Интерьер (топология)
В математике , особенно в топологии , внутренность подмножества S топологического пространства X есть объединение всех подмножеств S , открытых в X. Точка, которая находится внутри S , является внутренней точкой S.
Внутренняя часть S является дополнением замыкания дополнения S . В этом смысле внутреннее и замкнутое — двойственные понятия.
Внешность множества S есть дополнение к замыканию S ; оно состоит из точек, не входящих ни в множество, ни в его границу . Внутренняя, граница и внешняя часть подмножества вместе делят все пространство на три блока (или меньше, если один или несколько из них пусты ). Внутреннее и внешнее всегда открыты , а граница всегда закрыта . Множества с пустой внутренней частью называются граничными множествами . [1]
Если S — подмножество евклидова пространства , то x — внутренняя точка S , если существует открытый шар с центром в x , полностью содержащийся в S. (Это проиллюстрировано во вводной части этой статьи.)
Это определение обобщается на любое подмножество S метрического пространства X с метрикой d : x является внутренней точкой S , если существует r > 0 , такое что y находится в S всякий раз, когда расстояние d ( x , y ) < r .
Это определение обобщается на топологические пространства путем замены «открытого шара» на « открытое множество ». Пусть S — подмножество топологического пространства X . Тогда x является внутренней точкой S , если x содержится в открытом подмножестве X , которое полностью содержится в S. (Эквивалентно, x является внутренней точкой S , если S является окрестностью x . )
