Гипотеза области заполнения

В дифференциальной геометрии , М. Громова «s область заполнения гипотеза утверждает , что полушарие имеет минимальную площадь среди ориентируемых поверхностей , которые заполняют замкнутую кривую заданной длины без введения сочетания между его точками.

Определения и формулировка гипотезы [ править ]

Каждая гладкая поверхность $М$ или кривой в евклидовом пространстве является метрическим пространством , в котором (внутреннее) расстояние $d М (х, у)$ между двумя точками $х, у$ из $М$ определяется как нижняя грань длин кривых , которые выходят из $х$ к $у$ вдоль $М$ . Например, на замкнутой кривой длины $2$ $L$ , для каждой точки $х$ кривой существует единственная другая точка кривой ( так называемый антиподальное из $х$ $C$ ) на расстоянии $L$ от $x$ .

Компактная поверхность $М$ заполняет замкнутый кривой $C$ , если ее границы (также называемая границы , обозначается $\partial М$ ) является кривой $С$ . Заполнение $M$ называется изометрическим, если для любых двух точек $x, y$ граничной кривой $C$ расстояние $d M (x, y)$ между ними по $M$ равно (не меньше) расстояния $d C (x, y)$ по границе. Другими словами, изометрическое заполнение кривой означает ее заполнение без использования ярлыков.

Вопрос: Насколько маленькой может быть площадь поверхности данной длины, изометрически заполняющей ее граничную кривую?

Например, в трехмерном евклидовом пространстве круг

C=\{(x,y,0):\ x^{2}+y^{2}=1\}

(длины 2 $π$ ) заполнен плоским диском

D=\{(x,y,0):\ x^{2}+y^{2}\leq 1\}

которая не является изометрической заливкой, потому что любой прямой аккорд вдоль нее - это ярлык. Напротив, полушарие

H=\{(x,y,z):\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1{\text{ and }}z\geq 0\}

представляет собой изометрическое заполнение той же окружности $C$ , площадь которой в два раза больше плоского диска . Это минимально возможная площадь?

Поверхность можно представить как сделанную из гибкого, но не растягивающегося материала, что позволяет перемещать и сгибать ее в евклидовом пространстве. Ни одно из этих преобразований не изменяет ни площадь поверхности, ни длину нарисованных на ней кривых, которые имеют отношение к проблеме. Поверхность можно полностью удалить из евклидова пространства, получив риманову поверхность , которая представляет собой абстрактную гладкую поверхность с римановой метрикой, которая кодирует длины и площадь. В свою очередь, согласно теореме Нэша-Койпералюбая риманова поверхность с границей может быть вложена в евклидово пространство, сохраняя при этом длины и площадь, заданные римановой метрикой. Таким образом, проблема заполнения может быть сформулирована эквивалентно как вопрос о римановых поверхностях , которые никаким образом не помещаются в евклидово пространство.

Гипотеза ( гипотеза Громова о площади заполнения, 1983): полусфера имеет минимальную площадь среди ориентируемых компактных римановых поверхностей, изометрически заполняющих их граничную кривую заданной длины. ^[1]^{: стр. 13}

Доказательство Громова для случая римановых дисков [ править ]

В той же статье, где Громов сформулировал гипотезу, он доказал, что

полусфера имеет наименьшую площадь среди римановых поверхностей, изометрически заполнить круг заданной длины, а также гомеоморфно на диске . ^[1]

Доказательство: Пусть будет риманов диск, изометрически заполняющий его границу длины . Склейте каждую точку с ее противоположной точкой , определяемой как уникальная точка, которая находится на максимально возможном расстоянии от . Склеивая таким образом, мы получаем замкнутую риманову поверхность , гомеоморфную вещественной проективной плоскости , систола которой (длина кратчайшей несжимаемой кривой) равна . (И наоборот, если мы разрежем проективную плоскость вдоль кратчайшей несжимаемой петли длины , мы получим диск, который изометрически заполняет свою границу длины .) Таким образом, минимальная площадь, которую изометрическое заполнение $M$ $2L$ $x\in \partial M$ $-x$ $\partial M$ $L$ $x$ $M'$ $L$ $L$ $2L$ $M$ может быть равна минимальной площади, которую может иметь риманова проективная плоскость систолы . Но тогда систолическое неравенство Пу точно утверждает, что риманова проективная плоскость данной систолы имеет минимальную площадь тогда и только тогда, когда она круглая (то есть полученная из евклидовой сферы путем отождествления каждой точки с ее противоположностью). Площадь этой круглой проекционной плоскости равна площади полусферы (поскольку каждая из них имеет половину площади сферы). $L$

Доказательство неравенства Пу, в свою очередь, опирается на теорему униформизации .

Заполнение метриками Финслера [ править ]

В 2001 году Сергей Иванов представил еще один способ доказать, что полушарие имеет наименьшую площадь среди изометрических заполнений, гомеоморфных диску. ^[2]^[3]^[4] Его аргумент не использует теорему униформизации, а основан на топологическом факте, что две кривые на диске должны пересекаться, если их четыре конца находятся на границе и переплетаются. Более того, доказательство Иванова применимо в более общем плане к дискам с финслеровой метрикой , которые отличаются от римановых метрик тем, что они не обязаны удовлетворять уравнению Пифагора на бесконечно малом уровне. Площадь финслеровой поверхности может быть определена различными неэквивалентными способами, и здесь используется область Холмса – Томпсона., что совпадает с обычной областью, когда метрика риманова. Иванов доказал, что

Полусфера имеет минимальную площадь Холмса – Томпсона среди финслеровских дисков, изометрически заполняющих замкнутую кривую заданной длины.

Доказательство теоремы Иванова.

Пусть $(M, F)$ быть диском финслерово , что изометрически заполняет свою границу длиной $2 л$ . Можно считать, что $M$ - стандартный круглый диск в $ℝ 2$ , а финслерова метрика $F : T M = M \times 2 \to [0, + \infty)$ гладкая и сильно выпуклая. ^[5] Площадь заполнения Холмса – Томпсона можно вычислить по формуле

\operatorname {Area} _{\mathrm {HT} }(M,F)={\frac {1}{\pi }}\iint _{M}|B_{x}^{*}|\,\mathrm {d} x_{0}\,\mathrm {d} x_{1}

где для каждой точки множество является двойным единичным шаром нормы (единичным шаром двойственной нормы ), а также его обычной площадью как подмножеством . $x\in M$ $B_{x}^{*}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ $F_{x}$ $F_{x}^{*}$ $|B_{x}^{*}|$ $\mathbb {R} ^{2}$

Выберите набор граничных точек, перечисленных в порядке против часовой стрелки. Для каждой точки определим на M скалярную функцию . Эти функции обладают следующими свойствами: $P=(p_{i})_{0\leq i<n}\subseteq \partial M$ $p_{i}$ $f_{i}(x)=\mathrm {dist} _{F}(p_{i},x)$

Каждая функция липшицева на M и поэтому (по теореме Радемахера ) дифференцируема почти в каждой точке . $f_{i}:M\to \mathbb {R}$ $x\in M$
Если дифференцируема во внутренней точке , то существует уникальная кратчайшая кривая от до x (параметризованная с единичной скоростью), которая достигает x со скоростью . Дифференциал имеет норму 1 и является единственным ковектором , для которого . $f_{i}$ $x\in M^{\circ }$ $p_{i}$ $v_{i}$ $\mathrm {d} _{x}f_{i}$ $\varphi \in B_{x}^{*}$ $\varphi (v_{i})=F_{x}(v_{i})$
В каждой точке, где все функции дифференцируемы, ковекторы различны и располагаются против часовой стрелки на дуальной единичной сфере . В самом деле, они должны быть разными, потому что разные геодезические не могут достигать одинаковой скорости. Кроме того, если три из этих ковекторов (для некоторых ) появляются в перевернутом порядке, то две из трех кратчайших кривых от точек до пересекают друг друга, что невозможно. $x\in M^{\circ }$ $f_{i}$ $\mathrm {d} f_{i}$ $\partial B_{x}^{*}$ $x$ $\mathrm {d} _{x}f_{i},\mathrm {d} _{x}f_{j},\mathrm {d} _{x}f_{k}$ $0\leq i<j<k<n$ $p_{i},p_{j},p_{k}\in \partial M$ $x$

Таким образом, почти для каждой внутренней точки ковекторы представляют собой вершины, перечисленные в порядке против часовой стрелки, выпуклого многоугольника, вписанного в двойственный единичный шар . Площадь этого многоугольника равна (где индекс i + 1 вычисляется по модулю n ). Следовательно, мы имеем оценку снизу $x\in M^{\circ }$ $\mathrm {d} _{x}f_{i}$ $B_{x}^{*}$ $\sum _{i}{\frac {1}{2}}\mathrm {d} _{x}f_{i}\wedge \mathrm {d} _{x}f_{i+1}$

c_{P}:=\int _{M}\sum _{i}{\frac {1}{2}}\mathrm {d} f_{i}\wedge \mathrm {d} f_{i+1}\leq \pi \,\operatorname {Area} _{\mathrm {HT} }(M,F),

для области пломбирования. Если мы определим 1-форму , то мы можем переписать эту нижнюю границу, используя формулу Стокса, как $\theta _{P}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}f_{i}\,\mathrm {d} f_{i+1}$

c_{P}=\int _{M}\mathrm {d} \theta _{P}=\int _{\partial M}\theta _{P}=\dots =2L^{2}-\sum _{i}\delta _{i}^{2}\ {\xrightarrow {P\ {\text{dense}}}}\ 2L^{2}

.

Граничный интеграл, который здесь появляется, определяется в терминах функций расстояния, ограниченных границей, которые не зависят от изометрического заполнения . Следовательно, результат интеграла зависит только от расположения точек на окружности длиной 2L . Мы пропустили вычисление и выразили результат в терминах длин каждой граничной дуги против часовой стрелки от точки до следующей точки . Расчет действителен, только если . $f_{i}$ $p_{i}$ $\delta _{i}$ $p_{i}$ $p_{i+1}$ $\delta _{i}<{\frac {L}{2}}$

Таким образом, наша нижняя граница площади изометрического заполнения Финслера сходится к по мере уплотнения коллекции . Это означает, что ${\frac {1}{\pi }}2L^{2}$ $P\subseteq \partial M$

\operatorname {Area} _{\mathrm {HT} }(M,F)\geq {\frac {1}{\pi }}\,2L^{2}=\operatorname {Area} ({\text{hemisphere}})

,

как мы должны были доказать.

В отличие от риманова случая существует множество финслеровских дисков, которые изометрически заполняют замкнутую кривую и имеют ту же площадь Холмса – Томпсона, что и полушарие. Если вместо этого используется область Хаусдорфа , то минимальность полушария по-прежнему сохраняется, но полушарие становится уникальным минимизатором. Это следует из теоремы Иванова, поскольку хаусдорфова площадь финслерового многообразия никогда не меньше площади Холмса – Томпсона , и эти две площади равны тогда и только тогда, когда метрика риманова.

Неминимальность полушария среди рациональных наполнений с финслеровскими метриками [ править ]

Евклидов диск, заполняющий круг, может быть заменен без уменьшения расстояний между граничными точками финслеровым диском, который заполняет одну и ту же окружность $N$ = 10 раз (в том смысле, что его граница оборачивается вокруг круга $N$ раз), но у которого Холмс –Площадь Томпсона меньше площади диска в $N$ раз. ^[6] Для полушария можно найти аналогичную замену. Другими словами, гипотеза о области заполнения неверна, если 2- цепи Финслера с рациональными коэффициентами допускаются в качестве заполнения, а не ориентируемые поверхности (которые можно рассматривать как 2-цепи с целыми коэффициентами ).

Римановы заполнения первого рода и гиперэллиптичность [ править ]

Ориентируемая риманова поверхность рода один, изометрически заполняющая круг, не может иметь меньшую площадь, чем полусфера. ^[7] Доказательство в этом случае снова начинается со склейки антиподальных точек границы. Полученная таким образом неориентируемая замкнутая поверхность имеет ориентируемое двойное покрытие рода два и поэтому гиперэллиптична.. Затем в доказательстве используется формула Дж. Херша из интегральной геометрии. А именно, рассмотрим семейство петель в форме восьмерки на футбольном мяче с точкой самопересечения на экваторе. Формула Херша выражает площадь метрики в конформном классе футбольного мяча как среднее значение энергии петель в виде восьмерки из семейства. Применение формулы Херша к гиперэллиптическому фактору римановой поверхности доказывает гипотезу о площади заполнения в этом случае.

Почти плоские многообразия - это минимальные заполнения своих граничных расстояний [ править ]

Если риманово многообразие $M$ (любой размерности) почти плоское (точнее, $M$ - область с римановой метрикой, близкой к стандартной евклидовой метрике), то $M$ является минимизатором объема : его нельзя заменить ориентируемой метрикой. Риманово многообразие, заполняющее ту же границу и имеющее меньший объем без уменьшения расстояния между некоторыми граничными точками. ^[8] $\mathbb {R} ^{n}$ $C^{2}$ Это означает, что если кусок сферы достаточно мал (и, следовательно, почти плоский), то это минимизатор объема. Если эту теорему можно распространить на большие области (а именно, на все полушарие), то гипотеза о заполнении областей верна. Было высказано предположение, что все простые римановы многообразия (те, которые выпуклы на своей границе и где каждые две точки соединены единственной геодезической) являются минимизаторами объема. ^[8]

Доказательство того, что каждое почти плоское многообразие $M$ является минимизатором объема, включает в себя вложение M в L ∞ ( ∂ M ) {\displaystyle L^{\infty }(\partial M)} , а затем показывает, что любую изометрическую замену $M$ также можно отобразить в то же пространство и спроецировать на $M$ без увеличения его объема. Это означает , что замена не имеет меньший объем , чем у исходного многообразия $M$ . $L^{\infty }(\partial M)$

См. Также [ править ]

Радиус заполнения
Неравенство Пу
Систолическая геометрия

Ссылки [ править ]

^ а б Громов, Михаил (1983). «Заполнение римановых многообразий» . J. Diff. Геом . 18 (1): 1–147. DOI : 10.4310 / JDG / 1214509283 . Руководство по ремонту 0697984 .
↑ Иванов, Сергей В. (2001). «О двумерных минимальных заполнениях». Алгебра и анализ . 13 (1): 26–38.
↑ Иванов, Сергей В. (2002). «О двумерных минимальных заполнениях». Санкт-Петербургская математика. Дж . 13 (1): 17–25. Руководство по ремонту 1819361 .
↑ Иванов, Сергей В. (2011). «Заполнение минимальности финслеровских 2-дисков». Proc. Стеклова Математика . 273 (1): 176–190. arXiv : 0910.2257 . DOI : 10.1134 / S0081543811040079 .
^ Если исходная метрика не является гладкой и сильно выпуклой, мы аппроксимируем ее метрикой, которая обладает этими свойствами.
^ Бураго, Дмитрий; Иванов, Сергей В. (2002). "Об асимптотическом объеме финслеровых торов, минимальных поверхностях в нормированных пространствах и симплектическом объеме заполнения". Аня. математики . 2. 156 (3): 891–914. CiteSeerX 10.1.1.625.3347 . DOI : 10.2307 / 3597285 . JSTOR 3597285 . Руководство по ремонту 1954238 .
^ Bangert, Виктор; Крок, Кристофер Б .; Иванов, Сергей; Кац, Михаил Г. (2005). «Гипотеза области заполнения и безовальные реальные гиперэллиптические поверхности». Геом. Функц. Анальный . 15 (3): 577–597. arXiv : math / 0405583 . DOI : 10.1007 / S00039-005-0517-8 . Руководство по ремонту 2221144 .
^ a b Бураго, Дмитрий; Иванов, Сергей В. (2010). «Граничная жесткость и минимальность заполнения метрики, близкая к плоской» . Аня. математики . 2. 171 (2): 1183–1211. DOI : 10.4007 / анналы.2010.171.1183 . Руководство по ремонту 2630062 .

Кац , Михаил Г. (2007), Систолическая геометрия и топология , Математические обзоры и монографии, 137 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4177-8

[gromov1983filling-1] а б Громов, Михаил (1983). «Заполнение римановых многообразий» . J. Diff. Геом . 18 (1): 1–147. DOI : 10.4310 / JDG / 1214509283 . Руководство по ремонту 0697984 .

[2] Иванов, Сергей В. (2001). «О двумерных минимальных заполнениях». Алгебра и анализ . 13 (1): 26–38.

[3] Иванов, Сергей В. (2002). «О двумерных минимальных заполнениях». Санкт-Петербургская математика. Дж . 13 (1): 17–25. Руководство по ремонту 1819361 .

[4] Иванов, Сергей В. (2011). «Заполнение минимальности финслеровских 2-дисков». Proc. Стеклова Математика . 273 (1): 176–190. arXiv : 0910.2257 . DOI : 10.1134 / S0081543811040079 .

[5] Если исходная метрика не является гладкой и сильно выпуклой, мы аппроксимируем ее метрикой, которая обладает этими свойствами.

[6] Бураго, Дмитрий; Иванов, Сергей В. (2002). "Об асимптотическом объеме финслеровых торов, минимальных поверхностях в нормированных пространствах и симплектическом объеме заполнения". Аня. математики . 2. 156 (3): 891–914. CiteSeerX 10.1.1.625.3347 . DOI : 10.2307 / 3597285 . JSTOR 3597285 . Руководство по ремонту 1954238 .

[7] Bangert, Виктор; Крок, Кристофер Б .; Иванов, Сергей; Кац, Михаил Г. (2005). «Гипотеза области заполнения и безовальные реальные гиперэллиптические поверхности». Геом. Функц. Анальный . 15 (3): 577–597. arXiv : math / 0405583 . DOI : 10.1007 / S00039-005-0517-8 . Руководство по ремонту 2221144 .

[burago2010boundary-8] Бураго, Дмитрий; Иванов, Сергей В. (2010). «Граничная жесткость и минимальность заполнения метрики, близкая к плоской» . Аня. математики . 2. 171 (2): 1183–1211. DOI : 10.4007 / анналы.2010.171.1183 . Руководство по ремонту 2630062 .

[1]

vтеСистолическая геометрия
1-систолы поверхностей	Неравенство тора Лёвнера Неравенство Пу Гипотеза области заполнения Поверхность Больца Систолы поверхностей Целые числа Эйзенштейна
1-систолы коллекторов	Систолическое неравенство Громова для существенных многообразий Основной коллектор Радиус заполнения Постоянная Эрмита
Высшие систолы	Неравенство Громова для комплексного проективного пространства Систолическая свобода Систолическая категория