В римановой геометрии , Громова «с оптимальной стабильным 2- систолическое неравенство выполняется неравенство
- ,
справедливо для произвольной римановой метрики на комплексном проективном пространстве , где оптимальная оценка достигается с помощью симметричной метрики Фубини – Штуди , обеспечивающей естественную геометризацию квантовой механики . Здесь стабильная 2-систола, которую в этом случае можно определить как нижнюю грань площадей рациональных 2-циклов, представляющих класс комплексной проективной прямой в 2-мерных гомологиях.
Неравенство впервые появилось у Громова (1981) как теорема 4.36.
Доказательство неравенства Громова опирается на неравенство Виртингера для внешних 2-форм .
Проективные плоскости над алгебрами с делением
В частном случае n = 2 неравенство Громова принимает вид . Это неравенство можно рассматривать как аналог неравенства Пу для вещественной проективной плоскости . В обоих случаях граничный случай равенства достигается симметричной метрикой проективной плоскости. Между тем, в кватернионном случае симметричная метрика нане является его систолически оптимальной метрикой. Другими словами, многообразие допускает римановы показатели с более высоким систолическим соотношением чем для его симметричной метрики ( Bangert et al. 2009 ).
Смотрите также
Рекомендации
- Бангерт, Виктор; Кац, Михаил Г .; Шнидер, Стив; Вайнбергер, Шмуэль (2009). « E 7 , неравенства Виртингера, 4-форма Кэли и гомотопия». Математический журнал герцога . 146 (1): 35–70. arXiv : math.DG / 0608006 . DOI : 10.1215 / 00127094-2008-061 . Руководство по ремонту 2475399 . S2CID 2575584 .
- Громов, Михаил (1981). Ж. Лафонтен; П. Пансу. (ред.). Структуры métriques льет ль Варьетэ riemanniennes [ метрические структуры для риманова многообразия ]. Textes Mathématiques (на французском языке). 1 . Париж: CEDIC. ISBN 2-7124-0714-8. Руководство по ремонту 0682063 .
- Кац, Михаил Г. (2007). Систолическая геометрия и топология . Математические обзоры и монографии. 137 . С приложением Джейка П. Соломона. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . п. 19. DOI : 10.1090 / Surv / 137 . ISBN 978-0-8218-4177-8. Руководство по ремонту 2292367 .