Систолы поверхностей

В математике , систолические неравенства для кривых на поверхности были впервые изучены Чарльзом Левнером в 1949 году (неопубликованный, см замечания в конце вечер Pu бумаги «s в '52). Учитывая замкнутую поверхность , ее систола , обозначаемая sys , определяется как наименьшая длина петли, которая не может быть сокращена до точки на поверхности. Систолическое область из метрики определяются как отношение площадей / Sys ² . Систолическое отношение СР является обратным КОЛИЧЕСТВО SYS ² / площади. См. Также Введение в систолическую геометрию .

Тор [ править ]

Кратчайшая петля на торе

В 1949 г. Лёвнер доказал свое неравенство для метрик на торе T ² , а именно, что систолическое отношение SR (T ² ) ограничено сверху , с равенством в плоском (постоянной кривизны) случае равностороннего тора (см. Гексагональную решетку ).${\ displaystyle 2 / {\ sqrt {3}}}$

Реальная проективная плоскость [ править ]

Аналогичный результат дает неравенство Пу для реальной проективной плоскости 1952 года, полученное Пао Мин Пу , с верхней границей π / 2 для систолического отношения SR (RP ² ), также достигнутой в случае постоянной кривизны.

Бутылка Клейна [ править ]

Выдувная бутылка Клейна (эмуляция)

Для бутылки Клейна K Бавард (1986) получил оптимальную верхнюю границу систолического отношения:${\ displaystyle \ pi / {\ sqrt {8}}}$

${\ displaystyle \ mathrm {SR} (K) \ leq {\ frac {\ pi} {\ sqrt {8}}},}$

на основе работы Блаттера 1960-х годов.

Род 2 [ править ]

Ориентируемая поверхность рода 2 удовлетворяет оценке Лёвнера , см. (Katz-Sabourau '06). Неизвестно, удовлетворяет ли всякая поверхность положительного рода оценке Лёвнера. Предполагается, что все они это делают. Ответ утвердительный для рода 20 и выше по (Katz-Sabourau '05).${\ Displaystyle \ mathrm {SR} (2) \ leq {\ tfrac {2} {\ sqrt {3}}}}$

Произвольный род [ править ]

Для замкнутой поверхности рода g Хебда и Бураго (1980) показали, что систолическое отношение SR (g) ограничено сверху константой 2. Три года спустя Михаил Громов нашел верхнюю границу для SR (g), задаваемую константой раз

${\ displaystyle {\ frac {(\ log g) ^ {2}} {g}}.}$

Аналогичная нижняя оценка (с меньшей постоянной) была получена Бузером и Сарнаком. А именно, они показали арифметические гиперболические римановы поверхности с систолой, ведущей себя как постоянные времена . Обратите внимание, что площадь равна 4π (g-1) из теоремы Гаусса-Бонне, так что SR (g) ведет себя асимптотически как постоянное время .${\ Displaystyle \ журнал (г)}$${\ displaystyle {\ tfrac {(\ log g) ^ {2}} {g}}}$

Изучение асимптотики большого рода систол гиперболических поверхностей позволяет выявить некоторые интересные константы. Таким образом, поверхности Гурвица, определяемые башней главных конгруэнтных подгрупп гиперболической треугольной группы (2, 3, 7), удовлетворяют оценке${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle \ Sigma _ {g}}$

${\ displaystyle \ mathrm {sys} (\ Sigma _ {g}) \ geq {\ frac {4} {3}} \ log g,}$

в результате анализа кватернионного порядка Гурвица . Аналогичная оценка верна для более общих арифметических фуксовых групп . Этот результат 2007 года, сделанный Михаилом Кацем , Мэри Шапс и Узи Вишне, улучшает неравенство Питера Сарнака и Питера Бузера в случае арифметических групп, определенных с 1994 года, которые содержат ненулевую аддитивную константу. Для поверхностей Гурвица главного типа конгруэнции систолическое отношение SR (g) асимптотично${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

${\ displaystyle {\ frac {4} {9 \ pi}} {\ frac {(\ log g) ^ {2}} {g}}.}$

Используя энтропийное неравенство Катока, в (Katz-Sabourau 2005) была найдена следующая асимптотическая оценка сверху для SR (g):

${\ displaystyle {\ frac {(\ log g) ^ {2}} {\ pi g}},}$

также (Кац 2007), стр. 85. Комбинируя две оценки, можно получить точные оценки асимптотического поведения систолического отношения поверхностей.

Сфера [ править ]

Также существует вариант неравенства для метрики на сфере, для инварианта L, определяемого как наименьшая длина замкнутой геодезической метрики. В 1980 году Громов предположил нижнюю границу отношения площадь / L ² . Нижняя граница 1/961, полученная Кроуком в 1988 году, была недавно улучшена Набутовским , Ротманом и Сабурау.${\ displaystyle 1/2 {\ sqrt {3}}}$

См. Также [ править ]

• Дифференциальная геометрия поверхностей

Ссылки [ править ]

• Бавард, К. (1986). "Inégalité isosystolique pour la bouteille de Klein". Математика. Аня. 274 (3): 439–441. DOI : 10.1007 / BF01457227 .
• Buser, P .; Сарнак, П. (1994). «О матрице периодов римановой поверхности большого рода (с приложением Дж. Х. Конвея и Н. Дж. А. Слоана)». Inventiones Mathematicae . 117 (1): 27–56. Bibcode : 1994InMat.117 ... 27В . DOI : 10.1007 / BF01232233 .
• Громов, М. (1983). «Заполняющие римановы многообразия» . J. Diff. Геом. 18 (1): 1–147. DOI : 10.4310 / JDG / 1214509283 . Руководство по ремонту  0697984 .
• Хебда, Дж. (1981/82). «Некоторые нижние оценки площади поверхностей». Изобретать. Математика . 65 (3): 485–490. Bibcode : 1982InMat..65..485H . DOI : 10.1007 / BF01396632 . Проверить значения даты в: |year=( помощь )
• Кац, Михаил Г. (2007). Систолическая геометрия и топология . Математические обзоры и монографии. 137 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4177-8.
• Кац, М .; Сабурау, С. (2005). «Энтропия систолически экстремальных поверхностей и асимптотические границы». Ergo. Чт. Dynam. Sys . 25 (4): 1209–1220. arXiv : математика / 0410312 . DOI : 10.1017 / S0143385704001014 .
• Кац, М .; Сабурау, С. (2006). «Гиперэллиптические поверхности - Лёвнер». Proc. Амер. Математика. Soc. 134 (4): 1189–1195. arXiv : math.DG / 0407009 . DOI : 10.1090 / S0002-9939-05-08057-3 .
• Кац, М .; Schaps, M .; Вишне, У. (2007). «Логарифмический рост систолы арифметических римановых поверхностей по подгруппам конгруэнций». J. Differential Geom . 76 (3): 399–422. arXiv : math.DG / 0505007 . DOI : 10.4310 / JDG / 1180135693 .
• Pu, PM (1952). «Некоторые неравенства в некоторых неориентируемых римановых многообразиях» . Pacific J. Math. 2 : 55–71. DOI : 10,2140 / pjm.1952.2.55 . Руководство по ремонту  0048886 .