})}}$${\displaystyle \scriptstyle {\psi (x,t_{0})}}$${\displaystyle \scriptstyle {{\hat {H}}(t_{1})}}$${\displaystyle \scriptstyle {t_{1}}}$${\displaystyle \scriptstyle {\psi (x,t_{1})}}$${\displaystyle \scriptstyle {\tau =t_{1}-t_{0}}}$

Для действительно адиабатического процесса нам требуется ; в этом случае конечное состояние будет собственным состоянием конечного гамильтониана с измененной конфигурацией:${\displaystyle \scriptstyle {\tau \rightarrow \infty }}$${\displaystyle \scriptstyle {\psi (x,t_{1})}}$${\displaystyle \scriptstyle {{\hat {H}}(t_{1})}}$

${\displaystyle |\psi (x,t_{1})|^{2}\neq |\psi (x,t_{0})|^{2}}$.

Степень, в которой данное изменение приближается к адиабатическому процессу, зависит как от энергетического разделения между состояниями и соседними состояниями, так и от отношения интервала к характерному масштабу времени эволюции для не зависящего от времени гамильтониана , где - энергия оф .${\displaystyle \scriptstyle {\psi (x,t_{0})}}$${\displaystyle \scriptstyle {\tau }}$${\displaystyle \scriptstyle {\psi (x,t_{0})}}$${\displaystyle \scriptstyle {\tau _{int}=2\pi \hbar /E_{0}}}$${\displaystyle \scriptstyle {E_{0}}}$${\displaystyle \scriptstyle {\psi (x,t_{0})}}$

Наоборот, в пределе мы имеем бесконечно быстрый или дьявольский переход; конфигурация состояния остается неизменной:${\displaystyle \scriptstyle {\tau \rightarrow 0}}$

${\displaystyle |\psi (x,t_{1})|^{2}=|\psi (x,t_{0})|^{2}\quad }$.

Так называемый «состояние разрыва» включен в Борна и Фок первоначального определения , приведенном выше , относится к требованию о том , что спектр из является дискретным и невырожденным , так что нет никакой двусмысленности в упорядочении состояний (можно легко установить , какие собственные состояния из соответствует к ). В 1999 г. Дж. Э. Аврон и А. Элгарт переформулировали адиабатическую теорему, чтобы адаптировать ее к ситуациям без пробелов. ^[3]${\displaystyle \scriptstyle {\hat {H}}}$${\displaystyle \scriptstyle {{\hat {H}}(t_{1})}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\psi (t_{0})}}$

Сравнение с адиабатической концепцией в термодинамике [ править ]

Обратите внимание, что термин «адиабатический» традиционно используется в термодинамике для описания процессов без теплообмена между системой и окружающей средой (см. Адиабатический процесс ), точнее, эти процессы обычно быстрее, чем шкала времени теплообмена. (Например, волна давления адиабатична по сравнению с волной тепла, которая не является адиабатической.) Адиабатическая в контексте термодинамики часто используется как синоним быстрого процесса.

Определение классической и квантовой механики ^[4] ближе к термодинамической концепции квазистатического процесса , то есть процессов, которые почти всегда находятся в равновесии (то есть медленнее, чем временные масштабы взаимодействий внутреннего энергообмена, а именно «нормальный» атмосферный тепловая волна является квазистатической, а волна давления - нет). Адиабатика в контексте механики часто используется как синоним медленного процесса.

В квантовом мире адиабатика означает, например, что шкала времени взаимодействия электронов и фотонов намного быстрее или почти мгновенна по сравнению со средней шкалой времени распространения электронов и фотонов. Следовательно, мы можем моделировать взаимодействия как часть непрерывного распространения электронов и фотонов (то есть состояний в равновесии) плюс квантовый скачок между состояниями (то есть мгновенные).

Адиабатическая теорема в этом эвристическом контексте по существу говорит о том, что квантовых скачков предпочтительно избегать, а система пытается сохранить состояние и квантовые числа. ^[5]

Квантово-механическое понятие адиабаты связано с адиабатическим инвариантом , оно часто используется в старой квантовой теории и не имеет прямого отношения к теплообмену.

Примеры систем [ править ]

Простой маятник [ править ]

В качестве примера рассмотрим маятник, колеблющийся в вертикальной плоскости. Если опору сдвинуть, режим колебаний маятника изменится. Если опору перемещать достаточно медленно , движение маятника относительно опоры не изменится. Постепенное изменение внешних условий позволяет системе адаптироваться, так что она сохраняет свой первоначальный характер. Подробный классический пример доступен на странице адиабатического инварианта и здесь. ^[6]

Квантовый гармонический осциллятор [ править ]

Рис. 1. Изменение плотности вероятности квантового гармонического осциллятора в основном состоянии из-за адиабатического увеличения жесткости пружины.${\displaystyle \scriptstyle {|\psi (t)|^{2}}}$

Классический характер маятника исключает полное описание эффектов адиабатический теоремы. В качестве дополнительного примера рассмотрим квантовый гармонический осциллятор при увеличении жесткости пружины . Классически это эквивалентно увеличению жесткости пружины; Квантово-механически эффект представляет собой сужение кривой потенциальной энергии в гамильтониане системы .${\displaystyle \scriptstyle {k}}$

Если адиабатический увеличено , то система в момент времени будет находиться в мгновенном собственном состоянии от текущего гамильтониана , соответствующее начальному собственного состояния . Для частного случая системы, подобной квантовому гармоническому осциллятору, описываемому одним квантовым числом , это означает, что квантовое число останется неизменным. На рис. 1 показано, как гармонический осциллятор, первоначально находящийся в основном состоянии , остается в основном состоянии при сжатии кривой потенциальной энергии; функциональная форма состояния, адаптирующаяся к медленно меняющимся условиям.${\displaystyle \scriptstyle {k}}$${\displaystyle \scriptstyle {\left({\frac {dk}{dt}}\rightarrow 0\right)}}$${\displaystyle \scriptstyle {t}}$${\displaystyle \scriptstyle {\psi (t)}}$${\displaystyle \scriptstyle {{\hat {H}}(t)}}$${\displaystyle \scriptstyle {{\hat {H}}(0)}}$${\displaystyle \scriptstyle {n=0}}$

При быстро увеличивающейся жесткости пружины система подвергается диабатическому процессу, при котором система не имеет времени адаптировать свою функциональную форму к изменяющимся условиям. Хотя конечное состояние должно выглядеть идентично начальному состоянию для процесса, происходящего в течение исчезающего периода времени, у нового гамильтониана нет собственного состояния , которое напоминало бы начальное состояние. Конечное состояние состоит из линейной суперпозиции множества различных собственных состояний, сумма которых воспроизводит форму начального состояния.${\displaystyle \scriptstyle {\left({\frac {dk}{dt}}\rightarrow \infty \right)}}$${\displaystyle \scriptstyle {\left(|\psi (t)|^{2}=|\psi (0)|^{2}\right)}}$${\displaystyle \scriptstyle {{\hat {H}}(t)}}$${\displaystyle \scriptstyle {{\hat {H}}(t)}}$

Избегайте пересечения кривой [ править ]

Рис. 2. Избегание пересечения уровней энергии в двухуровневой системе во внешнем магнитном поле. Обратите внимание на энергии диабатических состояний и и собственные значения гамильтониана, дающие энергии собственных состояний и (адиабатических состояний). (Собственно, и на этой картинке надо поменять местами.)${\displaystyle \scriptstyle {|1\rangle }}$${\displaystyle \scriptstyle {|2\rangle }}$${\displaystyle \scriptstyle {|\phi _{1}\rangle }}$${\displaystyle \scriptstyle {|\phi _{2}\rangle }}$${\displaystyle \scriptstyle {|\phi _{1}\rangle }}$${\displaystyle \scriptstyle {|\phi _{2}\rangle }}$

В качестве более широко применимого примера рассмотрим двухуровневый атом, находящийся во внешнем магнитном поле . ^[7] Состояния, помеченные и использующие обозначения скобками , можно рассматривать как состояния атомного углового момента , каждое с определенной геометрией. По причинам, которые станут ясны, эти состояния впредь будут называться диабатическими состояниями. Волновую функцию системы можно представить как линейную комбинацию диабатических состояний:${\displaystyle \scriptstyle {|1\rangle }}$${\displaystyle \scriptstyle {|2\rangle }}$

${\displaystyle |\Psi \rangle =c_{1}(t)|1\rangle +c_{2}(t)|2\rangle .}$

При отсутствии поля энергетическое разделение диабатических состояний равно ; энергия состояния увеличивается с увеличением магнитного поля (состояние поиска слабого поля), в то время как энергия состояния уменьшается с увеличением магнитного поля (состояние поиска сильного поля). Предполагая линейную зависимость от магнитного поля, матрицу гамильтониана для системы с приложенным полем можно записать${\displaystyle \scriptstyle {\hbar \omega _{0}}}$${\displaystyle \scriptstyle {|1\rangle }}$${\displaystyle \scriptstyle {|2\rangle }}$

${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}\mu B(t)-\hbar \omega _{0}/2&a\\a^{*}&\hbar \omega _{0}/2-\mu B(t)\end{pmatrix}}}$

где - магнитный момент атома, предполагаемый одинаковым для двух диабатических состояний, и некоторая не зависящая от времени связь между двумя состояниями. Диагональные элементы - это энергии диабатических состояний ( и ), однако, поскольку это не диагональная матрица , ясно, что эти состояния не являются собственными состояниями нового гамильтониана, который включает вклад магнитного поля.${\displaystyle \scriptstyle {\mu }}$${\displaystyle \scriptstyle {a}}$${\displaystyle \scriptstyle {E_{1}(t)}}$${\displaystyle \scriptstyle {E_{2}(t)}}$${\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {H} }}$

Собственные векторы матрицы - это собственные состояния системы, которые мы обозначим и с соответствующими собственными значениями${\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {H} }}$${\displaystyle \scriptstyle {|\phi _{1}(t)\rangle }}$${\displaystyle \scriptstyle {|\phi _{2}(t)\rangle }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}(t)&=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {4a^{2}+(\hbar \omega _{0}-2\mu B(t))^{2}}}\\\varepsilon _{2}(t)&=+{\frac {1}{2}}{\sqrt {4a^{2}+(\hbar \omega _{0}-2\mu B(t))^{2}}}.\\\end{aligned}}}$

Важно понимать, что собственные значения и являются единственными допустимыми выходными значениями для любого индивидуального измерения энергии системы, тогда как диабатические энергии и соответствуют ожидаемым значениям энергии системы в диабатических состояниях и .${\displaystyle \scriptstyle {\varepsilon _{1}(t)}}$${\displaystyle \scriptstyle {\varepsilon _{2}(t)}}$${\displaystyle \scriptstyle {E_{1}(t)}}$${\displaystyle \scriptstyle {E_{2}(t)}}$${\displaystyle \scriptstyle {|1\rangle }}$${\displaystyle \scriptstyle {|2\rangle }}$

На рис. 2 показана зависимость диабатической и адиабатической энергий от величины магнитного поля; обратите внимание, что при ненулевой связи собственные значения гамильтониана не могут быть вырожденными , и, таким образом, мы можем избежать пересечения. Если атом изначально находится в состоянии нулевого магнитного поля (на красной кривой, крайний левый), адиабатическое увеличение магнитного поля гарантирует, что система останется в собственном состоянии гамильтониана на протяжении всего процесса (следует красной кривой). Диабатическое увеличение магнитного поля гарантирует, что система следует диабатическому пути (пунктирная синяя линия), так что система претерпевает переход в состояние . Для конечных скоростей нарастания магнитного поля${\displaystyle \scriptstyle {|\phi _{2}(t_{0})\rangle }}$${\displaystyle \scriptstyle {\left({\frac {dB}{dt}}\rightarrow 0\right)}}$${\displaystyle \scriptstyle {|\phi _{2}(t)\rangle }}$${\displaystyle \scriptstyle {\left({\frac {dB}{dt}}\rightarrow \infty \right)}}$${\displaystyle \scriptstyle {|\phi _{1}(t_{1})\rangle }}$${\displaystyle \scriptstyle {\left(0<{\frac {dB}{dt}}<\infty \right)}}$будет конечная вероятность найти систему в любом из двух собственных состояний. См. Ниже подходы к вычислению этих вероятностей.

Эти результаты чрезвычайно важны в атомной и молекулярной физике для управления распределением энергетических состояний в популяции атомов или молекул.

Доказательство адиабатической теоремы [ править ]

Математическая формулировка адиабатической теоремы [ править ]

Математически теорему можно сформулировать следующим образом [1] :

Для медленно меняющегося гамильтониана во временном диапазоне T решение уравнения Шредингера с начальными условиями${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle \Psi (t)}$${\displaystyle \Psi (0)=\psi _{n}(0)}$

где - собственный вектор мгновенного уравнения Шредингера, можно аппроксимировать следующим образом:${\displaystyle \psi _{n}(t)}$${\displaystyle {\hat {H}}(t)\psi _{n}(t)=E_{n}(t)\psi _{n}(t)}$

${\displaystyle \left\|{\Psi (t)-\psi _{adiabatic}(t)}\right\|\approx o({\frac {1}{T}})}$

где адиабатическое приближение:

${\displaystyle |\psi _{adiabatic}(t)\rangle =e^{i\theta _{n}(t)}e^{i\gamma _{n}(t)}|\psi _{n}(t)\rangle }$

и

${\displaystyle \theta _{n}(t)=-{\frac {1}{\hbar }}\int _{0}^{t}E_{n}(t')dt'}$

${\displaystyle \gamma _{n}(t)=\int _{0}^{t}\nu _{n}(t')dt'}$также называется фазой ягод

${\displaystyle \nu _{n}(t)=i\langle \psi _{n}(t)|{\dot {\psi }}_{n}(t)\rangle }$

Доказательство [ править ]

Рассмотрим зависящее от времени уравнение Шредингера

${\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial t}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}({\tfrac {t}{T}})|\psi (t)\rangle }$

с гамильтонианом Мы хотели бы знать связь между начальным состоянием и его конечным состоянием при в адиабатическом пределе${\displaystyle {\hat {H}}(t).}$${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$${\displaystyle |\psi (T)\rangle }$${\displaystyle t=T}$${\displaystyle T\to \infty .}$

Первое переопределение времени как :${\displaystyle \lambda ={\tfrac {t}{T}}\in [0,1]}$

${\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial \lambda }|\psi (\lambda )\rangle =T{\hat {H}}(\lambda )|\psi (\lambda )\rangle .}$

В любой момент времени можно диагонализовать собственные значения и собственные векторы . Поскольку собственные векторы образуют полный базис в любое время, мы можем расширить его как:${\displaystyle {\hat {H}}(\lambda )}$${\displaystyle {\hat {H}}(\lambda )|\psi _{n}(\lambda )\rangle =E_{n}(\lambda )|\psi _{n}(\lambda )\rangle }$${\displaystyle E_{n}}$${\displaystyle |\psi _{n}(\lambda )\rangle }$${\displaystyle |\psi (\lambda )\rangle }$

${\displaystyle |\psi (\lambda )\rangle =\sum _{n}c_{n}(\lambda )|\psi _{n}(\lambda )\rangle e^{iT\theta _{n}(\lambda )}}$, куда ${\displaystyle \theta _{n}(\lambda )=-{\frac {1}{\hbar }}\int \limits _{0}^{\lambda }E_{n}(\lambda ')d\lambda '.}$

Фаза называется динамическим фазовым фактором . Путем подстановки в уравнение Шредингера можно получить другое уравнение для изменения коэффициентов:${\displaystyle \theta _{n}(t)}$

${\displaystyle i\hbar \sum _{n}({\dot {c}}_{n}|\psi _{n}\rangle +c_{n}|{\dot {\psi }}_{n}\rangle +ic_{n}|\psi _{n}\rangle T{\dot {\theta }}_{n})e^{iT\theta _{n}}=\sum _{n}c_{n}TE_{n}|\psi _{n}\rangle e^{iT\theta _{n}}.}$

Член дает , и поэтому третий член левой части компенсируется правой частью, оставляя${\displaystyle {\dot {\theta }}_{n}}$${\displaystyle -E_{n}/\hbar }$

${\displaystyle \sum _{n}{\dot {c}}_{n}|\psi _{n}\rangle e^{iT\theta _{n}}=-\sum _{n}c_{n}|{\dot {\psi }}_{n}\rangle e^{iT\theta _{n}}.}$

Теперь, взяв скалярное произведение с произвольной собственной функцией , слева дает , который равен 1 только при m = n, а в противном случае равен нулю. Оставшаяся часть дает ${\displaystyle \langle \psi _{m}|}$${\displaystyle \langle \psi _{m}|\psi _{n}\rangle }$${\displaystyle \delta _{nm}}$

${\displaystyle {\dot {c}}_{m}=-\sum _{n}c_{n}\langle \psi _{m}|{\dot {\psi }}_{n}\rangle e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})}.}$

Для будет колебаться быстрее и быстрее и интуитивно, в конечном счете подавить почти все условия , на правой стороне. Исключение составляет лишь когда имеет критическую точку, то есть . Это тривиально верно для . Поскольку адиабатическая теорема предполагает разрыв между собственными энергиями в любой момент времени, это не может выполняться для . Поэтому в пределах лимита останется только срок .${\displaystyle T\to \infty }$${\displaystyle e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})}}$${\displaystyle \theta _{n}-\theta _{m}}$${\displaystyle E_{n}(\lambda )=E_{m}(\lambda )}$${\displaystyle m=n}$${\displaystyle m\neq n}$${\displaystyle m=n}$${\displaystyle T\to \infty }$

Чтобы показать это более строго, нам сначала нужно удалить термин. Это можно сделать, определив${\displaystyle m=n}$${\displaystyle d_{m}(\lambda )=c_{m}(\lambda )e^{\int _{0}^{\lambda }\langle \psi _{m}|{\dot {\psi }}_{m}\rangle d\lambda }=c_{m}(\lambda )e^{-i\gamma _{m}(\lambda )}.}$

Мы получаем:

${\displaystyle {\dot {d}}_{m}=-\sum _{n\neq m}d_{n}\langle \psi _{m}|{\dot {\psi }}_{n}\rangle e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})-i(\gamma _{m}-\gamma _{n})}.}$

Это уравнение можно проинтегрировать:

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{m}(1)-d_{m}(0)&=-\int _{0}^{1}\sum _{n\neq m}d_{n}\langle \psi _{m}|{\dot {\psi }}_{n}\rangle e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})-i(\gamma _{m}-\gamma _{n})}d\lambda \\&=-\int _{0}^{1}\sum _{n\neq m}(d_{n}-d_{n}(0))\langle \psi _{m}|{\dot {\psi }}_{n}\rangle e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})-i(\gamma _{m}-\gamma _{n})}d\lambda -\int _{0}^{\lambda }\sum _{n\neq m}d_{n}(0)\langle \psi _{m}|{\dot {\psi }}_{n}\rangle e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})-i(\gamma _{m}-\gamma _{n})}d\lambda \end{aligned}}}$

или записано в векторной записи

${\displaystyle {\vec {d}}(1)-{\vec {d}}(0)=-\int _{0}^{1}{\hat {A}}(T,\lambda )({\vec {d}}(\lambda )-{\vec {d}}(0))d\lambda -{\vec {\alpha }}(T).}$

Вот матрица и${\displaystyle {\hat {A}}(T,\lambda )}$

${\displaystyle \alpha _{m}(T)=\int _{0}^{1}\sum _{n\neq m}d_{n}(0)\langle \psi _{m}|{\dot {\psi }}_{n}\rangle e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})-i(\gamma _{m}-\gamma _{n})}d\lambda }$ по сути является преобразованием Фурье.

Из леммы Римана-Лебега следует, что при . В качестве последнего шага возьмите норму с обеих сторон приведенного выше уравнения:${\displaystyle {\vec {\alpha }}(T)\to 0}$${\displaystyle T\to \infty }$

${\displaystyle \Vert {\vec {d}}(1)-{\vec {d}}(0)\Vert \leq \Vert {\vec {\alpha }}(T)\Vert +\int _{0}^{1}\Vert {\hat {A}}(T,\lambda )\Vert \Vert {\vec {d}}(\lambda )-{\vec {d}}(0)\Vert d\lambda }$

и применим неравенство Грёнвалла, чтобы получить

${\displaystyle \Vert {\vec {d}}(1)-{\vec {d}}(0)\Vert \leq \Vert {\vec {\alpha }}(T)\Vert e^{\int _{0}^{1}\Vert {\hat {A}}(T,\lambda )\Vert d\lambda }.}$

Поскольку это следует за . Это завершает доказательство адиабатической теоремы.${\displaystyle {\vec {\alpha }}(T)\to 0}$${\displaystyle \Vert {\vec {d}}(1)-{\vec {d}}(0)\Vert \to 0}$${\displaystyle T\to \infty }$

В адиабатическом пределе собственные состояния гамильтониана эволюционируют независимо друг от друга. Если система подготовлена ​​в собственном состоянии, ее эволюция во времени определяется следующим образом:${\displaystyle |\psi (0)\rangle =|\psi _{n}(0)\rangle }$

${\displaystyle |\psi (\lambda )\rangle =|\psi _{n}(\lambda )\rangle e^{iT\theta _{n}(\lambda )}e^{i\gamma _{n}(\lambda )}.}$

Таким образом, для адиабатического процесса система, начинающаяся с n- го собственного состояния, также остается в этом n- м собственном состоянии, как и для не зависящих от времени процессов, только с учетом пары фазовых факторов. Новый фазовый множитель может быть отменен соответствующим выбором калибровки собственных функций. Однако, если адиабатическая эволюция является циклической , тогда она становится калибровочно-инвариантной физической величиной, известной как фаза Берри .${\displaystyle \gamma _{n}(t)}$${\displaystyle \gamma _{n}(t)}$

Примеры приложений [ править ]

Часто твердый кристалл моделируется как набор независимых валентных электронов, движущихся в среднем идеально периодическом потенциале, создаваемом жесткой решеткой ионов. С помощью адиабатической теоремы мы также можем включить вместо этого движение валентных электронов через кристалл и тепловое движение ионов, как в приближении Борна – Оппенгеймера . ^[8]

Это объясняет многие явления в области:

• термодинамика : температурная зависимость теплоемкости , тепловое расширение , плавление.
• транспортное явление : температурная зависимость электрического сопротивления от проводников , температурная зависимость электропроводности в диэлектриках , Некоторые свойства низкотемпературной сверхпроводимости
• оптика : оптическое поглощение в инфракрасном диапазоне для ионных кристаллов , бриллюэновское рассеяние , комбинационное рассеяние света

Получение условий для диабатического и адиабатического перехода [ править ]

Фактическая точность этого раздела оспаривается . Соответствующее обсуждение можно найти в Обсуждении: адиабатическая теорема . Пожалуйста, помогите обеспечить надежный источник спорных заявлений . ( Январь 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Теперь мы проведем более тщательный анализ. ^[9] Используя обозначения скобок , вектор состояния системы в момент времени можно записать${\displaystyle \scriptstyle {t}}$

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n}c_{n}^{A}(t)e^{-iE_{n}t/\hbar }|\phi _{n}\rangle }$,

где пространственная волновая функция, упомянутая ранее, является проекцией вектора состояния на собственные состояния оператора положения

${\displaystyle \psi (x,t)=\langle x|\psi (t)\rangle }$.

Поучительно изучить предельные случаи, в которых очень большие (адиабатические или постепенные изменения) и очень маленькие (диабатические или внезапные изменения).${\displaystyle \scriptstyle {\tau }}$

Рассмотрим гамильтониан системы, претерпевающий непрерывное изменение от начального значения во времени к конечному значению в момент времени , где . Эволюцию системы можно описать в картине Шредингера с помощью оператора временной эволюции, определяемого интегральным уравнением${\displaystyle \scriptstyle {{\hat {H}}_{0}}}$${\displaystyle \scriptstyle {t_{0}}}$${\displaystyle \scriptstyle {{\hat {H}}_{1}}}$${\displaystyle \scriptstyle {t_{1}}}$${\displaystyle \scriptstyle {\tau =t_{1}-t_{0}}}$

${\displaystyle {\hat {U}}(t,t_{0})=1-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}{\hat {H}}(t^{\prime }){\hat {U}}(t^{\prime },t_{0})dt^{\prime }}$,

что эквивалентно уравнению Шредингера .

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {U}}(t,t_{0})={\hat {H}}(t){\hat {U}}(t,t_{0})}$,

вместе с начальным условием . Зная волновую функцию системы при , можно получить эволюцию системы до более позднего времени , используя${\displaystyle \scriptstyle {{\hat {U}}(t_{0},t_{0})=1}}$${\displaystyle \scriptstyle {t_{0}}}$${\displaystyle \scriptstyle {t}}$

${\displaystyle |\psi (t)\rangle ={\hat {U}}(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .}$

Проблема определения адиабатичности данного процесса эквивалентна установление зависимости от .${\displaystyle \scriptstyle {{\hat {U}}(t_{1},t_{0})}}$${\displaystyle \scriptstyle {\tau }}$

Чтобы определить справедливость адиабатического приближения для данного процесса, можно вычислить вероятность нахождения системы в состоянии, отличном от того, в котором она началась. Используя обозначения бра – кет и используя определение , мы имеем:${\displaystyle \scriptstyle {|0\rangle \equiv |\psi (t_{0})\rangle }}$

${\displaystyle \zeta =\langle 0|{\hat {U}}^{\dagger }(t_{1},t_{0}){\hat {U}}(t_{1},t_{0})|0\rangle -\langle 0|{\hat {U}}^{\dagger }(t_{1},t_{0})|0\rangle \langle 0|{\hat {U}}(t_{1},t_{0})|0\rangle }$.

Мы можем расширить ${\displaystyle \scriptstyle {{\hat {U}}(t_{1},t_{0})}}$

${\displaystyle {\hat {U}}(t_{1},t_{0})=1+{1 \over i\hbar }\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\hat {H}}(t)dt+{1 \over (i\hbar )^{2}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt^{\prime }\int _{t_{0}}^{t^{\prime }}dt^{\prime \prime }{\hat {H}}(t^{\prime }){\hat {H}}(t^{\prime \prime })+\ldots }$.

В пределе возмущений мы можем взять только первые два члена и подставить их в наше уравнение для , признавая, что${\displaystyle \scriptstyle {\zeta }}$

${\displaystyle {1 \over \tau }\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\hat {H}}(t)dt\equiv {\bar {H}}}$

- гамильтониан системы, усредненный по интервалу , имеем:${\displaystyle \scriptstyle {t_{0}\rightarrow t_{1}}}$

${\displaystyle \zeta =\langle 0|(1+{\frac {i}{\hbar }}\tau {\bar {H}})(1-{i \over \hbar }\tau {\bar {H}})|0\rangle -\langle 0|(1+{i \over \hbar }\tau {\bar {H}})|0\rangle \langle 0|(1-{i \over \hbar }\tau {\bar {H}})|0\rangle }$.

После расширения продуктов и соответствующей отмены у нас остается:

${\displaystyle \zeta ={\frac {\tau ^{2}}{\hbar ^{2}}}\left(\langle 0|{\bar {H}}^{2}|0\rangle -\langle 0|{\bar {H}}|0\rangle \langle 0|{\bar {H}}|0\rangle \right)}$,

давая

${\displaystyle \zeta ={\frac {\tau ^{2}\Delta {\bar {H}}^{2}}{\hbar ^{2}}}}$,

где - среднеквадратичное отклонение гамильтониана системы, усредненное по интересующему интервалу.${\displaystyle \scriptstyle {\Delta {\bar {H}}}}$

Внезапное приближение действительно, когда (вероятность нахождения системы в состоянии, отличном от того, в котором запущена, приближается к нулю), таким образом, условие достоверности задается формулой${\displaystyle \scriptstyle {\zeta \ll 1}}$

${\displaystyle \tau \ll {\hbar \over \Delta {\bar {H}}}}$,

что представляет собой формулировку временной-энергетической формы принципа неопределенности Гейзенберга .

Диабатический проход [ править ]

В пределе мы имеем бесконечно быстрый или дьявольский переход:${\displaystyle \scriptstyle {\tau \rightarrow 0}}$

${\displaystyle \lim _{\tau \rightarrow 0}{\hat {U}}(t_{1},t_{0})=1}$.

Функциональная форма системы остается неизменной:

${\displaystyle |\langle x|\psi (t_{1})\rangle |^{2}=|\langle x|\psi (t_{0})\rangle |^{2}\quad }$.

Иногда это называют внезапным приближением. Справедливость приближения для данного процесса можно охарактеризовать вероятностью того, что состояние системы останется неизменным:

${\displaystyle P_{D}=1-\zeta \quad }$.

Адиабатический проход [ править ]

В пределе мы имеем бесконечно медленный или адиабатический переход. Система развивается, адаптируя свою форму к меняющимся условиям,${\displaystyle \scriptstyle {\tau \rightarrow \infty }}$

${\displaystyle |\langle x|\psi (t_{1})\rangle |^{2}\neq |\langle x|\psi (t_{0})\rangle |^{2}}$.

Если система находится в собственном состоянии из , после периода он будет принят в соответствующем собственном состоянии .${\displaystyle \scriptstyle {{\hat {H}}(t_{0})}}$${\displaystyle \scriptstyle {\tau }}$${\displaystyle \scriptstyle {{\hat {H}}(t_{1})}}$

Это называется адиабатическим приближением. Достоверность приближения для данного процесса может быть определена по вероятности того, что конечное состояние системы отличается от начального состояния:

${\displaystyle P_{A}=\zeta \quad }$.

Расчет вероятностей адиабатического прохождения [ править ]

Формула Ландау – Зинера [ править ]

В 1932 годе аналитическое решение задачи о вычислении адиабатический вероятностей перехода было опубликовано отдельно Л. Д. Ландау и Зенером , ^[10] для специального случая линейно изменяющегося возмущения , в котором изменяющиеся во время компоненты не пару соответствующих состояний (отсюда связь в диабатической матрице гамильтониана не зависит от времени).

Ключевым показателем этого подхода является скорость Ландау – Зинера:

${\displaystyle v_{\text{LZ}}={{\frac {\partial }{\partial t}}|E_{2}-E_{1}| \over {\frac {\partial }{\partial q}}|E_{2}-E_{1}|}\approx {\frac {dq}{dt}}}$,

где - переменная возмущения (электрическое или магнитное поле, длина молекулярной связи или любое другое возмущение системы), и - энергии двух диабатических (пересекающихся) состояний. Большое значение приводит к большой вероятности диабатического перехода и наоборот.${\displaystyle q}$${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle E_{2}}$${\displaystyle v_{\text{LZ}}}$

Используя формулу Ландау – Зинера, вероятность диабатического перехода определяется выражением${\displaystyle P_{\rm {D}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\rm {D}}&=e^{-2\pi \Gamma }\\\Gamma &={a^{2}/\hbar \over \left|{\frac {\partial }{\partial t}}(E_{2}-E_{1})\right|}={a^{2}/\hbar \over \left|{\frac {dq}{dt}}{\frac {\partial }{\partial q}}(E_{2}-E_{1})\right|}\\&={a^{2} \over \hbar |\alpha |}\\\end{aligned}}}$

Численный подход [ править ]

Для перехода, включающего нелинейное изменение переменной возмущения или зависящую от времени связь между диабатическими состояниями, уравнения движения для динамики системы не могут быть решены аналитически. Вероятность диабатического перехода все еще может быть получена с использованием одного из множества алгоритмов численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений .

Решаемые уравнения можно получить из нестационарного уравнения Шредингера:

${\displaystyle i\hbar {\dot {\underline {c}}}^{A}(t)=\mathbf {H} _{A}(t){\underline {c}}^{A}(t)}$,

где - вектор, содержащий амплитуды адиабатических состояний, - зависящий от времени адиабатический гамильтониан ^[7], а точка представляет собой производную по времени.${\displaystyle {\underline {c}}^{A}(t)}$${\displaystyle \mathbf {H} _{A}(t)}$

Сравнение используемых начальных условий со значениями амплитуд состояний после перехода может дать вероятность диабатического перехода. В частности, для системы с двумя состояниями:

${\displaystyle P_{D}=|c_{2}^{A}(t_{1})|^{2}}$

для системы, которая началась с .${\displaystyle |c_{1}^{A}(t_{0})|^{2}=1}$

См. Также [ править ]

• Формула Ландау – Зинера
• Ягодная фаза
• Квантовое перемешивание, храповики и откачка
• Адиабатический квантовый двигатель
• Приближение Борна – Оппенгеймера.
• Диабатический

Ссылки [ править ]