В дифференциальной геометрии , неравенство Pu в , доказано Pao Мин Pu , связывает область произвольной римановой поверхности гомеоморфном вещественной проективной плоскости с длинами замкнутых кривых , содержащихся в ней.
Заявление
Ученик Чарльза Лёвнера , Пу доказал в своей диссертации 1950 г. ( Pu 1952 ), что любая риманова поверхностьгомеоморфна вещественной проективной плоскости, удовлетворяет неравенству
где является систолой из. Равенство достигается именно тогда, когда метрика имеет постоянную гауссову кривизну .
Другими словами, если все несжимаемые петли в иметь длину не менее , тогда и равенство выполняется тогда и только тогда, когда получается из евклидовой сферы радиуса идентифицируя каждую точку с ее противоположностью.
В статье Пу также впервые сформулировано неравенство Лёвнера , аналогичный результат для римановых метрик на торе .
Доказательство
Первоначальное доказательство Пу опирается на теорему униформизации и использует следующий аргумент усреднения.
Путем униформизации риманова поверхность является конформно диффеоморфен к круглой проективной плоскости. Это означает, что мы можем считать, что поверхность получается из евклидовой единичной сферы путем определения антиподальных точек и элемента римановой длины в каждой точке является
где - элемент евклидовой длины, а функция , называемый конформным фактором , удовлетворяет.
Точнее универсальный чехол из является , цикл несокращаемо тогда и только тогда, когда его подъем идет от одной точки к противоположной, и длина каждой кривой является
При условии, что каждая из этих длин не менее , мы хотим найти что сводит к минимуму
где это верхняя половина сферы.
Ключевое наблюдение заключается в том, что если мы усредним несколько разных которые удовлетворяют ограничению длины и имеют одинаковую площадь , то мы получаем лучший конформный множитель , который также удовлетворяет ограничению длины и имеет
и неравенство строгое, если только функции равны.
Способ улучшить любую непостоянную состоит в том, чтобы получить различные функции из используя вращение сферы, определяя . Если мы усредним по всем возможным поворотам , то получимчто постоянно по всей сфере. Мы можем дополнительно уменьшить эту константу до минимального значенияразрешено ограничением длины. Тогда мы получаем единственную метрику, которая достигает минимальной площади.
Переформулировка
В качестве альтернативы, каждая метрика на сфере инвариантный относительно антиподального отображения допускает пару противоположных точек на римановом расстоянии удовлетворение
Более подробное объяснение этой точки зрения можно найти на странице Введение в систолическую геометрию .
Гипотеза о площади заполнения
Альтернативная формулировка неравенства Пу состоит в следующем. Из всех возможных заполнений римановой окружности длины автор -мерный диск с сильно изометрическим свойством, круглая полусфера имеет наименьшую площадь.
Чтобы объяснить эту формулировку, мы начнем с наблюдения, что экваториальная окружность блока -сфера является риманова круг длины . Точнее, функция риманова расстояния отиндуцируется окружающим римановым расстоянием на сфере. Обратите внимание, что это свойство не выполняется при стандартном погружении единичной окружности в евклидову плоскость. Действительно, евклидово расстояние между парой противоположных точек окружности составляет всего лишь, тогда как в римановом круге это .
Считаем все пломбы автор -мерный диск такой, что метрика, индуцированная включением окружности в качестве границы диска, является римановой метрикой окружности длины . Включение круга в качестве границы тогда называется сильно изометрическим вложением окружности.
Громов предположил, что круглая полусфера дает «лучший» способ заполнения круга, даже когда заполняющей поверхности разрешено иметь положительный род ( Громов, 1983 ).
Изопериметрическое неравенство
Неравенство Пу имеет любопытное сходство с классическим изопериметрическим неравенством
для жордановых кривых на плоскости, где - длина кривой, а это площадь области, которую он ограничивает. А именно, в обоих случаях двумерная величина (площадь) ограничена (квадратом) одномерной величины (длины). Однако неравенство идет в обратном направлении. Таким образом, неравенство Пу можно рассматривать как «противоположное» изопериметрическое неравенство.
Смотрите также
Рекомендации
- Громов, Михаил (1983). «Заполняющие римановы многообразия» . J. Differential Geom. 18 (1): 1–147. DOI : 10.4310 / JDG / 1214509283 . Руководство по ремонту 0697984 .
- Громов, Михаил (1996). «Систолы и межсистолические неравенства». В Бессе, Артур Л. (ред.). Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle (Luminy, 1992) [ Материалы круглого стола по дифференциальной геометрии ]. Séminaires et Congrès. 1 . Париж: Soc. Математика. Франция. С. 291–362. ISBN 2-85629-047-7. Руководство по ремонту 1427752 .
- Громов, Миша (1999) [1981]. Метрические структуры для римановых и неримановых пространств . Успехи в математике. 152 . С приложениями М. Каца, П. Пансу и С. Семмеса. Перевод с французского Шона Майкла Бейтса. Бостон, Массачусетс: ISBN Birkhäuser Boston, Inc. 0-8176-3898-9. Руководство по ремонту 1699320 .
- Кац, Михаил Г. (2007). Систолическая геометрия и топология . Математические обзоры и монографии. 137 . С приложением Дж. Соломона. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . DOI : 10,1090 / сур / 137 . ISBN 978-0-8218-4177-8. Руководство по ремонту 2292367 .
- Пу, Пао Мин (1952). «Некоторые неравенства в некоторых неориентируемых римановых многообразиях» . Pacific J. Math. 2 (1): 55–71. DOI : 10,2140 / pjm.1952.2.55 . Руководство по ремонту 0048886 .