Асимметричная норма

В математике , асимметричная норма на векторном пространстве является обобщением понятия нормы .

Определение [ править ]

Асимметричная норма на реальном векторное пространстве V является функцией , которая обладает следующими свойствами:${\ displaystyle p: V \ to [0, + \ infty)}$

• Субаддитивность , или неравенство треугольника : р ( v  +  ш ) ≤  р ( v ) +  р ( ш ) на каждые два вектора V , W  ∈  V .
• Однородность : p ( λv ) =  λp ( v ) для любого вектора v  ∈  X и любого неотрицательного действительного числа λ  ≥ 0.
• Положительная определенность : p ( v )> 0, если v  = 0.

Асимметричные нормы отличаются от норм тем, что они не должны удовлетворять равенству p (- v ) =  p ( v ).

Если опустить условие положительной определенности, то p - асимметричная полунорма . Более слабым условием, чем положительная определенность, является невырожденность : при v  ≠ 0 хотя бы одно из двух чисел p ( v ) и p (- v ) не равно нулю.

Примеры [ править ]

• На вещественной прямой R функция p, заданная формулой

${\displaystyle p(x)={\begin{cases}|x|,&x\leq 0;\\2|x|,&x\geq 0;\end{cases}}}$

асимметричная норма, но не норма.

• В реальном векторном пространстве , то функционал Минковский из выпуклого подмножества , содержащее начало координат, определяются по формуле${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p_{B}}$${\displaystyle B\subseteq V}$

${\displaystyle p_{B}(v)=\inf \left\{r\geq 0:v\in rB\right\}\,}$ для ${\displaystyle v\in V}$

Этот функционал представляет собой асимметричную полунорму, если он является поглощающим множеством, что означает это и обеспечивает конечность каждого из них .${\displaystyle B}$${\displaystyle \textstyle {\bigcup _{r\geq 0}rB=V}}$${\displaystyle p(v)}$${\displaystyle v\in V}$

Соответствие асимметричных полунорм и выпуклых подмножеств двойственного пространства [ править ]

Если - выпуклое множество , содержащее начало координат, то асимметричная полунорма может быть определена на по формуле${\displaystyle B^{*}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \textstyle {p(v)=\max _{\varphi \in B^{*}}\langle \varphi ,v\rangle }}$.

Например, если это квадрат с вершинами , то это норма такси . Различные выпуклые множества дают разные полунормы, и каждая асимметричная полунорма на может быть получена из некоторого выпуклого множества, называемого двойственным единичным шаром . Следовательно, асимметричные полунормы находятся во взаимно однозначном соответствии с выпуклыми множествами, содержащими начало координат. Полунорма - это ${\displaystyle B^{*}\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle (\pm 1,\pm 1)}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle v=(v_{0},v_{1})\mapsto |v_{0}|+|v_{1}|}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle p}$

• положительно определенный тогда и только тогда, когда он содержит начало координат внутри ,${\displaystyle B^{*}}$
• вырождается тогда и только тогда, когда содержится в линейном подпространстве размерности меньше , и${\displaystyle B^{*}}$${\displaystyle n}$
• симметричный тогда и только тогда, когда .${\displaystyle B^{*}=-B^{*}}$

В более общем смысле, если является конечномерным вещественным векторным пространством и является компактным выпуклым подмножеством двойственного пространства , содержащего начало координат, то это асимметричная полунорма на .${\displaystyle V}$${\displaystyle B^{*}\subseteq V^{*}}$ ${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle \textstyle {p(v)=\max _{\varphi \in B^{*}}\varphi (v)}}$${\displaystyle V}$

Ссылки [ править ]

• Кобзаш, С. (2006). «Компактные операторы в пространствах с несимметричной нормой». Stud. Univ. Babeş-Bolyai Math . 51 (4): 69–87. ISSN  0252-1938 . Руководство по ремонту  2314639 .
• С. Кобзас, Функциональный анализ в асимметричных нормированных пространствах , Границы математики, Базель: Birkhäuser, 2013; ISBN 978-3-0348-0477-6 . 

Эта статья по линейной алгебре незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

• v
• t
• e