При математическом исследовании метрических пространств можно рассматривать длину дуги путей в пространстве. Если две точки находятся на заданном расстоянии друг от друга, естественно ожидать, что одна из них сможет добраться от первой точки до второй по пути, длина дуги которого равна (или очень близка) к этому расстоянию. Расстояние между двумя точками метрического пространства относительно внутренней метрики определяется как нижняя грань длин всех путей от первой точки до второй. Метрическое пространство - это метрическое пространство длины, если внутренняя метрика согласуется с исходной метрикой пространства.
Если пространство обладает более сильным свойством, заключающимся в том, что всегда существует путь, который достигает нижней грани длины ( геодезическая ), то его можно назвать геодезическим метрическим пространством или геодезическим пространством . Например, евклидова плоскость - это геодезическое пространство с линейными сегментами в качестве геодезических. Евклидова плоскость с удаленным началом координат не является геодезической, но по-прежнему является метрическим пространством длины.
Определения
Позволять - метрическое пространство , т. е. представляет собой набор точек (например, все точки на плоскости или все точки на окружности) и это функция, которая предоставляет нам расстояние между точками. Определяем новую метрику на , известная как индуцированная внутренняя метрика , как показано ниже:- точная нижняя грань длин всех путей из к .
Здесь путь от к это непрерывное отображение
с участием а также . Длина такого пути определяется как объяснено для спрямляемых кривых . Мы установили если нет пути конечной длины из к . Если
по всем пунктам а также в мы говорим, что - это пространство длины или метрическое пространство пути, а метрикаявляется внутренним .
Мы говорим, что метрика имеет приблизительные средние точки, если для любого и любая пара точек а также в Существует в такой, что а также оба меньше, чем
- .
Примеры
- Евклидово пространство с обычной евклидовой метрикой - метрическое пространство путей. тоже.
- Единичная окружность с метрикой, унаследованной от евклидовой метрики ( хордовая метрика ) не является метрическим пространством путей. Индуцированная внутренняя метрика наизмеряет расстояния как углы в радианах , и результирующее метрическое пространство длины называется римановой окружностью . В двух измерениях хордальная метрика на сфере не является внутренней, а индуцированная внутренняя метрика задается расстоянием по большому кругу .
- Каждое риманово многообразие можно превратить в метрическое пространство путей, определив расстояние между двумя точками как нижнюю грань длин непрерывно дифференцируемых кривых, соединяющих эти две точки. (Риманова структура позволяет определять длину таких кривых.) Аналогично, другие многообразия, в которых определена длина, включают финслеровы многообразия и субримановы многообразия .
- Любое полное и выпуклое метрическое пространство является метрическим пространством длины ( Khamsi & Kirk 2001 , теорема 2.16), результат Карла Менгера . Обратное, как правило, неверно: существуют невыпуклые метрические пространства длины.
Характеристики
- В общем, у нас есть и топология, определяемаяПоэтому всегда тоньше , чем или равна одной определенной.
- Космос всегда является метрическим пространством пути (с оговоркой, как упоминалось выше, что может быть бесконечным).
- Метрика пространства длины имеет приблизительные середины. И наоборот, каждое полное метрическое пространство с приблизительными серединами является пространством длины.
- Теорема Хопфа – Ринова утверждает, что если пространство длиныполно и локально компактно, то любые две точки изможно связать минимизирующей геодезической и всеми замкнутыми ограниченными множествами вявляются компактными .
Рекомендации
- Герберт Буземанн, Избранные произведения, (Атанас Пападопулос, ред.) Том I, 908 стр., Springer International Publishing, 2018.
- Герберт Буземанн, Избранные произведения, (Атанас Пападопулос, ред.) Том II, 842 стр., Springer International Publishing, 2018.
- Громов, Михаил (1999), Метрические структуры для римановых и неримановых пространств , Progress in Math., 152 , Birkhäuser, ISBN 0-8176-3898-9 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- Khamsi, Mohamed A .; Кирк, Уильям А. (2001), Введение в метрические пространства и теорию неподвижных точек , Wiley-IEEE, ISBN 0-471-41825-0 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )