Гомоскедастичность

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Гомоскедастичность»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( октябрь 2011 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

График со случайными данными, показывающими гомоскедастичность: при каждом значении x значение y точек имеет примерно одинаковую дисперсию .

В статистике , А последовательность (или вектор) от случайных величин является гомоскедастичной ^[1] / ˌ ч oʊ м oʊ с к ə д æ ы т ɪ к / , если всей ее случайные величины имеют одинаковую конечную дисперсию . Это также известно как однородность дисперсии . Дополнительное понятие называется гетероскедастичностью . Правописание хомос к edasticity и heteros к edasticityтакже часто используются. ^[2]

Предполагая , что переменный являешься гомоскедастичным , когда на самом деле это гетероскедастическое / ˌ ч ɛ т ər oʊ ы к ə д æ ы т ɪ к / ) приводит к несмещенным но неэффективным точечным оценкам и в смещенных оценках стандартных ошибок, а также может привести к переоценке благость приступа , как измеряется коэффициентом Пирсона .

Предположения регрессионной модели [ править ]

Стандартное допущение в линейной регрессии , является то , что дисперсия термина возмущения одинакова для наблюдения, и , в частности , не зависит от значений объясняющих переменных ^[3] Это одно из предположений , при которых Гаусса-Маркова Теорема применима, и обычный метод наименьших квадратов (МНК) дает наилучшую линейную несмещенную оценку («СИНИЙ»). Гомоскедастичность не требуется для того, чтобы оценки коэффициентов были несмещенными, непротиворечивыми и асимптотически нормальными, но она необходима для эффективности МНК. ^[4]${\ displaystyle y_ {i} = X_ {i} \ beta + \ epsilon _ {i}, i = 1, \ ldots, N,}$${\displaystyle \epsilon _{i}}$${\displaystyle X_{i}.}$Также требуется, чтобы стандартные ошибки оценок были несмещенными и непротиворечивыми, поэтому это требуется для точной проверки гипотез, например, для t-критерия , существенно ли отличается от нуля коэффициент.

Более формальный способ сформулировать предположение о гомоскедастичности состоит в том, что диагонали матрицы дисперсии-ковариации должны иметь одно и то же число:, где одинаково для всех i . ^[5] Обратите внимание, что это по-прежнему позволяет недиагоналям, ковариациям , быть ненулевыми, что является отдельным нарушением предположений Гаусса-Маркова, известных как серийная корреляция.${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle E\epsilon _{i}\epsilon _{i}=\sigma ^{2}}$${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle E\epsilon _{i}\epsilon _{j}}$

Примеры [ править ]

Приведенные ниже матрицы представляют собой ковариации возмущения с записями , когда имеется всего три наблюдения во времени. Возмущение в матрице A гомоскедастично; это простой случай, когда OLS - лучшая линейная несмещенная оценка. Возмущения в матрицах B и C гетероскедастичны. В матрице B дисперсия изменяется во времени, неуклонно увеличиваясь во времени; в матрице C дисперсия зависит от значения x. Нарушение в матрице D гомоскедастично, потому что диагональные дисперсии постоянны, даже если недиагональные ковариации не равны нулю, а обычный метод наименьших квадратов неэффективен по другой причине: последовательная корреляция. ${\displaystyle E\epsilon _{i}\epsilon _{j}}$

${\displaystyle A=\sigma ^{2}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}\;\;\;\;\;\;\;B=\sigma ^{2}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\\\end{bmatrix}}\;\;\;\;\;\;\;C=\sigma ^{2}{\begin{bmatrix}x_{1}&0&0\\0&x_{2}&0\\0&0&x_{3}\\\end{bmatrix}}\;\;\;\;\;\;\;D=\sigma ^{2}{\begin{bmatrix}1&\rho &\rho ^{2}\\\rho &1&\rho \\\rho ^{2}&\rho &1\\\end{bmatrix}}}$

Если y - потребление, x - доход, и это прихоти потребителя, и мы оцениваем, тогда, если прихоти более богатых потребителей влияют на их расходы больше в абсолютных долларах, мы могли бы расти вместе с доходом, как в матрице C выше. ^[5]${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle y_{i}=\beta x_{i}+\epsilon _{i},}$${\displaystyle Var(\epsilon _{i})=x_{i}\sigma ^{2},}$

Тестирование [ править ]

Остаточные могут быть проверены на гомоскедастичности с использованием тест-Бреуша Pagan , ^[6] , который выполняет вспомогательную регрессию квадратов остатков на независимых переменных. Из этой вспомогательной регрессии сохраняется объясненная сумма квадратов, деленная на два, а затем становится тестовой статистикой для распределения хи-квадрат со степенями свободы, равными количеству независимых переменных. ^[7] Нулевая гипотеза этого критерия хи-квадрат - гомоскедастичность, а альтернативная гипотеза указывает на гетероскедастичность. Поскольку тест Бреуша – Пагана чувствителен к отклонениям от нормы или к малым размерам выборки, вместо него обычно используется тест Кенкера – Бассетта или «обобщенный тест Бреуша – Пагана». ^{[8] [требуется дополнительное цитирование ]}Из вспомогательной регрессии он сохраняет значение R-квадрата, которое затем умножается на размер выборки, а затем становится тестовой статистикой для распределения хи-квадрат (и использует те же степени свободы). Хотя это не обязательно для теста Кенкера – Бассетта, тест Бреуша – Пагана требует, чтобы квадраты остатков также были разделены на остаточную сумму квадратов, деленную на размер выборки. ^{[8] Для}проверки групповой гетероскедастичности требуетсятест Гольдфельда – Квандта. ^{[ необходима цитата ]}

Гомоскедастические распределения [ править ]

Два или более нормальные распределения , являются гомоскедастичными , если они имеют общую ковариацию (или корреляционные матрицы), . Гомоскедастические распределения особенно полезны для получения алгоритмов статистического распознавания образов и машинного обучения . Одним из популярных примеров алгоритма, предполагающего гомоскедастичность, является линейный дискриминантный анализ Фишера .${\displaystyle N(\mu _{i},\Sigma _{i})}$${\displaystyle \Sigma _{i}=\Sigma _{j},\ \forall i,j}$

Концепция гомоскедастичности применима к распределениям по сферам. ^[9]

См. Также [ править ]

• Тест Бартлетта
• Однородность (статистика)
• Неоднородность

Ссылки [ править ]