В математике многочлены Шура , названные в честь Исая Шура , представляют собой определенные симметричные многочлены от n переменных , индексированные разбиениями , которые обобщают элементарные симметричные многочлены и полные однородные симметричные многочлены . В теории представлений это характеры полиномиальных неприводимых представлений общих линейных групп . Полиномы Шура образуют линейный базисдля пространства всех симметричных многочленов. Любое произведение полиномов Шура может быть записано как линейная комбинация полиномов Шура с неотрицательными целыми коэффициентами; значения этих коэффициентов задаются комбинаторно правилом Литтлвуда-Ричардсона . В более общем смысле косые полиномы Шура связаны с парами разбиений и обладают свойствами, сходными с полиномами Шура.
Полиномы Шура индексируются целочисленными разбиениями . Для разбиения λ = ( λ 1 , λ 2 , …, λ n ) , где λ 1 ≥ λ 2 ≥ … ≥ λ n , и каждое λ j является неотрицательным целым числом, функции
являются знакопеременными полиномами по свойствам определителя . Многочлен является знакопеременным, если он меняет знак при любой перестановке переменных.
которая известна как биальтернантная формула Якоби. Это частный случай формулы характера Вейля .
Это симметричная функция, потому что числитель и знаменатель чередуются, и многочлен, поскольку все знакопеременные многочлены делятся на определитель Вандермонда.
Полиномы Шура степени d от n переменных являются линейным базисом для пространства однородных симметричных полиномов степени d от n переменных. Для разбиения λ = ( λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) многочлен Шура представляет собой сумму мономов,