Финслеровский коллектор

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален.
Найти источники: «Финслеровский коллектор» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( май 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В математике , в частности в дифференциальной геометрии , финслерово многообразие - это дифференцируемое многообразие $M,$ где (возможно, асимметричный ) функционал Минковского $F (x, -)$ предоставляется на каждом касательном пространстве $T x M$ , что позволяет определить длину любой гладкой кривой $γ : [a, b] \to M$ при

{\ Displaystyle L (\ gamma) = \ int _ {a} ^ {b} F (\ gamma (t), {\ dot {\ gamma}} (t)) \, \ mathrm {d} t.}

Финслеровы многообразия более общие, чем римановы многообразия, поскольку касательные нормы не обязательно индуцируются скалярными произведениями .

Каждое финслерово многообразие становится внутренним квазиметрическим пространством, когда расстояние между двумя точками определяется как нижняя граница соединяющих их кривых.

Эли Картан ( 1933 ) назвал финслеровы многообразия в честь Пола Финслера , изучавшего эту геометрию в своей диссертации ( Finsler 1918 ).

Определение [ править ]

Финслерово многообразие является дифференцируемым многообразием $М$ вместе с метрикой финслерово , которая является непрерывной неотрицательной функцией $Р : Т М \to [0, + \infty)$ , определенное на касательном расслоении так , что для каждой точку $х$ из $М$ ,

$F (v + w) \leq F (v) + F (w)$ для любых двух векторов $v, w,$ касательных к $M$ в $точке x$ ( субаддитивность ).
$F (λ v) = λ F (v)$ для всех $λ \geq 0$ (но не обязательно для $λ <0)$ ( положительная однородность ).
$F (v)> 0,$ если $v = 0$ ( положительная определенность ).

Другими словами, $F (х, -)$ является асимметричным нормой на каждом касательном пространстве $Т х М$ . Метрика Финслера $F$ также должна быть гладкой , точнее:

$F$ является гладким на дополнении нулевого сечения $Т М$ .

Тогда аксиому субаддитивности можно заменить следующим условием сильной выпуклости :

Для каждого касательного вектора $V \neq 0$ , то матрица Гесса из $F 2$ на $V$ является положительно определенной .

Здесь гессиан $F 2 в$ точке $v$ представляет собой симметричную билинейную форму

{\ displaystyle \ mathbf {g} _ {v} (X, Y): = {\ frac {1} {2}} \ left. {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial s \ partial t }} \ left [F (v + sX + tY) ^ {2} \ right] \ right | _ {s = t = 0},}

также известный как фундаментальный тензор из $F$ в $V$ . Сильная выпуклость предполагает полуаддитивность со строгим неравенством , если $у$ $/$ $F$ $($ $U$ $)$ $\neq$ $v$ $/$ $F$ $($ $v$ $)$ . Если $F$ сильно выпукло, то это норма Минковского на каждом касательном пространстве.

Метрика Финслера обратима, если, кроме того,

$F (- v) = F (v)$ для всех касательных векторов v .

Обратимая финслерова метрика определяет норму (в обычном смысле) на каждом касательном пространстве.

Примеры [ править ]

Гладкие подмногообразия (включая открытые подмножества) нормированного векторного пространства конечной размерности являются финслеровыми многообразиями, если норма векторного пространства гладкая вне начала координат.
Римановы многообразия (но не псевдоримановы многообразия ) являются частными случаями финслеровых многообразий.

Коллекторы Рандерса [ править ]

Пусть - риманово многообразие и b - дифференциальная одноформа на M с ${\ Displaystyle (М, а)}$

\|b\|_{a}:={\sqrt {a^{ij}b_{i}b_{j}}}<1,

где есть обратная матрица из и обозначений Эйнштейна используются. потом $(a^{ij})$ $(a_{ij})$

F(x,v):={\sqrt {a_{ij}(x)v^{i}v^{j}}}+b_{i}(x)v^{i}

определяет метрику Рандерса на M и является многообразием Рандерса , частным случаем необратимого финслерова многообразия. ^[1] $(M,F)$

Гладкие квазиметрические пространства [ править ]

Пусть ( М , д ) быть квазиметрикой так , что М является также дифференцируемым многообразием и d совместит с дифференциальной структурой из М в следующем смысле:

Вокруг любой точки z на M существует гладкая карта ( U , φ) M и константа C ≥ 1 такие, что для любых x , y ∈ U

{\frac {1}{C}}\|\phi (y)-\phi (x)\|\leq d(x,y)\leq C\|\phi (y)-\phi (x)\|.

Функция d : M × M → [0, ∞] является гладкой в некоторой проколотой окрестности диагонали.

Тогда можно определить функцию Финслера F : TM → [0, ∞] следующим образом:

F(x,v):=\lim _{t\to 0+}{\frac {d(\gamma (0),\gamma (t))}{t}},

где γ является любым кривым в М с Г (0) = х , и γ» (0) = v. Функции финслерово Р , полученный таким образом ограничивает к асимметричному ( как правило , не Минковский) нормам на каждом касательном пространстве М . Индуцированный внутренний метрика д _л : М × М → [0, ∞] оригинальной квазиметрика может быть извлечен из

d_{L}(x,y):=\inf \left\{\ \left.\int _{0}^{1}F(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))\,dt\ \right|\ \gamma \in C^{1}([0,1],M)\ ,\ \gamma (0)=x\ ,\ \gamma (1)=y\ \right\},

и фактически любая финслерова функция F : TM → [0, ∞) определяет внутреннюю квазиметрику d _L на M по этой формуле.

Геодезические [ править ]

Благодаря однородности F длина

L[\gamma ]:=\int _{a}^{b}F(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))\,dt

из дифференцируемого кривого Г : [ , Ь ] → M в M инвариантны относительно положительно ориентированные репараметризации . Кривая постоянной скорости γ является геодезической финслерова многообразия, если ее достаточно короткие отрезки γ | _[_c_,_d_] минимизируют длину в M от γ ( c ) до γ ( d ). Эквивалентно, γ является геодезической, если она стационарна для функционала энергии

E[\gamma ]:={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}F^{2}(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))\,dt

в том смысле, что его функциональная производная обращается в нуль среди дифференцируемых кривых γ : [ a , b ] → M с фиксированными концами γ ( a ) = x и γ ( b ) = y .

Каноническая структура струи на финслеровом коллекторе [ править ]

Уравнение Эйлера – Лагранжа для функционала энергии E [ γ ] читается в локальных координатах ( x ¹ , ..., x ⁿ , v ¹ , ..., v ⁿ ) TM как

g_{ik}{\Big (}\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t){\Big )}{\ddot {\gamma }}^{i}(t)+\left({\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{j}}}{\Big (}\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t){\Big )}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}{\Big (}\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t){\Big )}\right){\dot {\gamma }}^{i}(t){\dot {\gamma }}^{j}(t)=0,

где k = 1, ..., n и g _ij - координатное представление фундаментального тензора, определяемого как

g_{ij}(x,v):=g_{v}\left({\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}{\big |}_{x},{\tfrac {\partial }{\partial x^{j}}}{\big |}_{x}\right).

Предполагая , что сильную выпуклость из F ² ( х, у ) относительно V ∈ Т _х М , матрица г _IJ ( х , v ) обратим и обратный обозначается г ^IJ ( х , v ). Тогда γ : [ a , b ] → M является геодезической к ( M , F ) тогда и только тогда, когда ее касательная кривая γ ' : [ a , b ] → TM \ 0является интегральной кривой из гладкого векторного поля Н на ТМ \ 0 локально определяется

H|_{(x,v)}:=v^{i}{\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}{\big |}_{(x,v)}-\ 2G^{i}(x,v){\tfrac {\partial }{\partial v^{i}}}{\big |}_{(x,v)},

где местные коэффициенты распыления G ⁱ определяются выражением

G^{i}(x,v):={\frac {g^{ij}(x,v)}{4}}\left(2{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{\ell }}}(x,v)-{\frac {\partial g_{k\ell }}{\partial x^{j}}}(x,v)\right)v^{k}v^{\ell }.

Векторное поле H на TM / 0 удовлетворяет условию JH = V и [ V , H ] = H , где J и V - канонический эндоморфизм и каноническое векторное поле на TM \ 0. Следовательно, по определению, Н представляет собой спрей на М . Спрей H определяет нелинейную связь на пучке волокон TM \ 0 → M через вертикальную проекцию

v:T(TM\setminus 0)\to T(TM\setminus 0)\quad ;\quad v:={\tfrac {1}{2}}{\big (}I+{\mathcal {L}}_{H}J{\big )}.

По аналогии с римановым случаем существует версия

D_{\dot {\gamma }}D_{\dot {\gamma }}X(t)+R_{\dot {\gamma }}({\dot {\gamma }}(t),X(t))=0

из уравнения Якоби для общей структуры распыления ( М , Н ) в терминах кривизны Эресмана и нелинейной ковариантной производной .

Уникальность и минимизация свойств геодезических [ править ]

По теореме Хопфа – Ринова всегда существуют минимизирующие длину кривые (по крайней мере, в достаточно малых окрестностях) на ( M , F ). Кривые, минимизирующие длину, всегда можно положительно перепараметризовать, чтобы они были геодезическими, и любая геодезическая должна удовлетворять уравнению Эйлера – Лагранжа для E [ γ ]. В предположении сильной выпуклости F ² существует единственная максимальная геодезическая γ с γ (0) = x и γ ' (0) = v для любого ( x , v ) ∈ TM \ 0 в силу единственности интегральных кривых .

Если F ² сильно выпукло, геодезические γ : [0, b ] → M минимизируют длину среди ближайших кривых до тех пор, пока первая точка γ ( s ) не сопряжена с γ (0) вдоль γ , а при t > s всегда существуют более короткие кривые от γ (0) до γ ( t ) вблизи γ , как и в римановом случае.

Заметки [ править ]

Перейти ↑ Randers, G. (1941). «Об асимметричной метрике в четырехмерном пространстве общей теории относительности». Phys. Ред. 59 (2): 195–199. DOI : 10.1103 / PhysRev.59.195 . hdl : 10338.dmlcz / 134230 .

Ссылки [ править ]

Антонелли, Питер Л., изд. (2003), Справочник по финслеровой геометрии. Vol. 1, 2 , Бостон: Kluwer Academic Publishers, ISBN. 978-1-4020-1557-1, Руководство по ремонту 2067663
Бао, Дэвид; Черн, Шиинг-Шэнь ; Шен, Чжунминь (2000). Введение в геометрию Римана – Финслера . Тексты для выпускников по математике. 200 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-1268-3 . ISBN 0-387-98948-X. Руководство по ремонту 1747675 .
Картан Эли (1933), "Sur les espaces de Finsler", CR Acad. Sci. Париж , 196 : 582–586, Zbl 0006.22501
Черн, Шиинг-Шен (1996), «Финслерова геометрия - это просто риманова геометрия без квадратичного ограничения» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 43 (9): 959–63, MR 1400859
Финслерово, Пол (1918), Über Kurven унд Flächen в Allgemeinen Räumen , Диссертация, Геттингена, СУЛ 46.1131.02 (Перепечатано Биркхойзером (1951))
Рунд, Ханно (1959). Дифференциальная геометрия финслеровых пространств . Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 101 . Берлин – Геттинген – Гейдельберг: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-3-642-51610-8 . ISBN 978-3-642-51612-2. Руководство по ремонту 0105726 .
Шен, Чжунминь (2001). Лекции по финслеровой геометрии . Сингапур: World Scientific. DOI : 10,1142 / 4619 . ISBN 981-02-4531-9. Руководство по ремонту 1845637 .

Внешние ссылки [ править ]

«Обобщенное финслерово пространство» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
(Новый) информационный бюллетень Finsler

[1] Перейти ↑ Randers, G. (1941). «Об асимметричной метрике в четырехмерном пространстве общей теории относительности». Phys. Ред. 59 (2): 195–199. DOI : 10.1103 / PhysRev.59.195 . hdl : 10338.dmlcz / 134230 .