Полином ХОМФЛИ

В математической области теории узлов , в HOMFLY полиномиального или HOMFLYPT полинома , иногда называемой обобщенный полиномом Джонса , является 2-переменным узел многочлен , то есть инвариант узла в виде полинома переменных м и л .

Центральный вопрос математической теории узлов состоит в том, представляют ли две диаграммы узлов один и тот же узел. Одним из инструментов, используемых для ответа на такие вопросы, является многочлен узла, который вычисляется из диаграммы узла и может быть показан как инвариант узла , т. Е. Диаграммы, представляющие один и тот же узел, имеют один и тот же многочлен . Обратное не может быть правдой. HOMFLY многочлен является одним из таких инвариантных и обобщает полиномы ранее обнаружил, в многочлен Александра и полином Джонса , оба из которых могут быть получены с помощью соответствующих замен из HOMFLY. Полином ХОМФЛИ также является квантовым инвариантом .

Название HOMFLY сочетает в себе инициалы его соавторов: Джима Хоста , Адриана Окнеану , Кеннета Миллетта , Питера Дж. Фрейда , WBR Lickorish и Дэвида Н. Йеттера. ^[1] Добавление PT отмечает независимую работу, выполненную Юзефом Х. Пшитицким и Павлом Трачиком.

Определение [ править ]

Полином определяется с помощью соотношений мотков :

${\ Displaystyle P (\ mathrm {unknot}) = 1, \,}$

${\ Displaystyle \ ell P (L _ {+}) + \ ell ^ {- 1} P (L _ {-}) + mP (L_ {0}) = 0, \,}$

где - связи, образованные пересечением и сглаживанием изменений в локальной области диаграммы связей, как показано на рисунке. ${\ displaystyle L _ {+}, L _ {-}, L_ {0}}$

Многочлен ХОМФЛИ связи L, который представляет собой расщепленное объединение двух ссылок и задается формулой${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle L_{2}}$

${\displaystyle P(L)={\frac {-(\ell +\ell ^{-1})}{m}}P(L_{1})P(L_{2}).}$

См. Страницу о соотношении мотков, где приведен пример вычисления с использованием таких отношений.

Другие отношения мотков HOMFLY [ править ]

Этот многочлен можно получить также с помощью других соотношений мотков:

${\displaystyle \alpha P(L_{+})-\alpha ^{-1}P(L_{-})=zP(L_{0}),\,}$

${\displaystyle xP(L_{+})+yP(L_{-})+zP(L_{0})=0,\,}$

Основные свойства [ править ]

${\displaystyle P(L_{1}\#L_{2})=P(L_{1})P(L_{2}),\,}$, где # обозначает узловую сумму ; таким образом, полином ХОМФЛИ составного узла является произведением полиномов ХОМФЛИ его компонентов.

${\displaystyle P_{K}(\ell ,m)=P_{{\text{Mirror Image}}(K)}(\ell ^{-1},m),\,}$, поэтому полином ХОМФЛИ часто можно использовать для различения двух узлов разной киральности . Однако существуют киральные пары узлов, которые имеют один и тот же многочлен ХОМФЛИ, например, узлы 9 ₄₂ и 10 ₇₁ ^[2]

Многочлен Джонса V ( t ) и многочлен Александера могут быть вычислены в терминах многочлена ХОМФЛИ (версия в и переменных) следующим образом:${\displaystyle \Delta (t)\,}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle z}$

${\displaystyle V(t)=P(\alpha =t^{-1},z=t^{1/2}-t^{-1/2}),\,}$

${\displaystyle \Delta (t)=P(\alpha =1,z=t^{1/2}-t^{-1/2}),\,}$

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Кауфман, Л.Х. , "Формальная теория узлов", Princeton University Press, 1983.
• Ликориш, WBR "Введение в теорию узлов". Springer. ISBN 0-387-98254-X . 

Внешние ссылки [ править ]

• "Многочлен Джонса-Конвея" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Полином ХОМФЛИ» . MathWorld .
• " Полином HOMFLY-PT ", Атлас узлов .