В теории колец и смежных областях математики центральная простая алгебра ( CSA ) над полем K является конечномерен ассоциативная K - алгебра , которая является простой , и для которых центр точно K . В качестве примера отметим, что любая простая алгебра является центральной простой алгеброй над своим центром.
Например, комплексные числа C образуют CSA над собой, но не над действительными числами R (центр C - это все C , а не только R ). В кватернионах Н образуют 4-мерную CSA над R , а на самом деле представляют собой единственный нетривиальный элемент группы Брауэра из чисел (см ниже).
Для двух центральных простых алгебр A ~ M ( n , S ) и B ~ M ( m , T ) над одним и тем же полем F , A и B называются подобными (или эквивалентными по Брауэру ), если их тела S и T изоморфны. Множество всех классов эквивалентности центральных простых алгебр над данным полем F при этом отношении эквивалентности можно снабдить групповой операцией, задаваемой тензорным произведением алгебр . В результате чего группа называется группой Брауэра Br ( F ) поля F . [1] Это всегда торсионная группа . [2]
Характеристики
- Согласно артиновскому-Wedderburn теоремы конечномерные простой алгебры А изоморфна алгебре матриц М ( п , S ) для некоторого деления кольца S . Следовательно, в каждом классе эквивалентности Брауэра есть единственная алгебра с делением. [3]
- Каждый автоморфизм центральной простой алгебры является внутренним автоморфизмом (следует из теоремы Сколема – Нётер ).
- Размерность центральной простой алгебры как векторное пространство над его центром всегда площадь: степень представляет собой квадратный корень из этого измерения. [4] Индекс Шура центральной простой алгебры - это степень эквивалентной алгебры с делением: [5] он зависит только от класса Брауэра алгебры. [6]
- Период или показатель центральной простой алгебры является порядок ее класса Брауэра как элемент группы Брауэра. Это делитель индекса [7], и два числа состоят из одних и тех же простых множителей. [8] [9] [10]
- Если S является простой подалгебры центральной простой алгебры А то тусклый F S делит тусклый F A .
- Всякая 4-мерная центральная простая алгебра над полем F изоморфна алгебре кватернионов ; фактически, это либо матричная алгебра два на два , либо алгебра с делением .
- Если D - центральная алгебра с делением над K, для которой индекс имеет разложение на простые множители
- то D имеет разложение на тензорное произведение
- где каждая компонента D i является центральной алгеброй с делением индекса , а компоненты определены однозначно с точностью до изоморфизма. [11]
Поле разделения
Мы называем поле E в поле расщепления для А над К , если ⊗ E изоморфно кольцу матриц над Е . Каждый конечномерно CSA имеет поле разложения: в самом деле, в случае , когда является алгеброй с делением, то максимальный подполом в А является полем расщепления. В целом по теоремы Wedderburn и Кйте есть поле расщепления , которое является сепарабельным расширением из K степени равен индексу А , и это поле расщепления изоморфна подполе А . [12] [13] В качестве примера, поле C разбивает алгебру кватернионов H над R с
Мы можем использовать существование поля разложения определить пониженную норму и уменьшенную трассировку для CSA A . [14] Сопоставьте A с кольцом матриц над полем разбиения и определите приведенную норму и след как композицию этого отображения с определителем и следом соответственно. Например, в алгебре кватернионов H приведенное выше расщепление показывает, что элемент t + x i + y j + z k имеет уменьшенную норму t 2 + x 2 + y 2 + z 2 и уменьшенный след 2 t .
Приведенная норма мультипликативна, а приведенная трасса - аддитивна. Элемент a из A обратим тогда и только тогда, когда его приведенная норма не равна нулю: следовательно, CSA является алгеброй с делением тогда и только тогда, когда приведенная норма отлична от нуля на ненулевых элементах. [15]
Обобщение
CSA над полем K являются некоммутативным аналогом полей расширения над K - в обоих случаях они не имеют нетривиальных двусторонних идеалов и имеют выделенное поле в своем центре, хотя CSA может быть некоммутативным и не обязательно иметь обратные (не обязательно алгебра с делением ). Это представляет особый интерес в некоммутативной теории чисел как обобщение числовых полей (расширение рациональных чисел Q ); см. некоммутативное числовое поле .
Смотрите также
- Алгебра Адзумая , обобщение CSA, где базовое поле заменяется коммутативным локальным кольцом
- Сорт Севери – Брауэра
- Теорема Познера
Рекомендации
- ^ Лоренц (2008) стр.159
- ^ Лоренц (2008) стр.194
- ^ Лоренц (2008) стр.160
- ↑ Gille & Szamuely (2006), стр.21
- ^ Лоренц (2008) стр.163
- ^ Гилле и Самуэли (2006) стр.100
- ^ Jacobson (1996) стр.60
- ^ Jacobson (1996) стр.61
- ↑ Gille & Szamuely (2006), стр.104
- ^ Кон, Пол М. (2003). Дальнейшая алгебра и приложения . Springer-Verlag . п. 208. ISBN 1852336676.
- ↑ Гилле и Самуэли (2006), стр.105
- ^ Jacobson (1996) pp.27-28
- ↑ Gille & Szamuely (2006), стр.101
- ^ Гилле и Самуэли (2006) pp.37-38
- ↑ Гилле и Самуэли (2006), стр.38
- Кон, PM (2003). Дальнейшая алгебра и приложения (2-е изд.). Springer. ISBN 1852336676. Zbl 1006.00001 .
- Джейкобсон, Натан (1996). Конечномерные алгебры с делением над полями . Берлин: Springer-Verlag . ISBN 3-540-57029-2. Zbl 0874.16002 .
- Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями . Аспирантура по математике . 67 . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1095-2. Руководство по ремонту 2104929 . Zbl 1068.11023 .
- Лоренц, Фалько (2008). Алгебра. Том II: Поля со структурой, алгебры и сложные темы . Springer. ISBN 978-0-387-72487-4. Zbl 1130.12001 .
дальнейшее чтение
- Альберт, AA (1939). Структура алгебр . Публикации коллоквиума. 24 (7-е исправленное переиздание). Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1024-3. Zbl 0023.19901 .
- Жиль, Филипп; Самуэли, Тамаш (2006). Центральные простые алгебры и когомологии Галуа . Кембриджские исследования в области высшей математики. 101 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-86103-9. Zbl 1137.12001 .