Причинность Грейнджера

Когда временной ряд X по Грейнджеру вызывает временной ряд Y , паттерны в X приблизительно повторяются в Y через некоторое время (два примера показаны стрелками). Таким образом, прошлые значения X может быть использованы для прогнозирования значений будущих Y .

Тест на причинность Грейнджера - это тест статистической гипотезы для определения того, полезен ли один временной ряд для прогнозирования другого, впервые предложенный в 1969 году. ^[1] Обычно регрессии отражают «простые» корреляции , но Клайв Грейнджер утверждал, что причинно-следственная связь в экономике может быть проверена для путем измерения способности предсказывать будущие значения временного ряда, используя предыдущие значения другого временного ряда. Поскольку вопрос об «истинной причинности» является глубоко философским и из-за постфактум ergo propter hocОшибочность предположения, что одно предшествующее другому может быть использовано как доказательство причинной связи, эконометристы утверждают, что тест Грейнджера обнаруживает только «предсказуемую причинность». ^[2] Использование одного только термина «причинность» является неправильным, поскольку причинность по Грейнджеру лучше описывать как «предшествование» ^[3] или, как позже сам Грейнджер утверждал в 1977 году, «во времени». ^[4] Вместо того, чтобы проверять, вызывает ли Y X, причинность Грейнджера проверяет, прогнозирует ли Y X. ^[5]

Временной ряд Х называется Грейнжеру Y , если оно может быть показано, как правило , через серию т-тестов и F-тестах на запаздывающих значений из X (и запаздывающих значений Y , также включены), что эти X значения обеспечивают статистически значимая информация о значениях будущих Y .

Грейнджер также подчеркнула, что некоторые исследования с использованием проверки «причинности по Грейнджеру» в областях, не связанных с экономикой, привели к «нелепым» выводам. «Конечно, появилось много нелепых работ», - сказал он в своей Нобелевской лекции. ^[6] Однако он остается популярным методом анализа причинно-следственной связи во временных рядах из-за его вычислительной простоты. ^[7]^[8] Первоначальное определение причинности по Грейнджеру не учитывает скрытые смешивающие эффекты и не фиксирует мгновенные и нелинейные причинные связи, хотя было предложено несколько расширений для решения этих проблем. ^[7]

Интуиция [ править ]

Будем говорить , что переменная X , которая эволюционирует с течением времени Грейнджер-вызывает другую развивающуюся переменную Y , если предсказания значения Y на основе его собственных прошлых значений и на прошлых значений X лучше , чем предсказания Y основаны только на Y» s собственный прошлые ценности.

Основные принципы [ править ]

Грейнджер определила причинно-следственную связь на основе двух принципов: ^[7]^[9]

Причина происходит до ее следствия.
Причина имеет уникальную информацию о будущих значениях ее следствия.

Учитывая эти два предположения о причинно-следственной связи, Грейнджер предложила проверить следующую гипотезу для выявления причинного воздействия на : ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$

{\ Displaystyle \ mathbb {P} [Y (t + 1) \ in A \ mid {\ mathcal {I}} (t)] \ neq \ mathbb {P} [Y (t + 1) \ in A \ mid {\ mathcal {I}} _ {- X} (t)],}

где относится к вероятности, является произвольным непустым набором, и и соответственно обозначают информацию, доступную на данный момент во всей вселенной, и информацию в модифицированной вселенной, из которой исключена. Если принята вышеприведенная гипотеза, мы говорим, что Грейнджер-причины . ^[7]^[9] ${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {I}} (т)}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {I}} _ {- X} (т)}$ ${\ displaystyle t}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$

Метод [ править ]

Если временной ряд является стационарным процессом , тест выполняется с использованием значений уровня двух (или более) переменных. Если переменные нестационарны, то тест выполняется с использованием первых (или более высоких) разностей. Количество включаемых лагов обычно выбирается с использованием информационного критерия, такого как информационный критерий Акаике или информационный критерий Шварца . Любое конкретное запаздывающее значение одной из переменных сохраняется в регрессии, если (1) оно является значимым согласно t-критерию и (2) оно и другие запаздывающие значения переменной совместно добавляют объяснительную силу модели в соответствии с F-тест. Тогда нулевая гипотеза причинности по Грейнджеру не отвергается тогда и только тогда, когда в регрессии не сохраняются запаздывающие значения объясняющей переменной.

На практике можно обнаружить, что ни одна из переменных Грейнджера не вызывает другую, или что каждая из двух переменных Грейнджера вызывает другую.

Математическое утверждение [ править ]

Пусть y и x - стационарные временные ряды. Для того, чтобы проверить нулевую гипотезу , что х не Грейнжер у , один сначала находит правильные отставали значения у для включения в одномерных авторегрессиях от у :

{\ displaystyle y_ {t} = a_ {0} + a_ {1} y_ {t-1} + a_ {2} y_ {t-2} + \ cdots + a_ {m} y_ {tm} + {\ text {error}} _ {t}.}

Затем авторегрессия дополняется включением запаздывающих значений x :

{\ displaystyle y_ {t} = a_ {0} + a_ {1} y_ {t-1} + a_ {2} y_ {t-2} + \ cdots + a_ {m} y_ {tm} + b_ {1 } x_ {t-1} + \ cdots + b_ {q} x_ {tq} + {\ text {error}} _ {t}.}

В этой регрессии сохраняются все запаздывающие значения x , которые индивидуально значимы в соответствии с их t-статистикой, при условии, что вместе они добавляют объясняющую силу к регрессии согласно F-тесту (чья нулевая гипотеза не является объяснительной силой, совместно добавляемой x ' с). В обозначениях вышеупомянутой расширенной регрессии p является самым коротким, а q - самым длинным, длина запаздывания, для которой значение x с запаздыванием является значительным.

Нулевая гипотеза о том, что x не является причиной y по Грейнджеру, принимается тогда и только тогда, когда в регрессии не сохраняются запаздывающие значения x .

Многовариантный анализ [ править ]

Многомерный анализ причинно-следственной связи по Грейнджеру обычно выполняется путем подбора векторной авторегрессионной модели (VAR) к временному ряду. В частности, пусть для - многомерный многомерный временной ряд. Причинность по Грейнджеру выполняется путем подбора модели VAR с временными лагами следующим образом: $X(t)\in \mathbb {R} ^{d\times 1}$ $t=1,\ldots ,T$ $d$ $L$

X(t)=\sum _{\tau =1}^{L}A_{\tau }X(t-\tau )+\varepsilon (t),

где - белый гауссовский случайный вектор, а - матрица для каждого . Временной ряд называется причиной Грейнджера другого временного ряда , если хотя бы один из элементов для значительно больше нуля (по абсолютной величине). ^[10] $\varepsilon (t)$ $A_{\tau }$ $\tau$ $X_{i}$ $X_{j}$ $A_{\tau }(j,i)$ $\tau =1,\ldots ,L$

Непараметрический тест [ править ]

Вышеупомянутые линейные методы подходят для проверки причинности по Грейнджеру в среднем. Однако они не могут обнаружить причинность Грейнджера в более высокие моменты, например, в дисперсии. Непараметрические тесты на причинность Грейнджера предназначены для решения этой проблемы. ^[11] Определение причинности по Грейнджеру в этих тестах является общим и не включает никаких допущений моделирования, таких как линейная авторегрессионная модель. Непараметрические тесты на причинность по Грейнджеру могут использоваться в качестве диагностических инструментов для построения более качественных параметрических моделей, включая моменты более высокого порядка и / или нелинейность. ^[12]

Ограничения [ править ]

Как следует из названия, причинность по Грейнджеру не обязательно является истинной причинностью. Фактически, тесты на причинность Грейнджера соответствуют только юмовскому определению причинности, которое идентифицирует причинно-следственные связи с постоянными конъюнкциями. ^[13] Если и X, и Y управляются общим третьим процессом с разными задержками, можно все же не отвергнуть альтернативную гипотезу.причинности Грейнджера. Тем не менее, изменение одной из переменных не изменит другую. Действительно, тесты на причинность Грейнджера предназначены для работы с парами переменных и могут давать неверные результаты, когда истинная связь включает три или более переменных. Сказав это, утверждалось, что с учетом вероятностного взгляда на причинность, причинность Грейнджера может считаться истинной причинностью в этом смысле, особенно когда принимается во внимание «экранирующее» понятие Рейхенбаха о вероятностной причинности. ^[14] Другими возможными источниками ошибочных результатов тестирования являются: (1) недостаточно частая или слишком частая выборка, (2) нелинейная причинно-следственная связь, (3) нестационарность и нелинейность временных рядов и (4) наличие рациональных ожиданий. ^[13]Аналогичный тест, включающий большее количество переменных, можно применить с векторной авторегрессией . Недавно ^{[15] было} проведено фундаментальное математическое исследование механизма, лежащего в основе метода Грейнджера. Используя исключительно математические инструменты (преобразование Фурье и дифференциальное исчисление), было обнаружено, что даже самое основное требование, лежащее в основе любого возможного определения причинности, не удовлетворяется тестом причинности Грейнджера: любое определение причинности должно относиться к предсказанию причинности. будущее из прошлого; вместо этого, инвертируя временной ряд, можно показать, что Грейнджер позволяет «предсказывать» прошлое и из будущего.

Расширения [ править ]

Был разработан метод причинности по Грейнджеру, который нечувствителен к отклонениям от предположения о нормальном распределении члена ошибки. ^[16] Этот метод особенно полезен в финансовой экономике, поскольку многие финансовые переменные распределены ненормально. ^[17] Недавно в литературе было предложено провести тестирование на асимметричную причинно-следственную связь, чтобы отделить причинное воздействие положительных изменений от отрицательных. ^[18] Также доступно расширение (не) причинно-следственного тестирования по Грейнджеру на панельные данные. ^[19] Модифицированный тест на причинность Грейнджера, основанный на типе GARCH (обобщенная авторегрессивная условная гетероскедастичность) моделей целочисленных временных рядов, доступен во многих областях. ^[20]^[21]

В неврологии [ править ]

Давнее мнение о нейронных функциях утверждало, что разные области мозга зависят от конкретной задачи; что структурная связь, локальная для определенной области, каким-то образом диктовала функцию этой части. Собирая работу, которая выполнялась в течение многих лет, произошел переход к другому, сетецентрическому подходу к описанию потока информации в мозгу. Объяснение функции начинает включать концепцию сетей, существующих на разных уровнях и в разных частях мозга. ^[22]Поведение этих сетей можно описать недетерминированными процессами, развивающимися во времени. Это означает, что при одном и том же входном стимуле вы не получите одинаковый выходной сигнал от сети. Динамика этих сетей регулируется вероятностями, поэтому мы рассматриваем их как стохастические (случайные) процессы, чтобы мы могли уловить эти виды динамики между различными областями мозга.

В прошлом изучались различные методы получения некоторой степени информационного потока от возбуждающей активности нейрона и окружающего его ансамбля, но они ограничены в видах выводов, которые могут быть сделаны, и дают мало информации о направленном потоке информации. , размер его эффекта и то, как он может измениться со временем. ^[23] Недавно причинно-следственная связь Грейнджера была применена для решения некоторых из этих проблем с большим успехом. ^[24] Проще говоря, каждый исследует, как лучше всего предсказать будущее нейрона: используя либо весь ансамбль, либо весь ансамбль, за исключением определенного целевого нейрона. Если прогноз ухудшается из-за исключения целевого нейрона, то мы говорим, что он имеет «g-причинную» связь с текущим нейроном.

Расширения для моделей точечных процессов [ править ]

Предыдущие методы причинности Грейнджера могли работать только с данными с непрерывным значением, поэтому анализ записей последовательности нейронных всплесков включал преобразования, которые в конечном итоге изменяли стохастические свойства данных, косвенно влияя на достоверность выводов, которые можно было сделать из них. Однако в 2011 году была предложена новая универсальная структура причинности по Грейнджеру, которая могла напрямую работать с любой модальностью, включая цепочки нейронных всплесков. ^[23]

Данные последовательности нейронных пиков можно моделировать как точечный процесс . Временной точечный процесс - это стохастический временной ряд двоичных событий, происходящих в непрерывном времени. Он может принимать только два значения в каждый момент времени, указывая, действительно ли произошло событие. Этот тип бинарного представления информации подходит для деятельности нейронных популяций.потому что потенциал действия отдельного нейрона имеет типичную форму волны. Таким образом, фактическую информацию, выводимую из нейрона, несет в себе появление «всплеска», а также время между последовательными всплесками. Используя этот подход, можно было бы абстрагировать поток информации в нейронной сети, чтобы он был просто временем всплеска для каждого нейрона в течение периода наблюдения. Точечный процесс может быть представлен либо временем самих всплесков, временем ожидания между всплесками, с использованием процесса подсчета, либо, если время достаточно дискретно, чтобы гарантировать, что в каждом окне только одно событие имеет возможность произойти, что означает, что один временной интервал может содержать только одно событие в виде набора единиц и нулей, что очень похоже на двоичное. ^{[ необходима цитата ]}

Одним из простейших типов нейронных всплесков является процесс Пуассона . Однако это ограничено тем, что не требует памяти. При расчете текущей вероятности срабатывания он не учитывает историю всплесков. Однако нейроны демонстрируют фундаментальную (биофизическую) зависимость от истории в виде относительных и абсолютных рефрактерных периодов. Чтобы решить эту проблему, используется функция условной интенсивности, чтобы представить вероятность выброса нейрона, обусловленнуюпо собственной истории. Функция условной интенсивности выражает мгновенную вероятность срабатывания и неявно определяет полную вероятностную модель для точечного процесса. Он определяет вероятность в единицу времени. Таким образом, если это единичное время взять достаточно малым, чтобы гарантировать, что в этом временном окне может произойти только один всплеск, тогда наша функция условной интенсивности полностью определяет вероятность того, что данный нейрон сработает в определенное время. ^{[ необходима цитата ]}

См. Также [ править ]

Критерии Брэдфорд Хилла
Конвергентное кросс-отображение , еще один метод проверки причинно-следственной связи между динамическими переменными
Передача энтропии
Постулат Коха

Ссылки [ править ]

^ Грейнджер, CWJ (1969). «Исследование причинно-следственных связей с помощью эконометрических моделей и кросс-спектральных методов». Econometrica . 37 (3): 424–438. DOI : 10.2307 / 1912791 . JSTOR 1912791 .
^ Diebold, Фрэнсис X. (2007). Элементы прогнозирования (PDF) (4-е изд.). Томсон Юго-Западный. С. 230–231. ISBN 978-0324359046.
^ Leamer, Эдвард Э. (1985). «Векторные авторегрессии для причинного вывода?». Серия конференций Карнеги-Рочестера по государственной политике . 22 : 283. DOI : 10,1016 / 0167-2231 (85) 90035-1 .
^ Грейнджер, CWJ; Ньюболд, Пол (1977). Прогнозирование экономических временных рядов . Нью-Йорк: Academic Press. п. 225. ISBN 0122951506.
^ Гамильтон, Джеймс Д. (1994). Анализ временных рядов (PDF) . Издательство Принстонского университета. С. 306–308. ISBN 0-691-04289-6.
Перейти ↑ Granger, Clive WJ (2004). «Анализ временных рядов, коинтеграция и приложения» (PDF) . Американский экономический обзор . 94 (3): 421–425. CiteSeerX 10.1.1.370.6488 . DOI : 10.1257 / 0002828041464669 . Проверено 12 июня 2019 .
^ a b c d Эйхлер, Майкл (2012). «Причинно-следственный вывод в анализе временных рядов» (PDF) . В Берзуини, Карло (ред.). Причинность: статистические перспективы и приложения (3-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. С. 327–352. ISBN 978-0470665565.
^ Сет, Анил (2007). «Причинность Грейнджера» . Scholarpedia . 2 (7): 1667. Bibcode : 2007SchpJ ... 2.1667S . DOI : 10,4249 / scholarpedia.1667 .
^ a b Грейнджер, CWJ (1980). «Тестирование причинно-следственной связи: личная точка зрения». Журнал экономической динамики и управления . 2 : 329–352. DOI : 10.1016 / 0165-1889 (80) 90069-X .
^ Lütkepohl, Helmut (2005). Новое введение в анализ множественных временных рядов (3-е изд.). Берлин: Springer. стр. 41 -51. ISBN 978-3540262398.
^ Дикс, Сис; Панченко, Валентин (2006). «Новое статистическое и практическое руководство для непараметрического тестирования причинности по Грейнджеру» (PDF) . Журнал экономической динамики и управления . 30 (9): 1647–1669. DOI : 10.1016 / j.jedc.2005.08.008 .
^ Фрэнсис, Билл Б .; Мугу, Мбоджа; Панченко, Валентин (2010). «Существует ли симметричная нелинейная причинно-следственная связь между крупными и малыми фирмами?» (PDF) . Журнал эмпирических финансов . 17 (1): 23–28. DOI : 10.1016 / j.jempfin.2009.08.003 .
^ a b Мариуш, Мазиарц (2015-05-20). «Обзор ошибки причинности Грейнджера» . Журнал философской экономики: размышления об экономических и социальных проблемах . VIII. (2). ISSN 1843-2298 .
^ Маннино, Майкл; Бресслер, Стивен Л. (2015). «Основополагающие перспективы причинности в крупномасштабных сетях мозга». Обзоры физики жизни . 15 : 107–23. Bibcode : 2015PhLRv..15..107M . DOI : 10.1016 / j.plrev.2015.09.002 . PMID 26429630 .
^ Грассманн, Грета (2020). «Новые соображения о достоверности критерия причинности Винера-Грейнджера» . Гелион . 6 : e05208. DOI : 10.1016 / j.heliyon.2020.e05208 . PMID 33102842 .
^ Хакер, Р. Скотт; Хатеми-Дж, А. (2006). «Тесты причинно-следственной связи между интегрированными переменными с использованием асимптотических и бутстраповских распределений: теория и применение» . Прикладная экономика . 38 (13): 1489–1500. DOI : 10.1080 / 00036840500405763 . S2CID 121999615 .
^ Мандельброт, Бенуа (1963). «Вариация некоторых спекулятивных цен». Журнал бизнеса . 36 (4): 394–419. DOI : 10.1086 / 294632 .
^ Хатого-J, A. (2012). «Асимметричные тесты причинно-следственной связи с приложением» . Эмпирическая экономика . 43 : 447–456. DOI : 10.1007 / s00181-011-0484-х . S2CID 153562476 .
^ Dumitrescu, E.-I .; Хурлин, К. (2012). «Проверка отсутствия причинности по Грейнджеру в неоднородных панелях». Экономическое моделирование . 29 (4): 1450–1460. CiteSeerX 10.1.1.395.568 . DOI : 10.1016 / j.econmod.2012.02.014 .
^ Чен, Кэти WS; Се, Инь-Хен; Су, Хун-Чи; У, Цзя Цзин (01.02.2018). «Тест на причинно-следственную связь мелких частиц в окружающей среде и человеческого гриппа на Тайване: различия по возрастным группам и географическая неоднородность» . Environment International . 111 : 354–361. DOI : 10.1016 / j.envint.2017.10.011 . ISSN 0160-4120 . PMID 29173968 .
^ Чен, Кэти WS; Ли, Сангёль (2017). «Байесовский тест причинно-следственной связи для целочисленных моделей временных рядов с приложениями к данным о климате и преступности». Журнал Королевского статистического общества: серия C (Прикладная статистика) . 66 (4): 797–814. DOI : 10.1111 / rssc.12200 . ISSN 1467-9876 .
Перейти ↑ Knight, R. T (2007). «НЕЙРОНАУКА: нейронные сети, развенчивающие френологию». Наука . 316 (5831): 1578–9. DOI : 10.1126 / science.1144677 . PMID 17569852 . S2CID 15065228 .
^ а б Ким, Сангюн; Путрино, Дэвид; Гош, Сумья; Браун, Эмери Н. (2011). "Мера причинности по Грейнджеру для моделей точечных процессов ансамблевой нейронной активности" . PLOS Вычислительная биология . 7 (3): e1001110. Bibcode : 2011PLSCB ... 7E1110K . DOI : 10.1371 / journal.pcbi.1001110 . PMC 3063721 . PMID 21455283 .
^ Бресслер, Стивен Л; Сет, Анил К. (2011). «Причинность Винера-Грейнджера: хорошо отработанная методология». NeuroImage . 58 (2): 323–9. DOI : 10.1016 / j.neuroimage.2010.02.059 . PMID 20202481 . S2CID 36616970 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Эндерс, Уолтер (2004). Прикладные эконометрические временные ряды (второе изд.). Нью-Йорк: Вили. С. 283–288 . ISBN 978-0-471-23065-6.
Гуджарати, Damodar N .; Портер, Дон С. (2009). "Причинность в экономике: тест причинности Грейнджера". Основы эконометрики (Пятое международное изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 652–658. ISBN 978-007-127625-2.
Гувер, Кевин Д. (1988). «Причинность Грейнджера» . Новая классическая макроэкономика . Оксфорд: Бэзил Блэквелл. С. 168–176 . ISBN 978-0-631-14605-6.
Kuersteiner, Guido (2008). «Причинность Грейнджер – Симса» . Новый экономический словарь Пэлгрейва .
Кляйнберг, С. и Хрипчак, Г. (2011) «Обзор причинно-следственных связей для биомедицинской информатики». Архивировано 30 апреля 2012 г. на Wayback Machine J. Biomed Informatics.

[1] Грейнджер, CWJ (1969). «Исследование причинно-следственных связей с помощью эконометрических моделей и кросс-спектральных методов». Econometrica . 37 (3): 424–438. DOI : 10.2307 / 1912791 . JSTOR 1912791 .

[2] Diebold, Фрэнсис X. (2007). Элементы прогнозирования (PDF) (4-е изд.). Томсон Юго-Западный. С. 230–231. ISBN 978-0324359046.

[3] Leamer, Эдвард Э. (1985). «Векторные авторегрессии для причинного вывода?». Серия конференций Карнеги-Рочестера по государственной политике . 22 : 283. DOI : 10,1016 / 0167-2231 (85) 90035-1 .

[4] Грейнджер, CWJ; Ньюболд, Пол (1977). Прогнозирование экономических временных рядов . Нью-Йорк: Academic Press. п. 225. ISBN 0122951506.

[5] Гамильтон, Джеймс Д. (1994). Анализ временных рядов (PDF) . Издательство Принстонского университета. С. 306–308. ISBN 0-691-04289-6.

[6] Перейти ↑ Granger, Clive WJ (2004). «Анализ временных рядов, коинтеграция и приложения» (PDF) . Американский экономический обзор . 94 (3): 421–425. CiteSeerX 10.1.1.370.6488 . DOI : 10.1257 / 0002828041464669 . Проверено 12 июня 2019 .

[Eichler-7] Эйхлер, Майкл (2012). «Причинно-следственный вывод в анализе временных рядов» (PDF) . В Берзуини, Карло (ред.). Причинность: статистические перспективы и приложения (3-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. С. 327–352. ISBN 978-0470665565.

[Scholarpedia-8] Сет, Анил (2007). «Причинность Грейнджера» . Scholarpedia . 2 (7): 1667. Bibcode : 2007SchpJ ... 2.1667S . DOI : 10,4249 / scholarpedia.1667 .

[Granger80-9] Грейнджер, CWJ (1980). «Тестирование причинно-следственной связи: личная точка зрения». Журнал экономической динамики и управления . 2 : 329–352. DOI : 10.1016 / 0165-1889 (80) 90069-X .

[10] Lütkepohl, Helmut (2005). Новое введение в анализ множественных временных рядов (3-е изд.). Берлин: Springer. стр. 41 -51. ISBN 978-3540262398.

[11] Дикс, Сис; Панченко, Валентин (2006). «Новое статистическое и практическое руководство для непараметрического тестирования причинности по Грейнджеру» (PDF) . Журнал экономической динамики и управления . 30 (9): 1647–1669. DOI : 10.1016 / j.jedc.2005.08.008 .

[12] Фрэнсис, Билл Б .; Мугу, Мбоджа; Панченко, Валентин (2010). «Существует ли симметричная нелинейная причинно-следственная связь между крупными и малыми фирмами?» (PDF) . Журнал эмпирических финансов . 17 (1): 23–28. DOI : 10.1016 / j.jempfin.2009.08.003 .

[:0-13] Мариуш, Мазиарц (2015-05-20). «Обзор ошибки причинности Грейнджера» . Журнал философской экономики: размышления об экономических и социальных проблемах . VIII. (2). ISSN 1843-2298 .

[14] Маннино, Майкл; Бресслер, Стивен Л. (2015). «Основополагающие перспективы причинности в крупномасштабных сетях мозга». Обзоры физики жизни . 15 : 107–23. Bibcode : 2015PhLRv..15..107M . DOI : 10.1016 / j.plrev.2015.09.002 . PMID 26429630 .

[15] Грассманн, Грета (2020). «Новые соображения о достоверности критерия причинности Винера-Грейнджера» . Гелион . 6 : e05208. DOI : 10.1016 / j.heliyon.2020.e05208 . PMID 33102842 .

[16] Хакер, Р. Скотт; Хатеми-Дж, А. (2006). «Тесты причинно-следственной связи между интегрированными переменными с использованием асимптотических и бутстраповских распределений: теория и применение» . Прикладная экономика . 38 (13): 1489–1500. DOI : 10.1080 / 00036840500405763 . S2CID 121999615 .

[17] Мандельброт, Бенуа (1963). «Вариация некоторых спекулятивных цен». Журнал бизнеса . 36 (4): 394–419. DOI : 10.1086 / 294632 .

[18] Хатого-J, A. (2012). «Асимметричные тесты причинно-следственной связи с приложением» . Эмпирическая экономика . 43 : 447–456. DOI : 10.1007 / s00181-011-0484-х . S2CID 153562476 .

[19] Dumitrescu, E.-I .; Хурлин, К. (2012). «Проверка отсутствия причинности по Грейнджеру в неоднородных панелях». Экономическое моделирование . 29 (4): 1450–1460. CiteSeerX 10.1.1.395.568 . DOI : 10.1016 / j.econmod.2012.02.014 .

[20] Чен, Кэти WS; Се, Инь-Хен; Су, Хун-Чи; У, Цзя Цзин (01.02.2018). «Тест на причинно-следственную связь мелких частиц в окружающей среде и человеческого гриппа на Тайване: различия по возрастным группам и географическая неоднородность» . Environment International . 111 : 354–361. DOI : 10.1016 / j.envint.2017.10.011 . ISSN 0160-4120 . PMID 29173968 .

[21] Чен, Кэти WS; Ли, Сангёль (2017). «Байесовский тест причинно-следственной связи для целочисленных моделей временных рядов с приложениями к данным о климате и преступности». Журнал Королевского статистического общества: серия C (Прикладная статистика) . 66 (4): 797–814. DOI : 10.1111 / rssc.12200 . ISSN 1467-9876 .

[pmid17569852-22] Перейти ↑ Knight, R. T (2007). «НЕЙРОНАУКА: нейронные сети, развенчивающие френологию». Наука . 316 (5831): 1578–9. DOI : 10.1126 / science.1144677 . PMID 17569852 . S2CID 15065228 .

[Kim-23] а б Ким, Сангюн; Путрино, Дэвид; Гош, Сумья; Браун, Эмери Н. (2011). "Мера причинности по Грейнджеру для моделей точечных процессов ансамблевой нейронной активности" . PLOS Вычислительная биология . 7 (3): e1001110. Bibcode : 2011PLSCB ... 7E1110K . DOI : 10.1371 / journal.pcbi.1001110 . PMC 3063721 . PMID 21455283 .

[pmid20202481-24] Бресслер, Стивен Л; Сет, Анил К. (2011). «Причинность Винера-Грейнджера: хорошо отработанная методология». NeuroImage . 58 (2): 323–9. DOI : 10.1016 / j.neuroimage.2010.02.059 . PMID 20202481 . S2CID 36616970 .

[1]