Функция Гомперца

Кривая Гомпертца или функция Гомпертца представляет собой тип математической модели для временных рядов , названных в честь Benjamin Гомпертца (1779-1865). Это сигмовидная функция, которая описывает рост как самый медленный в начале и в конце заданного периода времени. К правой или будущей асимптоте функции кривая приближается гораздо более постепенно, чем к левой асимптоте или асимптоте с меньшим значением. Это отличается от простой логистической функции, в которой обе асимптоты подходят кривой симметрично. Это частный случай обобщенной логистической функции. Изначально функция была разработана для описания человеческой смертности, но с тех пор была изменена для применения в биологии с точки зрения детализации популяций.

Сигмовидная функция служит основой функции Гомперца, при которой начальный рост происходит быстро, после чего следует выравнивание.

История [ править ]

Бенджамин Гомпертц (1779–1865) был актуарием в Лондоне, получившим частное образование. ^[1] Он был избран членом Королевского общества в 1819 году. Эта функция была впервые представлена ​​в его статье от 16 июня 1825 года внизу страницы 518. ^[2] Функция Гомперца сократила значительный набор данных в таблицах дожития до единственная функция. Он основан на предположении, что уровень смертности экспоненциально снижается с возрастом человека. Результирующая функция Гомпертца предназначена для количества людей, живущих в данном возрасте, в зависимости от возраста.

Более ранние работы по построению функциональных моделей смертности были выполнены французским математиком Абрахамом де Муавром (1667–1754) в 1750-х годах. ^{[3] [4]} Однако де Муавр предположил, что уровень смертности постоянный. Расширение работы Гомперца было предложено английским актуарием и математиком Уильямом Мэтью Мейкхэмом (1826–1891) в 1860 году, который добавил постоянный фоновый уровень смертности к экспоненциально убывающему показателю Гомпертца. ^[5]

Графики кривых Гомперца, показывающие эффект изменения одного из значений a, b, c при сохранении постоянства остальных

Различный ${\ displaystyle a}$

Различный ${\ displaystyle b}$

Различный ${\ displaystyle c}$

Формула [ править ]

$${\ displaystyle f (t) = a \ mathrm {e} ^ {- b \ mathrm {e} ^ {- ct}}}$$

• a - асимптота, поскольку${\ textstyle \ lim _ {т \ к \ infty} a \ mathrm {e} ^ {- b \ mathrm {e} ^ {- ct}} = a \ mathrm {e} ^ {0} = a}$
• b устанавливает смещение по оси x (переводит график влево или вправо). Когда b = log (2), f (0) = a / 2, также называется средней точкой.
• c устанавливает скорость роста ( масштабирование y )
• e - число Эйлера ( e = 2,71828 ...)

Свойства [ править ]

Точка на полпути находится путем решения относительно t.${\ textstyle f (t) = a / 2}$

$${\ displaystyle t_ {hwp} = - {\ frac {\ ln (\ ln (2) / b)} {c}}}$$

${\ textstyle 0.368a}$

${\ textstyle {\ frac {d ^ {2}} {dt ^ {2}}} f (t) = 0}$

$${\ displaystyle t_ {max} = \ ln (b) / c}$$

${\ textstyle t_ {max}}$

$${\displaystyle \max \left({\frac {d}{df}}\right)={\frac {ac}{e}}}$$

Вывод [ править ]

Кривая функции может быть получена из закона смертности Гомперца , который утверждает, что уровень абсолютной смертности (спада) экспоненциально падает с текущим размером. Математически,

$${\displaystyle k^{r}\propto {\frac {1}{y(t)}}}$$

куда

• ${\textstyle r={\frac {y'(t)}{y(t)}}}$ скорость роста
• k - произвольная постоянная.

Пример использования [ править ]

Примеры использования кривых Гомперца включают:

• Распространение мобильных телефонов , когда затраты были изначально высокими (поэтому внедрение было медленным), затем последовал период быстрого роста, за которым последовало замедление потребления по мере достижения насыщения ^[6]
• Население в замкнутом пространстве, поскольку рождаемость сначала увеличивается, а затем замедляется по мере достижения пределов ресурсов ^[7]
• Моделирование роста опухолей ^[8]
• Моделирование влияния рынка на финансы ^[9] и агрегированную динамику субнациональных кредитов. ^[10]
• Детализация роста популяции хищных животных с учетом отношений хищник-жертва
• Моделирование бактериальных клеток в популяции
• Изучение распространения болезни

Приложения [ править ]

Кривая Гомперца [ править ]

Биология популяций особенно озабочена функцией Гомперца. Эта функция особенно полезна для описания быстрого роста определенной популяции организмов, а также для учета возможной горизонтальной асимптоты после определения несущей способности (клетки плато / численность популяции).

Это моделируется следующим образом:

$${\displaystyle N(t)=N_{0}\exp(\ln(N_{I}/N_{0})(1-\exp(-bt)))}$$

куда:

• время пришло
• N ₀ - начальное количество ячеек
• N _I - число клеток плато / популяции
• b - начальная скорость роста опухоли

Этот функциональный учет количества клеток плато позволяет точно имитировать динамику популяции в реальной жизни . Эта функция также соответствует сигмовидной функции , которая является наиболее широко принятым условием детализации роста популяции. Кроме того, функция использует начальную скорость роста, которая обычно наблюдается в популяциях бактериальных и раковых клеток, которые проходят логарифмическую фазу и быстро растут в количестве. Несмотря на свою популярность, функцию начальной скорости роста опухоли трудно предопределить, учитывая различные микрокосмы, существующие у пациента, или различные факторы окружающей среды в случае популяционной биологии. У онкологических больных такие факторы, как возраст, диета, этническая принадлежность, генетические предрасположенности,метаболизм , образ жизни и происхождение метастазов играют роль в определении скорости роста опухоли. Ожидается, что несущая способность также изменится в зависимости от этих факторов, поэтому описать такие явления сложно.

Метаболическая кривая [ править ]

Метаболическая функция особенно связана с учетом скорости метаболизма в организме. Эта функция может применяться для мониторинга опухолевых клеток; Скорость метаболизма является динамичной и очень гибкой, что позволяет более точно определять рост рака. Метаболическая кривая учитывает энергию, которую организм обеспечивает для поддержания и создания тканей. Эта энергия может рассматриваться как метаболизм и следует определенному образцу клеточного деления. Сохранение энергии можно использовать для моделирования такого роста независимо от массы и времени развития. Все таксоны имеют схожую модель роста, и в результате эта модель рассматривает деление клеток как основу развития опухоли.

$${\displaystyle B=\sum _{C}(N_{C}B_{C})+\left(E_{C}{\operatorname {d} \!N_{C} \over \operatorname {d} \!t}\right)}$$

• B = энергия, которую организм использует в состоянии покоя
• N _C = количество клеток в данном организме
• B _C = скорость метаболизма отдельной клетки
• N _C B _C = энергия, необходимая для поддержания существующей ткани
• E _C = энергия, необходимая для создания новой ткани из отдельной клетки

Различие между энергией, используемой в состоянии покоя, и скоростью метаболизма, позволяет модели более точно определять скорость роста. Энергия покоя ниже, чем энергия, используемая для поддержания ткани, и вместе представляет энергию, необходимую для поддержания существующей ткани. Использование этих двух факторов, наряду с энергией, необходимой для создания новой ткани, всесторонне отображает скорость роста и, более того, приводит к точному представлению фазы задержки .

Рост опухолей [ править ]

В 1960-х годах AK Laird ^[11] впервые успешно применил кривую Гомпертца для аппроксимации данных о росте опухолей. Фактически опухоли - это клеточные популяции, растущие в замкнутом пространстве, где доступность питательных веществ ограничена. Обозначая размер опухоли как X (t), полезно записать кривую Гомперца следующим образом:

${\displaystyle X(t)=K\exp \left(\log \left({\frac {X(0)}{K}}\right)\exp \left(-\alpha t\right)\right)}$

куда:

• X (0) - размер опухоли на момент начала наблюдения;
• K - несущая способность, то есть максимальный размер, которого можно достичь с помощью доступных питательных веществ. На самом деле это:
  $${\displaystyle \lim _{t\rightarrow +\infty }X(t)=K}$$

  

независимо от X (0)> 0. Обратите внимание, что при отсутствии терапии и т. Д. Обычно это X (0) <K, тогда как при наличии терапии это может быть X (0)> K;

• α - константа, связанная с пролиферативной способностью клеток.
• log () относится к натуральному журналу .

Легко убедиться, что динамика X (t) определяется дифференциальным уравнением Гомперца:

$${\displaystyle X^{\prime }(t)=\alpha \log \left({\frac {K}{X(t)}}\right)X(t)}$$

т.е. имеет форму в разбивке:

$${\displaystyle X^{\prime }(t)=F\left(X(t)\right)X(t),\quad {\mbox{with}}\quad F^{\prime }(X)\leq 0,}$$

F (X) - это мгновенная скорость распространения клеточной популяции, природа уменьшения которой обусловлена ​​конкуренцией за питательные вещества из-за увеличения клеточной популяции, аналогично скорости логистического роста. Однако есть принципиальная разница: в логистическом случае скорость распространения для небольшой клеточной популяции конечна:

$${\displaystyle F(X)=\alpha \left(1-\left({\frac {X}{K}}\right)^{\nu }\right)\Rightarrow F(0)=\alpha <+\infty }$$

тогда как в случае Гомперца скорость распространения неограничена:

$${\displaystyle \lim _{X\rightarrow 0^{+}}F(X)=\lim _{X\rightarrow 0^{+}}\alpha \log \left({\frac {K}{X}}\right)=+\infty }$$

Как отметили Стил ^[12] и Велдон ^[13], скорость пролиферации клеточной популяции в конечном итоге ограничена временем клеточного деления. Таким образом, это может быть доказательством того, что уравнение Гомперца не подходит для моделирования роста небольших опухолей. Более того, совсем недавно было замечено ^[14], что, включая взаимодействие с иммунной системой, законы Гомперца и другие законы, характеризующиеся неограниченным F (0), исключают возможность иммунного надзора.

Теоретическое исследование Fornalski et al. ^[15] показали биофизическую основу кривой Гомперца для роста рака, за исключением очень ранней фазы, когда параболическая функция более уместна. Они также обнаружили, что кривая Гомперца описывает наиболее типичный случай среди широкого семейства функций динамики рака.

Рост Gompertz и логистический рост [ править ]

Дифференциальное уравнение Гомперца

$${\displaystyle X^{\prime }(t)=\alpha \log \left({\frac {K}{X(t)}}\right)X(t)}$$

является предельным случаем обобщенного логистического дифференциального уравнения

$${\displaystyle X^{\prime }(t)=\alpha \nu \left(1-\left({\frac {X(t)}{K}}\right)^{\frac {1}{\nu }}\right)X(t)}$$

(где положительное действительное число), поскольку${\displaystyle \nu >0}$

$${\displaystyle \lim _{\nu \rightarrow +\infty }\nu \left(1-x^{1/\nu }\right)=-\log \left(x\right)}$$

Кроме того, на графике обобщенной логистической функции есть точка перегиба, когда

$${\displaystyle X(t)=\left({\frac {\nu }{\nu +1}}\right)^{\nu }K}$$

и один на графике функции Гомперца, когда

$${\displaystyle X(t)={\frac {K}{e}}=K\cdot \lim _{\nu \rightarrow +\infty }\left({\frac {\nu }{\nu +1}}\right)^{\nu }}$$

Закон роста Gomp-ex [ править ]

Основываясь на вышеизложенных соображениях, Велдон ^[13] предложил математическую модель роста опухоли, названную моделью Gomp-Ex, которая слегка изменяет закон Гомперца. В модели Gomp-Ex предполагается, что изначально отсутствует конкуренция за ресурсы, так что клеточная популяция увеличивается по экспоненциальному закону. Однако существует такой порог критического размера , что для . Предположение об отсутствии конкуренции за ресурсы справедливо в большинстве сценариев. Однако на него могут влиять ограничивающие факторы , что требует создания переменных подфакторов.${\displaystyle X_{C}}$${\displaystyle X>X_{C}}$

рост следует закону Гомперца:

$${\displaystyle F(X)=\max \left(a,\alpha \log \left({\frac {K}{X}}\right)\right)}$$

так что:

$${\displaystyle X_{C}=K\exp \left(-{\frac {a}{\alpha }}\right).}$$

Вот несколько численных оценок ^[13] для :${\displaystyle X_{C}}$

• ${\textstyle X_{C}\approx 10^{9}}$ для опухолей человека
• ${\textstyle X_{C}\approx 10^{6}}$для опухолей мышей (мышей)

См. Также [ править ]

• Распределение Гомперца
• Кривая роста
• Функция фон Берталанфи
• Сигмовидная функция

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. "Кривая Гомперца" . MathWorld .
• https://archive.org/details/philtrans04942340
• http://chemoth.com/tumorgrowth