Порядок кватерниона Гурвица

Порядок кватернионов Гурвица - это особый порядок в алгебре кватернионов над подходящим числовым полем . Порядок имеет особое значение в теории римановых поверхностей в связи с поверхностями с максимальной симметрией , а именно с поверхностями Гурвица . ^[1] Гурвица порядок кватернионов был изучен в 1967 году Горо Шимурой , ^[2] но сначала явно описывается Ноам Элкис в 1998 году ^[3] В качестве альтернативного использования термина, см Гурвица кватернион (оба обычаи тока в литературе ).

Определение [ править ]

Позвольте быть максимальное вещественное подполе где является 7-м примитивным корнем из единицы . Кольцо целых чисел от это , где элемент может быть идентифицирован с положительным реальным . Позвольте быть кватернионной алгеброй или символьной алгеброй ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle (\ rho)}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle K}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [\ eta]}$${\ displaystyle \ eta = \ rho + {\ bar {\ rho}}}$${\ Displaystyle 2 \ соз ({\ tfrac {2 \ pi} {7}})}$${\ displaystyle D}$

${\displaystyle D:=\,(\eta ,\eta )_{K},}$

Так что и в И пусть и . Позволять ${\displaystyle i^{2}=j^{2}=\eta }$${\displaystyle ij=-ji}$${\displaystyle D.}$${\displaystyle \tau =1+\eta +\eta ^{2}}$${\displaystyle j'={\tfrac {1}{2}}(1+\eta i+\tau j)}$

${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }=\mathbb {Z} [\eta ][i,j,j'].}$

Тогда есть максимальный порядок из , описанный явно Ноама Элкиса . ^[4]${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }}$${\displaystyle D}$

Структура модуля [ править ]

Порядок также создается элементами${\displaystyle Q_{\mathrm {Hur} }}$

${\displaystyle g_{2}={\tfrac {1}{\eta }}ij}$

а также

${\displaystyle g_{3}={\tfrac {1}{2}}(1+(\eta ^{2}-2)j+(3-\eta ^{2})ij).}$

Фактически заказ представляет собой бесплатный модуль над базой . Здесь генераторы удовлетворяют соотношениям${\displaystyle \mathbb {Z} [\eta ]}$${\displaystyle \,1,g_{2},g_{3},g_{2}g_{3}}$

${\displaystyle g_{2}^{2}=g_{3}^{3}=(g_{2}g_{3})^{7}=-1,}$

которые после факторизации по центру спускаются до соответствующих соотношений в треугольной группе (2,3,7) .

Подгруппы главных конгруэнций [ править ]

Основная конгруэнтная подгруппа, определяемая идеалом , по определению является группой${\displaystyle I\subset \mathbb {Z} [\eta ]}$

${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }^{1}(I)=\{x\in {\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }^{1}:x\equiv 1(}$мод ${\displaystyle I{\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} })\},}$

а именно, группа элементов приведенной нормы 1 по модулю идеала эквивалентна 1 . Соответствующая фуксова группа получается как образ главной конгруэнтной подгруппы при представлении в P SL (2, R) .${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }}$${\displaystyle I{\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }}$

Заявление [ править ]

Этот порядок использовался Кацем, Шапсом и Вишне ^[5] для построения семейства поверхностей Гурвица, удовлетворяющих асимптотической нижней оценке систолы: где g - род, что улучшает более ранний результат Питера Бузера и Питера Сарнака ; ^[6] см. Систолы поверхностей .${\displaystyle sys>{\frac {4}{3}}\log g}$

См. Также [ править ]

• (2,3,7) треугольная группа
• Кляйн квартика
• Поверхность Macbeath
• Первая тройка Гурвица

Ссылки [ править ]