В теории групп теорема вложения Хигмана утверждает , что каждая конечно порожденная рекурсивно представленная группа R может быть вложена как подгруппа некоторой конечно представленной группы G. Это результат работы Грэма Хигмана 1960-х годов. [1]
С другой стороны, это простая теорема, что каждая конечно порожденная подгруппа конечно определенной группы рекурсивно представлена, поэтому рекурсивно определенные конечно порожденные группы являются (с точностью до изоморфизма) в точности конечно порожденными подгруппами конечно определенных групп.
Поскольку каждая счетная группа является подгруппой конечно порожденной группы, теорема может быть переформулирована для этих групп.
Как следствие , существует универсальная конечно определенная группа , содержащая все конечно определенные группы как подгруппы (с точностью до изоморфизма); на самом деле его конечно порожденные подгруппы — это в точности конечно порожденные рекурсивно представленные группы (опять же, с точностью до изоморфизма).
Из теоремы вложения Хигмана следует также теорема Новикова-Буна (первоначально доказанная в 1950-х годах другими методами) о существовании конечно представленной группы с алгоритмически неразрешимой проблемой слов . Действительно, довольно легко построить конечно порожденную рекурсивно представленную группу с неразрешимой проблемой слов. Тогда любая конечно определенная группа, содержащая эту группу в качестве подгруппы, также будет иметь неразрешимую проблему слов.
Обычное доказательство теоремы использует последовательность расширений HNN, начинающуюся с R и заканчивающуюся группой G , которая, как можно показать, имеет конечное представление. [2]