В математике , то многочлены Холла-Литтлвуда являются симметричными функциями в зависимости от параметра т и разбиения Х. Это функции Шура, когда t равно 0, и мономиальные симметричные функции, когда t равно 1, и являются частными случаями многочленов Макдональда . Впервые они были определены косвенно Филипом Холлом с использованием алгебры Холла , а позже были определены непосредственно Дадли Э. Литтлвуд (1961).
Определение
Многочлен Холла – Литтлвуда P определяется равенством
где λ - разбиение не более n с элементами λ i и m ( i ) элементами, равными i , а S n - симметрическая группа порядка n !.
В качестве примера,
Специализации
У нас есть это , а также где последний - полиномы Шура P.
Характеристики
Разлагая многочлены Шура по многочленам Холла – Литтлвуда, имеем
где - многочлены Костки – Фоулкса . Обратите внимание, что как, они сводятся к обычным коэффициентам Костки.
Комбинаторное описание полиномов Костки – Фоулкса было дано Ласку и Шютценбергером:
где «заряд» - некоторая комбинаторная статистика на полустандартных таблицах Юнга, а сумма берется по всем полустандартным таблицам Юнга формы λ и типа μ .
Смотрите также
Рекомендации
- И.Г. Макдональд (1979). Симметричные функции и многочлены Холла . Издательство Оксфордского университета. С. 101–104. ISBN 0-19-853530-9.
- Д. Е. Литтлвуд (1961). «О некоторых симметричных функциях». Труды Лондонского математического общества . 43 : 485–498. DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s3-11.1.485 .