Нэш теоремы вложения (или теоремы вложения ), названный в честь Нэш , утверждают , что каждое риманово многообразие может быть изометрически вложено в некоторое евклидово пространство . Изометрические означает сохранение длины каждого пути . Например, сгибание, но ни растяжение, ни разрыв страницы бумаги дает изометрическое вложение страницы в евклидово пространство, потому что кривые, нарисованные на странице, сохраняют ту же длину дуги, как бы ни была изогнута страница.
Первая теорема предназначена для непрерывно дифференцируемых ( C 1 ) вложений, а вторая - для аналитических вложений или вложений, гладких класса C k , 3 ≤ k ≤ ∞. Эти две теоремы сильно отличаются друг от друга. Первая теорема имеет очень простое доказательство, но приводит к некоторым парадоксальным выводам, в то время как вторая теорема имеет техническое и противоречащее интуиции доказательство, но приводит к менее удивительному результату.
Теорема C 1 была опубликована в 1954 г., C k -теорема - в 1956. Действительная аналитическая теорема впервые была рассмотрена Нэшем в 1966 г .; его аргумент был значительно упрощен Грином и Якобовицем (1971) . (Локальная версия этого результата была доказана Эли Картаном и Морисом Жане в 1920-х годах.) В вещественно-аналитическом случае сглаживающие операторы (см. Ниже) в аргументе обратной функции Нэша могут быть заменены оценками Коши. Доказательство Нэша случая C k было позже экстраполировано в h-принцип и теорему Нэша – Мозера о неявной функции . Более простое доказательство второй теоремы вложения Нэша было получено Гюнтером (1989), который свел множество нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных к эллиптической системе, к которой могла быть применена теорема сжимающего отображения .
Теорема Нэша-Койпер ( С 1 теорема вложения)
Теорема. Пусть ( M , g ) - риманово многообразие и ƒ: M m → R n - короткое C ∞ -вложение (или погружение ) в евклидово пространство R n , где n ≥ m +1. Тогда для произвольного ε> 0 существует вложение (или погружение) ε : M m → R n, которое
- в классе C 1 ,
- изометрический: для любых двух векторов v , w ∈ T x ( M ) в касательном пространстве в точке x ∈ M ,
- ,
- ε-близко к ƒ:
- .
В частности, как следует из теоремы вложения Уитни , любое m -мерное риманово многообразие допускает изометрическое C 1 -вложение в сколь угодно малую окрестность в 2 m -мерном евклидовом пространстве.
Теорема была первоначально доказана Джоном Нэшем с условием n ≥ m +2 вместо n ≥ m +1 и обобщена Николаасом Койпером с помощью относительно простой уловки.
Теорема имеет много противоречивых выводов. Например, следует , что любая замкнутой ориентированному риманов поверхность может быть С 1 изометрический вложено в сколь угодно малые е-шар в евклидове 3-пространстве (для небольшихтакого C 2 -вложения не существует, поскольку из формулы для кривизны Гаусса экстремальная точка такого вложения имела бы кривизну ≥ ε −2 ). И существует C 1 изометрических вложений гиперболической плоскости в R 3 .
C k теорема вложения
Техническое утверждение, появившееся в оригинальной статье Нэша, выглядит следующим образом: если M - данное m -мерное риманово многообразие (аналитическое или класса C k , 3 ≤ k ≤ ∞), то существует число n (при n ≤ m (3 m +11) / 2, если M - компактное многообразие, или n ≤ m ( m +1) (3 m +11) / 2, если M - некомпактное многообразие) и инъективное отображение ƒ: M → R n ( также аналитическое или класс C к ) такое , что для каждой точку р из М , то производная dƒ р является линейным отображением из касательного пространства Т р М к R н , который совместит с данным скалярным произведением на Т р М и стандарте скалярное произведение из R п в следующем смысле:
для всех векторов U , V в Т р М . Это неопределенная система дифференциальных уравнений в частных производных (PDE).
В более позднем разговоре с Робертом М. Соловеем Нэш упомянул об ошибке в исходном аргументе при выводе достаточного значения размерности пространства вложения для случая некомпактных многообразий.
Теорема вложения Нэша является глобальной теоремой в том смысле, что все многообразие вложено в R n . Локальная теорема вложения намного проще и может быть доказана с помощью теоремы о неявной функции расширенного исчисления в координатной окрестности многообразия. Доказательство глобальной теоремы вложения опирается на далеко идущее обобщение теоремы Нэша о неявной функции, теорему Нэша – Мозера и метод Ньютона с постобусловливанием. Основная идея решения Нэша проблемы погружения заключается в использовании метода Ньютона для доказательства существования решения указанной выше системы уравнений в частных производных. Стандартный метод Ньютона не сходится в применении к системе; Нэш использует операторы сглаживания, определенные сверткой, чтобы сделать итерацию Ньютона сходящейся: это метод Ньютона с посткондиционированием. Тот факт, что этот метод дает решение, сам по себе является теоремой существования и представляет самостоятельный интерес. Существует также более старый метод, называемый итерацией Канторовича, который напрямую использует метод Ньютона (без введения операторов сглаживания).
Рекомендации
- Грин, Роберт Э .; Якубовиц, Говард (1971), "Аналитическое изометрические вложения", Анналы математики , 93 (1): 189-204, DOI : 10,2307 / 1970760 , JSTOR 1970760 , МР 0283728
- Гюнтер, Маттиас (1989), "Цум Einbettungssatz фон Дж Нэш" [О теореме вложения Дж] Нэш, Mathematische Нахрихтна (на немецком языке ), 144 : 165-187, DOI : 10.1002 / mana.19891440113 , MR 1037168
- Койпер, Николаас Хендрик (1955), "О C 1 -изометрических вложений я.", Indagationes Mathematicae (Труды) , 58 : 545-556, DOI : 10.1016 / S1385-7258 (55) 50075-8 , МР 0075640
- Койпер, Николаас Хендрик (1955), "О C 1 -изометрических вложения II.", Indagationes Mathematicae (Труды) , 58 : 683-689, DOI : 10.1016 / S1385-7258 (55) 50093-X , МР 0075640
- Nash, Джон (1954), " С 1 -изометрических вложений", Анналы математики , 60 (3): 383-396, DOI : 10,2307 / 1969840 , JSTOR 1969840 , МР 0065993.
- Нэш, Джон (1956), "Задача погружения римановых многообразий", Анналы математики , 63 (1): 20-63, DOI : 10,2307 / 1969989 , JSTOR 1969989 , MR 0075639.
- Нэш, Джон (1966), "Аналитичность решений задачи неявной функции с аналитическими данными", Анналы математики , 84 (3): 345-355, DOI : 10,2307 / 1970448 , JSTOR 1970448 , МР 0205266.