В математике группа Брауэра поля K является абелевой группой , элементами которой являются классы эквивалентности Мориты центральных простых алгебр над K с дополнением, заданным тензорным произведением алгебр. Он был определен алгебраистом Рихардом Брауэром .
Группа Брауэра возникла из попыток классифицировать алгебры с делением над полем. Его также можно определить в терминах когомологий Галуа . В более общем смысле группа Брауэра схемы определяется в терминах алгебр Адзумая или, что то же самое, с использованием проективных расслоений .
Центральная простая алгебра ( ЦСА) над полем K — это конечномерная ассоциативная K - алгебра A такая, что A — простое кольцо и центр A равен K . Обратите внимание, что CSA, как правило, не являются алгебрами с делением, хотя CSA можно использовать для классификации алгебр с делением.
Например, комплексные числа C образуют CSA над собой, но не над R (центром является само C , следовательно, оно слишком велико, чтобы быть CSA над R ). Конечномерные алгебры с делением с центром R (что означает, что размерность над R конечна) — это действительные числа и кватернионы по теореме Фробениуса , а любое матричное кольцо над вещественными числами или кватернионами — M( n , R ) или M ( n , H ) – CSA над вещественными числами, но не алгебра с делением (если n > 1).
Мы получаем отношение эквивалентности на CSA над K с помощью теоремы Артина–Веддерберна ( фактически части Веддерберна), чтобы выразить любой CSA как M ( n , D ) для некоторой алгебры с делением D . Если мы посмотрим только на D , то есть если мы наложим отношение эквивалентности, отождествляющее M( m , D ) с M( n , D ) для всех положительных целых чисел m и n , мы получим отношение эквивалентности Брауэра на CSA над K. Элементами группы Брауэра являются классы эквивалентности Брауэра КСА над K .
Учитывая центральные простые алгебры A и B , можно рассматривать их тензорное произведение A ⊗ B как K -алгебру (см. тензорное произведение R-алгебр ). Оказывается, это всегда центральный простой. Хороший способ увидеть это — использовать характеристику: центральная простая алгебра A над K — это K - алгебра, которая становится матричным кольцом , когда мы расширяем поле скаляров до алгебраического замыкания K . Этот результат также показывает, что размерность центральной простой алгебры A как K-векторное пространство всегда является квадратом. Степень A определяется как квадратный корень из его измерения .