Уравнение Хикса

В динамике жидкости , уравнении Hicks или иногда также называют также Брэгг-Hawthorne уравнения или уравнение Скюр-Long является частичным дифференциальным уравнением , которое описывает распределение функции тока для осесимметричной невязкой жидкости, названного в честь Уильяма Митчинсон Hicks , который вывел ее сначала в 1898 году. ^{[1] [2] [3]} Уравнение также было повторно выведено Стивеном Брэггом и Уильямом Хоторном в 1950 году, Робертом Р. Лонгом в 1953 году и Гербертом Сквайром в 1956 году. ^{[4] [5] [6]}Уравнение Хикса без закрутки было впервые введено Джорджем Габриэлем Стоксом в 1842 году. ^{[7] [8]} Уравнение Грэда – Шафранова, появляющееся в физике плазмы, также принимает ту же форму, что и уравнение Хикса.

Представленная в виде координат в смысле цилиндрической системы координат с соответствующими компонентами скорости потока, обозначенными как , функция тока , определяющая меридиональное движение, может быть определена как${\ Displaystyle (г, \ тета, г)}$${\ displaystyle (v_ {r}, v _ {\ theta}, v_ {z})}$${\ displaystyle \ psi}$

${\displaystyle rv_{r}=-{\frac {\partial \psi }{\partial z}},\quad rv_{z}={\frac {\partial \psi }{\partial r}}}$

которая автоматически удовлетворяет уравнению неразрывности для осесимметричных течений. Уравнение Хикса тогда дается ^[9]

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=r^{2}{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} \psi }}-\Gamma {\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }}}$

где

${\displaystyle H(\psi )={\frac {p}{\rho }}+{\frac {1}{2}}(v_{r}^{2}+v_{\theta }^{2}+v_{z}^{2}),\quad \Gamma (\psi )=rv_{\theta }}$

где - полный напор, см . принцип Бернулли . и - циркуляция , причем оба они сохраняются вдоль линий тока. Здесь - давление, - плотность жидкости. Функции и - известные функции, обычно предписываемые на одной из границ.${\displaystyle H(\psi )}$${\displaystyle 2\pi \Gamma }$${\displaystyle p}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle H(\psi )}$${\displaystyle \Gamma (\psi )}$

Вывод [ править ]

Рассмотрим осесимметричное течение в цилиндрической системе координат с составляющими скорости и составляющими завихренности . Поскольку в осесимметричных потоках компоненты завихренности равны ${\displaystyle (r,\theta ,z)}$${\displaystyle (v_{r},v_{\theta },v_{z})}$${\displaystyle (\omega _{r},\omega _{\theta },\omega _{z})}$${\displaystyle \partial /\partial \theta =0}$

${\displaystyle \omega _{r}=-{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial z}},\quad \omega _{\theta }={\frac {\partial v_{r}}{\partial z}}-{\frac {\partial v_{z}}{\partial r}},\quad \omega _{z}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial (rv_{\theta })}{\partial r}}}$.

Уравнение неразрывности позволяет определить такую ​​функцию тока , что${\displaystyle \psi (r,z)}$

${\displaystyle v_{r}=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial z}},\quad v_{z}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}}$

(Обратите внимание, что компоненты завихренности и связаны точно так же, как и связаны с ). Поэтому азимутальная составляющая завихренности становится${\displaystyle \omega _{r}}$${\displaystyle \omega _{z}}$${\displaystyle rv_{\theta }}$${\displaystyle v_{r}}$${\displaystyle v_{z}}$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \omega _{\theta }=-{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right).}$

Уравнения невязкого импульса , где - постоянная Бернулли, - это давление жидкости, а плотность жидкости, когда написано для осесимметричного поля потока, принимает вид${\displaystyle \partial {\boldsymbol {v}}/\partial t-{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {\omega }}=-\nabla H}$${\displaystyle H={\frac {1}{2}}(v_{r}^{2}+v_{\theta }^{2}+v_{z}^{2})+{\frac {p}{\rho }}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{\theta }\omega _{z}-v_{z}\omega _{\theta }-{\frac {\partial v_{r}}{\partial t}}&={\frac {\partial H}{\partial r}},\\v_{z}\omega _{r}-v_{r}\omega _{z}-{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial t}}&=0,\\v_{r}\omega _{\theta }-v_{\theta }\omega _{r}-{\frac {\partial v_{z}}{\partial t}}&={\frac {\partial H}{\partial z}}\end{aligned}}}$

в котором второе уравнение также может быть записано как , где - производная материала . Это означает, что циркуляция вокруг материальной кривой в форме круга с центром на оси - постоянна.${\displaystyle D(rv_{\theta })/Dt=0}$${\displaystyle D/Dt}$${\displaystyle 2\pi rv_{\theta }}$${\displaystyle z}$

Если движение жидкости устойчиво, частица жидкости движется по линии тока, другими словами, она движется по поверхности, задаваемой константой. Отсюда следует, что и , где . Следовательно, радиальная и азимутальная составляющие завихренности равны${\displaystyle \psi =}$${\displaystyle H=H(\psi )}$${\displaystyle \Gamma =\Gamma (\psi )}$${\displaystyle \Gamma =rv_{\theta }}$

${\displaystyle \omega _{r}=v_{r}{\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }},\quad \omega _{z}=v_{z}{\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }}}$.

Компоненты и локально параллельны. Вышеупомянутые выражения могут быть заменены уравнениями радиального или осевого импульса (после удаления члена производной по времени) для решения . Например, подстановка приведенного выше выражения для в уравнение осевого импульса приводит к ^[9]${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$${\displaystyle \omega _{\theta }}$${\displaystyle \omega _{r}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\omega _{\theta }}{r}}&={\frac {v_{\theta }\omega _{r}}{rv_{r}}}+{\frac {1}{rv_{r}}}{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} \psi }}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\\&={\frac {\Gamma }{r^{2}}}{\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }}-{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} \psi }}.\end{aligned}}}$

Но может быть выражено в терминах, как показано в начале этого вывода. Когда выражается через , мы получаем${\displaystyle \omega _{\theta }}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \omega _{\theta }}$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=r^{2}{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} \psi }}-\Gamma {\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }}.}$

Это завершает требуемый вывод.

Ссылки [ править ]