В математике , то Банаха- Р. Каччиополи с фиксированной точкой теорема (также известный как теорема сжимающих отображений или теоремы сократительной отображения ) является важным инструментом в теории метрических пространств ; он гарантирует существование и уникальность неподвижных точек определенных отображений метрических пространств в себя и предоставляет конструктивный метод для поиска этих неподвижных точек. Его можно понимать как абстрактную формулировку метода последовательных приближений Пикара . [1] Теорема названа в честь Стефана Банаха (1892–1945) и Ренато Каччопполи.(1904–1959), и впервые была сформулирована Банахом в 1922 году. [2] [3] Каччопполи независимо доказал теорему в 1931 году. [4]
Заявление
Определение. Пусть ( X , d ) - полное метрическое пространство . Тогда отображение T : X → X называется сжимающим отображением на X, если существует q ∈ [0, 1) такое, что
для всех х , у в X .
Теорема Банаха о неподвижной точке. Пусть (Х, д) быть непустое полное метрическое пространство с сжимающее отображение T : X → X . Тогда T допускает единственную неподвижную точку x * в X (т.е. T ( x * ) = x * ). Кроме того, x * можно найти следующим образом: начните с произвольного элемента x 0 в X и определите последовательность { x n } как x n = T ( x n −1 ) для n ≥ 1. Тогда x n → x * .
Замечание 1. Следующие неравенства эквивалентны и описывают скорость сходимости :
Любое такое значение ц называется константой Липшица для Т , а наименьший один иногда называют «лучший константой Липшица» из Т .
Замечание 2. d ( T ( x ), T ( y )) < d ( x , y ) для всех x ≠ y, как правило, недостаточно для обеспечения существования неподвижной точки, как показано отображением T : [ 1, ∞) → [1, ∞), T ( x ) = x + 1 / x , в котором отсутствует неподвижная точка. Однако, если Х является компактным , то это слабее предположение действительно подразумевает существование и единственность неподвижной точки, которые могут быть легко найдены в минимизант г ( х , Т ( х )), на самом деле, минимизант существует по компактности и должна быть неподвижной точкой Т . Затем она легко следует , что неподвижная точка является пределом любой последовательности итераций T .
Замечание 3. При использовании теоремы на практике, самая трудная часть , как правило , определить X правильно , так что T ( X ) ⊆ X .
Доказательство
Пусть x 0 ∈ X произвольно, и определим последовательность { x n }, положив x n = T ( x n −1 ). Прежде всего отметим, что для всех n ∈ N выполняется неравенство
Это следует индукцией по n , используя тот факт, что T - сжимающее отображение. Тогда мы можем показать, что { x n } - последовательность Коши . В частности, пусть m , n ∈ N такие, что m > n :
Пусть ε> 0 произвольно, так как q ∈ [0, 1), мы можем найти такое большое N ∈ N, что
Следовательно, выбирая m и n больше N, мы можем написать:
Это доказывает, что последовательность { x n } является коши. По полноте ( X , д ), последовательность имеет предел х * ∈ X . Кроме того, х * должна быть фиксированная точка из Т :
Как сжимающее отображение, T непрерывно, поэтому введение предела внутрь T было оправдано. Наконец, T не может иметь более одной фиксированной точки в ( X , d ), поскольку любая пара различных фиксированных точек p 1 и p 2 противоречила бы сжатию T :
Приложения
- Стандартным приложением является доказательство теоремы Пикара – Линделёфа о существовании и единственности решений некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений . Искомое решение дифференциального уравнения выражается в виде неподвижной точки подходящего интегрального оператора, преобразующего непрерывные функции в непрерывные функции. Затем используется теорема Банаха о неподвижной точке, чтобы показать, что этот интегральный оператор имеет единственную неподвижную точку.
- Одним из следствий теоремы Банаха о неподвижной точке является то, что малые липшицевы возмущения тождества являются бипшицевыми гомеоморфизмами. Пусть Ω - открытое множество банахова пространства E ; пусть I : Ω → E обозначает тождественное отображение (включение), а g : Ω → E - липшицево отображение константы k <1. Тогда
- Ω ′: = ( I + g ) (Ω) - открытое подмножество E : в точности, для любого x в Ω такого, что B ( x , r ) ⊂ Ω, имеет место B (( I + g ) ( x ), r (1 - k )) ⊂ Ω ′;
- I + g : Ω → Ω ′ - билиппшицев гомеоморфизм;
- точно, ( I + g ) −1 по-прежнему имеет вид I + h : Ω → Ω ′ с h липшицевым отображением константы k / (1 - k ). Прямым следствием этого результата является доказательство теоремы об обратной функции .
- Его можно использовать для получения достаточных условий, при которых гарантированно работает метод последовательных приближений Ньютона, а также метод третьего порядка Чебышева.
- Его можно использовать для доказательства существования и единственности решений интегральных уравнений.
- Его можно использовать для доказательства теоремы вложения Нэша . [5]
- Его можно использовать для доказательства существования и уникальности решений для оценки итерации, итерации политики и оценки политики обучения с подкреплением . [6]
- Он может быть использован для доказательства существования и единственности равновесия в конкуренции Курно , [7] и другие экономические модели динамические. [8]
Конвертирует
Существует несколько обратных принципов банахова стягивания. Следующее принадлежит Чеславу Бессаге , 1959 г .:
Пусть f : X → X - отображение абстрактного множества, такое, что каждая итерация f n имеет единственную неподвижную точку. Пусть q ∈ (0, 1), тогда существует полная метрика на X такая, что f сжимающая, а q - сжимающая константа.
В самом деле, достаточно очень слабых предположений, чтобы получить такое обратное. Например , если F : X → X является отображением на Т 1 топологического пространства с уникальной неподвижной точке а , таким образом, что для каждого х в X мы имеем ф п ( х ) → , то есть уже существует метрика на X с относительно которого f удовлетворяет условиям банахова принципа сжатия с константой сжатия 1/2. [9] В этом случае метрика на самом деле ультраметрика .
Обобщения
Есть ряд обобщений (некоторые из которых являются непосредственными следствиями ). [10]
Пусть T : X → X - отображение на полном непустом метрическом пространстве. Тогда, например, некоторые обобщения теоремы Банаха о неподвижной точке:
- Предположим, что некоторая итерация T n из T является сжатием. Тогда T имеет единственную неподвижную точку.
- Предположим, что для каждого n существует c n такое, что d (T n (x), T n (y)) ≤ c n d (x, y) для всех x и y , и что
- Тогда T имеет единственную неподвижную точку.
В приложениях существование и единственность неподвижной точки часто можно показать непосредственно с помощью стандартной теоремы Банаха о неподвижной точке, путем подходящего выбора метрики, которая делает отображение T сжатием. Действительно, приведенный выше результат Бессаги настоятельно предлагает поискать такую метрику. См. Также статью о теоремах о неподвижной точке в бесконечномерных пространствах для обобщений.
Другой класс обобщений возникает из подходящих обобщений понятия метрического пространства , например, путем ослабления определяющих аксиом для понятия метрики. [11] Некоторые из них имеют приложения, например, в теории семантики программирования в теоретической информатике. [12]
Смотрите также
- Теорема Брауэра о неподвижной точке
- Теорема Каристи о неподвижной точке
- Картирование сокращения
- Принцип существования Фичеры
- Итерация с фиксированной точкой
- Теоремы о неподвижной точке
- Бесконечные композиции аналитических функций
- Теорема канторовича
Заметки
- ^ Киндерлерер, Дэвид ; Stampacchia, Гвидо (1980). «Вариационные неравенства в R N » . Введение в вариационные неравенства и их приложения . Нью-Йорк: Academic Press. С. 7–22. ISBN 0-12-407350-6.
- ^ Банах, Стефан (1922). "Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales" (PDF) . Fundamenta Mathematicae . 3 : 133–181. DOI : 10,4064 / фм-3-1-133-181 .
- ^ Цесельский, Кшиштоф (2007). «О Стефане Банахе и некоторых его результатах» (PDF) . Banach J. Math. Анальный . 1 (1): 1–10. DOI : 10.15352 / bjma / 1240321550 .
- ^ "Библиография Ренато Каччопполи" . Дата обращения 23 мая 2020 .
- ^ Гюнтер, Маттиас (1989). "Zum Einbettungssatz von J. Nash" [О теореме вложения Дж. Нэша]. Mathematische Nachrichten (на немецком языке). 144 : 165–187. DOI : 10.1002 / mana.19891440113 . Руководство по ремонту 1037168 .
- ^ Льюис, Фрэнк Л .; Врабие, Драгуна; Сирмос, Василис Л. (2012). «Обучение с подкреплением и оптимальное адаптивное управление» . Оптимальный контроль . Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. С. 461–517 [p. 474]. ISBN 978-1-118-12272-3.
- ^ Лонг, Нго Ван; Субейран, Антуан (2000). "Существование и единственность равновесия Курно: подход сопоставления сжатия" (PDF) . Письма по экономике . 67 (3): 345–348. DOI : 10.1016 / S0165-1765 (00) 00211-1 .
- ^ Стоки, Нэнси Л .; Лукас, Роберт Э. младший (1989). Рекурсивные методы в экономической динамике . Кембридж: Издательство Гарвардского университета. С. 508–516. ISBN 0-674-75096-9.
- ^ Хитцлер, Паскаль ; Седа, Энтони К. (2001). «Обратное к теореме Банаха о сжимающем отображении». Журнал электротехники . 52 (10 / с): 3–6.
- ^ Латиф, Абдул (2014). «Принцип банахового сжатия и его обобщения». Темы теории неподвижной точки . Springer. С. 33–64. DOI : 10.1007 / 978-3-319-01586-6_2 . ISBN 978-3-319-01585-9.
- ^ Хитцлер, Паскаль ; Седа, Энтони (2010). Математические аспекты семантики логического программирования . Чепмен и Холл / CRC. ISBN 978-1-4398-2961-5.
- ^ Седа, Энтони К .; Хитцлер, Паскаль (2010). «Обобщенные функции расстояния в теории вычислений». Компьютерный журнал . 53 (4): 443–464. DOI : 10.1093 / comjnl / bxm108 .
Рекомендации
- Агарвал, Правин; Джлели, Мохамед; Самет, Бессем (2018). «Принцип банахового сжатия и приложения». Теория неподвижной точки в метрических пространствах . Сингапур: Спрингер. С. 1–23. DOI : 10.1007 / 978-981-13-2913-5_1 . ISBN 978-981-13-2912-8.
- Чиконе, Кармен (2006). «Сжатие» . Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. С. 121–135. ISBN 0-387-30769-9.
- Гранас, Анджей; Дугунджи, Джеймс (2003). Теория неподвижной точки . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-00173-5.
- Истрэшеску, Василий И. (1981). Теория неподвижной точки: введение . Нидерланды: Д. Рейдел. ISBN 90-277-1224-7. См. Главу 7.
- Кирк, Уильям А .; Хамси, Мохамед А. (2001). Введение в метрические пространства и теорию неподвижной точки . Нью-Йорк: Джон Вили. ISBN 0-471-41825-0.
Эта статья включает материал из теоремы Банаха о фиксированной точке из PlanetMath , которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .