Алгебраическая структура → Теория колец Теория колец |
---|
В математике , то тензорное произведение двух алгебр над коммутативным кольцом R является также R - алгебра. Это дает тензорное произведение алгебр . Когда кольцо является полем , наиболее частым применением таких произведений является описание произведения представлений алгебры .
Определение [ править ]
Пусть R - коммутативное кольцо, а A и B - R -алгебры . Поскольку A и B можно рассматривать как R -модули , их тензорное произведение
также является R -модулем. Тензорному произведению можно придать структуру кольца, определив произведение на элементах вида a ⊗ b согласно [1] [2]
а затем расширение по линейности на все ⊗ R B . Это кольцо представляет собой R - алгебра, ассоциативно и унитальная с единицей , заданной 1 ⊗ 1 B . [3] , где 1 и 1 Б являются элементами идентичности из A и B . Если A и B коммутативны, то тензорное произведение также коммутативно.
Тензорное произведение превращает категорию в R -алгебр в симметричную моноидальную категорию . [ необходима цитата ]
Другие свойства [ править ]
Существуют естественные гомоморфизмы из A и B в A ⊗ R B, заданные формулой [4]
Эти отображения делают тензорное произведение копроизведением в категории коммутативных R -алгебр . Тензорное произведение не является копроизведением в категории всех R -алгебр. Здесь копроизведение дается более общим свободным произведением алгебр . Тем не менее тензорное произведение некоммутативных алгебр можно описать универсальным свойством, аналогичным свойству копроизведения:
где [-, -] обозначает коммутатор . Естественный изоморфизм дается определения морфизм на левой стороне с парой морфизмов на правой стороне , где и аналогично .
Приложения [ править ]
Тензорное произведение коммутативных алгебр постоянно используется в алгебраической геометрии . Для аффинных схем X , Y , Z с морфизмами из X и Z в Y , поэтому X = Spec ( A ), Y = Spec ( B ) и Z = Spec ( C ) для некоторых коммутативных колец A , B , C , Схема расслоенного произведения - это аффинная схема, соответствующая тензорному произведению алгебр:
В более общем смысле, волокнистый продукт схем определяется путем склеивания вместе аффинных волоконных продуктов этой формы.
Примеры [ править ]
- Тензорное произведение может использоваться как средство пересечения двух подсхем в схеме : рассмотрим -алгебры , тогда их тензорное произведение равно , которое описывает пересечение алгебраических кривых f = 0 и g = 0 в аффинной плоскости. над C .
- Тензорные произведения можно использовать как средство изменения коэффициентов. Например, и .
- Тензорные произведения также могут использоваться для переноса произведений аффинных схем над полем. Например, это изоморфна алгебре , соответствующей аффинной поверхности , если е и г не равны нулю.
См. Также [ править ]
- Расширение скаляров
- Тензорное произведение модулей
- Тензорное произведение полей
- Линейно непересекающийся
- Мультилинейное подпространственное обучение
Заметки [ править ]
- Перейти ↑ Kassel (1995), p. 32 .
- ^ Lang 2002 , стр. 629-630.
- Перейти ↑ Kassel (1995), p. 32 .
- Перейти ↑ Kassel (1995), p. 32 .
Ссылки [ править ]
- Кассель, Кристиан (1995), квантовые группы , выпускные тексты по математике, 155 , Springer, ISBN 978-0-387-94370-1.
- Ланг, Серж (2002) [впервые опубликовано в 1993 году]. Алгебра . Тексты для выпускников по математике. 21 . Springer. ISBN 0-387-95385-X.