Генетическая алгебра

В математической генетике генетическая алгебра - это (возможно, неассоциативная ) алгебра, используемая для моделирования наследования в генетике. Некоторые вариации этих алгебр называются поезда алгебра , специальные поезда алгебра , гаметы алгебры , Bernstein алгебра , связочная алгебра , зиготическая алгебра и Барические алгебры (также называется взвешенная алгебра ). Изучение этих алгебр было начато Айвором Этерингтоном ( 1939 ).

В приложениях к генетике эти алгебры часто имеют основу, соответствующую генетически различным гаметам , а структурная константа алгебры кодирует вероятности получения потомства различных типов. Затем законы наследования кодируются как алгебраические свойства алгебры.

Обзоры генетических алгебр см. В Bertrand (1966) , Wörz-Busekros (1980) и Reed (1997) .

Барические алгебры [ править ]

Барические алгебры (или весовые алгебры) были введены Этерингтоном (1939) . Бариевая алгебра над полем K является , возможно , не-ассоциативной алгеброй над K вместе с гомоморфизмом ш , называется весом, от алгебры до K . ^[1]

Алгебры Бернштейна [ править ]

Алгебра Бернштейна, основанная на работе Сергея Натановича Бернштейна ( 1923 ) о законе Харди – Вайнберга в генетике, является (возможно, неассоциативной) барической алгеброй B над полем K с гомоморфизмом весов w из B в K, удовлетворяющим . Каждая такая алгебра имеет идемпотенты e вида с . Разложения Пирса из B , соответствующие е является ${\ Displaystyle (х ^ {2}) ^ {2} = ш (х) ^ {2} х ^ {2}}$ ${\ Displaystyle е = а ^ {2}}$ ${\ Displaystyle ш (а) = 1}$

{\ displaystyle B = Ke \ oplus U_ {e} \ oplus Z_ {e}}

где и . Хотя эти подпространства зависят от е , их размеры инвариантны и представляют собой тип из B . Исключительная Бернштейн алгебра одна с . ^[2] ${\ displaystyle U_ {e} = \ {a \ in \ ker w: ea = a / 2 \}}$ ${\ Displaystyle Z_ {е} = \ {а \ ин \ кер ш: еа = 0 \}}$ ${\ displaystyle U_ {e} ^ {2} = 0}$

Копулярные алгебры [ править ]

Копулярные алгебры были введены Этерингтоном (1939 , раздел 8).

Эволюционные алгебры [ править ]

Эволюция алгебра над полем является алгеброй с базисом , на котором умножение определяется произведением различных базисных терминов равно нуль , а квадрат каждого базисного элемента , являющегося линейная форма базисных элементов. Реальная эволюция алгебра одна определен над переАльсом: это неотрицательное , если структурные константы в линейной форме все неотрицательные. ^[3] Эволюционная алгебра обязательно коммутативна и гибка, но не обязательно ассоциативна или ассоциативна по степеням . ^[4]

Гаметические алгебры [ править ]

Гаметы алгебры является конечно-мерной вещественной алгеброй , для которой все структурных константы лежат между 0 и 1. ^[5]

Генетические алгебры [ править ]

Генетические алгебры были введены Шафер (1949), который показал, что специальные обучающие алгебры являются генетическими алгебрами, а генетические алгебры - обучающими алгебрами.

Специальные обучающие алгебры [ править ]

Специальные обучающие алгебры были введены Этерингтоном (1939 , раздел 4) как частные случаи барических алгебр.

Специальная алгебра поездов - это барическая алгебра, в которой ядро N весовой функции нильпотентно, а главные степени N являются идеалами. ^[1]

Этерингтон (1941) показал, что специальные обучающие алгебры являются обучающими алгебрами.

Обучение алгебрам [ править ]

Тренировочные алгебры были введены Этерингтоном (1939 , раздел 4) как частные случаи барических алгебр.

Позвольте быть элементы поля K с . Формальный многочлен ${\ displaystyle c_ {1}, \ ldots, c_ {n}}$ ${\ displaystyle 1 + c_ {1} + \ cdots + c_ {n} = 0}$

{\ displaystyle x ^ {n} + c_ {1} w (x) x ^ {n-1} + \ cdots + c_ {n} w (x) ^ {n}}

- поездный многочлен . Барическая алгебра B веса w является обучающей алгеброй, если

{\ displaystyle a ^ {n} + c_ {1} w (a) a ^ {n-1} + \ cdots + c_ {n} w (a) ^ {n} = 0}

для всех элементов , с определяются как основные полномочия, . ^[1]^[6] ${\ displaystyle a \ in B}$ $a^{k}$ $(a^{k-1})a$

Зиготические алгебры [ править ]

Зиготические алгебры были введены Этерингтоном (1939 , раздел 7).

Ссылки [ править ]

^ a b c González, S .; Мартинес, К. (2001), «Об алгебрах Бернштейна», в Granja, Анхель (ред.), Теория колец и алгебраическая геометрия. Труды 5-й международной конференции по алгебре и алгебраической геометрии, SAGA V, Леон, Испания , Lect. Примечания Pure Appl. Math., 221 , New York, NY: Marcel Dekker, стр. 223–239, Zbl 1005.17021
Перейти ↑ Catalan, A. (2000). «E-идеалы в алгебрах Бернштейна». В Коста, Роберто (ред.). Неассоциативная алгебра и ее приложения. Материалы четвертой международной конференции, Сан-Паулу, Бразилия . Лект. Примечания Pure Appl. Математика. 211 . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Марсель Деккер. С. 35–42. Zbl 0968.17013 .
↑ Тянь (2008) стр.18
↑ Тиан (2008), стр.20
^ Кон, Пол М. (2000). Введение в теорию колец . Серия Springer по математике для студентов. Springer-Verlag . п. 56. ISBN 1852332069. ISSN 1615-2085 .
^ Catalán С., Abdón (1994). « E -идеалы в барических алгебрах». Мат. Contemp . 6 : 7–12. Zbl 0868.17023 .

Бернштейн, С. Н. (1923), «Принцип стационарной и общей деформации Менделя», CR Acad. Sci. Париж , 177 : 581–584.
Бертран, Моник (1966), Algèbres non-associatives et algèbres génétiques , Mémorial des Sciences Mathématiques, Fasc. 162, Gauthier-Villars Éditeur, Париж, MR 0215885
Этерингтон, IMH (1939), "Генетические алгебры" (PDF) , Proc. Рой. Soc. Эдинбург , 59 : 242–258, MR 0000597 , Zbl 0027.29402 , архивировано из оригинала (PDF) 06.07.2011.
Этерингтон, IMH (1941), "Специальные обучающие алгебры", Ежеквартальный журнал математики. Оксфорд. Вторая серия , 12 : 1-8, DOI : 10,1093 / qmath / OS-12.1.1 , ISSN 0033-5606 , JFM 67.0093.04 , MR 0005111 , Zbl 0027,29401
Любич, Ю.И. (2001) [1994], "Проблема Бернштейна в математической генетике" , Энциклопедия математики , EMS Press
Микали, А. (2001) [1994], "Барическая алгебра" , Энциклопедия математики , EMS Press
Микали, А. (2001) [1994], "Алгебра Бернштейна" , Энциклопедия математики , EMS Press
Рид, Мэри Линн (1997), "Алгебраическая структура генетического наследования", Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 34 (2): 107-130, DOI : 10,1090 / S0273-0979-97-00712-X , ISSN 0002-9904 , MR 1414973 , Zbl 0876.17040
Шефер, Ричард Д. (1949), "Структура генетических алгебр", Американский журнал математики , 71 : 121-135, DOI : 10,2307 / 2372100 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2372100 , MR 0027751
Тиан, Цзяньцзюнь Пол (2008), Эволюционные алгебры и их приложения , Лекционные заметки по математике, 1921 , Берлин: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-74283-8, Zbl 1136,17001
Вёрц-Бусекрос, Анжелика (1980), Алгебры в генетике , Лекционные заметки по биоматематике, 36 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-09978-1, Руководство по ремонту 0599179
Вёрц-Бусекрос, А. (2001) [1994], "Генетическая алгебра" , Энциклопедия математики , EMS Press

Дальнейшее чтение [ править ]

Любич, Ю.И. (1983), Математические структуры в популяционной генетике. (Математические структуры в популярной генетике) , Киев: Наукова думка, Zbl 0593.92011.

[GM2001-1] González, S .; Мартинес, К. (2001), «Об алгебрах Бернштейна», в Granja, Анхель (ред.), Теория колец и алгебраическая геометрия. Труды 5-й международной конференции по алгебре и алгебраической геометрии, SAGA V, Леон, Испания , Lect. Примечания Pure Appl. Math., 221 , New York, NY: Marcel Dekker, стр. 223–239, Zbl 1005.17021

[2] Перейти ↑ Catalan, A. (2000). «E-идеалы в алгебрах Бернштейна». В Коста, Роберто (ред.). Неассоциативная алгебра и ее приложения. Материалы четвертой международной конференции, Сан-Паулу, Бразилия . Лект. Примечания Pure Appl. Математика. 211 . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Марсель Деккер. С. 35–42. Zbl 0968.17013 .

[Tian18-3] Тянь (2008) стр.18

[Tian20-4] Тиан (2008), стр.20

[Cohn-5] Кон, Пол М. (2000). Введение в теорию колец . Серия Springer по математике для студентов. Springer-Verlag . п. 56. ISBN 1852332069. ISSN 1615-2085 .

[6] Catalán С., Abdón (1994). « E -идеалы в барических алгебрах». Мат. Contemp . 6 : 7–12. Zbl 0868.17023 .

[1]