Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Гипервычисления или вычисления супер-Тьюринга относятся к моделям вычислений, которые могут предоставлять выходные данные, не вычисляемые по Тьюрингу . Например, машина, которая могла бы решить проблему остановки, была бы гиперкомпьютером; то же самое было бы с тем, кто может правильно оценить каждое утверждение в арифметике Пеано .

В тезис Черча-Тьюринга утверждает , что любая функция «вычислимой» , которая может быть вычислена по математике с ручкой и бумаги , используя ограниченный набор простых алгоритмов, могут быть вычислены с помощью машины Тьюринга. Гиперкомпьютеры вычисляют функции, которые машина Тьюринга не может вычислить и которые, следовательно, не вычислимы в смысле Чёрча – Тьюринга.

Технически результат случайной машины Тьюринга невозможно вычислить; однако большая часть литературы по гиперкомпьютерам сосредоточена на вычислении детерминированных, а не случайных невычислимых функций.

История [ править ]

Вычислительная модель, выходящая за рамки машин Тьюринга, была представлена Аланом Тьюрингом в его докторской диссертации 1938 года « Системы логики на основе порядковых чисел» . [1] В этой статье исследуются математические системы, в которых был доступен оракул , который мог вычислять одну произвольную (нерекурсивную) функцию от натуральных чисел до натуральных. Он использовал это устройство, чтобы доказать, что даже в этих более мощных системах неразрешимость все еще присутствует. Машины-оракулы Тьюринга - это математические абстракции, которые физически нереализуемы. [2]

Пространство состояний [ править ]

В каком-то смысле большинство функций невычислимы: есть вычислимые функции, но существует несчетное количество ( ) возможных функций Супер-Тьюринга. [3]

Модели [ править ]

Гиперкомпьютерные модели варьируются от полезных, но, вероятно, неосуществимых (таких как оригинальные машины-оракулы Тьюринга) до менее полезных генераторов случайных функций, которые более правдоподобно «реализуемы» (например, случайная машина Тьюринга ).

Невозможные входные данные или компоненты черного ящика [ править ]

Система предоставляется знание о невычислимом, пророческой константа хайтина (число с бесконечной последовательностью цифр , которые кодируют решение проблемы остановки) в качестве входного сигнала может решить большое количество полезных неразрешимых проблем; система, предоставившая невычислимый генератор случайных чисел в качестве входных данных, может создавать случайные невычислимые функции, но обычно считается, что она не способна осмысленно решать «полезные» невычислимые функции, такие как проблема остановки. Существует неограниченное количество возможных гиперкомпьютеров различных типов, в том числе:

  • Оригинальные машины-оракулы Тьюринга, определенные Тьюрингом в 1939 году.
  • Реальный компьютер (своего рода идеализированный аналоговый компьютер ) может выполнять сверхтьюринговые вычисления [4] , если физика допускает общие реальные переменные ( а не только вычислимых вещественных чисел ), и это в некотором роде «harnessable» за полезное (а не случайное) вычислений. Для этого могут потребоваться довольно странные законы физики (например, измеримая физическая константа с предсказуемым значением, такая как константа Чейтина ), а также потребуется способность измерять действительное физическое значение с произвольной точностью, хотя стандартная физика делает такие произвольные -точность измерений теоретически невозможна. [5]
    • Точно так же нейронная сеть, которая каким-то образом имела константу Чейтина, точно встроенную в ее весовую функцию, могла бы решить проблему остановки, [6] но подвержена тем же физическим трудностям, что и другие модели гипервычислений, основанные на реальных вычислениях.
  • Определенные основанные на нечеткой логике «нечеткие машины Тьюринга» по определению могут случайно решить проблему остановки, но только потому, что их способность решать проблему остановки косвенно предполагается в спецификации машины; это обычно рассматривается как «ошибка» в исходной спецификации машин. [7] [8]
    • Точно так же предложенная модель, известная как справедливый недетерминизм, может случайно позволить оракулу вычислять невычислимые функции, потому что некоторые такие системы, по определению, обладают способностью оракула определять отклоненные входные данные, которые «несправедливо» заставили бы подсистему работать вечно. [9] [10]
  • Дмитрий Тарановский предложил финитистическую модель традиционно нефинитистских ветвей анализа, построенную на машине Тьюринга, оснащенной быстрорастущей функцией в качестве своего оракула. С помощью этой и более сложных моделей он смог дать интерпретацию арифметики второго порядка. Эти модели требуют невычислимых входных данных, таких как физический процесс генерации событий, при котором интервал между событиями увеличивается с невычислимо большой скоростью. [11]
    • Точно так же одна неортодоксальная интерпретация модели неограниченного недетерминизма по определению постулирует, что продолжительность времени, необходимого «Актеру», чтобы успокоиться, принципиально неизвестна, и, следовательно, в рамках модели нельзя доказать, что для этого не требуется неисчислимо долгий период времени. [12]

Модели "бесконечных вычислительных шагов" [ править ]

Для правильной работы определенные вычисления на машинах ниже буквально требуют бесконечного, а не просто неограниченного, но конечного физического пространства и ресурсов; Напротив, в случае машины Тьюринга любое остановленное вычисление потребует лишь ограниченного физического пространства и ресурсов.

  • Машина Тьюринга, которая может выполнить бесконечно много шагов за конечное время - подвиг, известный как суперзадача . Недостаточно просто иметь возможность бегать неограниченное количество шагов. Одна из математических моделей - это машина Зенона (вдохновленная парадоксом Зенона ). Машина Зенона выполняет свой первый шаг вычислений (скажем) за 1 минуту, второй шаг за полминуты, третий шаг за минуты и т. Д. Суммируя 1 + ½ + + ... ( геометрический ряд) мы видим, что машина выполняет бесконечно много шагов всего за 2 минуты. Согласно Шагриру, машины Зенона вводят физические парадоксы, и их состояние логически не определено за пределами одностороннего открытого периода [0, 2), таким образом, не определено ровно через 2 минуты после начала вычислений. [13]
  • Кажется естественным, что возможность путешествий во времени (существование замкнутых времениподобных кривых (СТК)) сама по себе делает возможными гипервычисления. Однако это не так, поскольку CTC не обеспечивает (сам по себе) неограниченного объема памяти, который потребовался бы для бесконечных вычислений. Тем не менее, существуют пространства-времени, в которых область CTC может использоваться для релятивистских гиперкомпаний. [14] Согласно статье 1992 года [15] компьютер, работающий в пространстве-времени Маламента – Хогарта или на орбите вокруг вращающейся черной дыры [16], теоретически может выполнять нетьюринговые вычисления для наблюдателя внутри черной дыры. [17] [18]Доступ к CTC может позволить быстрое решение PSPACE-полных проблем, класса сложности, который, хотя и разрешается по Тьюрингу, обычно считается вычислительно трудноразрешимым. [19] [20]

Квантовые модели [ править ]

Некоторые ученые предполагают, что квантово-механическая система, которая каким-то образом использует бесконечную суперпозицию состояний, может вычислить невычислимую функцию . [21] Это невозможно с использованием стандартного квантового компьютера с кубитной моделью , поскольку доказано, что обычный квантовый компьютер является PSPACE-сокращаемым (квантовый компьютер, работающий за полиномиальное время, может быть смоделирован классическим компьютером, работающим в полиномиальном пространстве ). [22]

«В конечном итоге правильные» системы [ править ]

Некоторые физически реализуемые системы всегда в конечном итоге сходятся к правильному ответу, но имеют недостаток, заключающийся в том, что они часто выводят неправильный ответ и придерживаются неправильного ответа в течение неисчислимо большого периода времени, прежде чем в конечном итоге вернуться и исправить ошибку.

  • В середине 1960-х годов Э. Марк Голд и Хилари Патнэм независимо друг от друга предложили модели индуктивного вывода («предельно рекурсивные функционалы» [23] и «предикаты проб и ошибок» [24] соответственно). Эти модели позволяют использовать некоторые нерекурсивные наборы чисел или языков (включая все рекурсивно перечисляемыенаборы языков) быть «изученными в пределе»; тогда как, по определению, машина Тьюринга может идентифицировать только рекурсивные наборы чисел или языков. Хотя машина стабилизируется к правильному ответу на любом обучаемом наборе за некоторое конечное время, она может идентифицировать его как правильный только в том случае, если он рекурсивен; в противном случае правильность устанавливается, только если машина будет работать вечно и не будет пересматривать свой ответ. Патнэм определил эту новую интерпретацию как класс «эмпирических» предикатов, заявив: «если мы всегда« постулируем », что последний сгенерированный ответ верен, мы сделаем конечное количество ошибок, но в конечном итоге получим правильный ответ. (Обратите внимание, однако, что даже если мы получили правильный ответ (конец конечной последовательности), мы никогда не будем уверенычто у нас есть правильный ответ.) » [24] В статье Л.К. Шуберта 1974 года« Итерированная предельная рекурсия и проблема минимизации программ » [25] изучались эффекты итерации предельной процедуры; это позволяет вычислить любой арифметический предикат. Шуберт писал: «Интуитивно итеративная ограничивающая идентификация может рассматриваться как индуктивный вывод высшего порядка, выполняемый коллективно постоянно растущим сообществом индуктивных машин вывода низшего порядка».
  • Последовательность символов вычислима в пределе, если существует конечная, возможно, не останавливающаяся программа на универсальной машине Тьюринга, которая постепенно выводит каждый символ последовательности. Это включает диадическое расширение π и любого другого вычислимого вещественного числа , но по-прежнему исключает все невычислимые действительные числа. «Монотонные машины Тьюринга», традиционно используемые в теории размеров описания, не могут редактировать свои предыдущие результаты; обобщенные машины Тьюринга, как это определено Юргеном Шмидхубером, может. Он определяет конструктивно описываемые последовательности символов как те, которые имеют конечную, не останавливающуюся программу, работающую на обобщенной машине Тьюринга, так что любой выходной символ в конечном итоге сходится; то есть он больше не меняется после некоторого конечного начального интервала времени. Из-за ограничений, впервые продемонстрированных Куртом Гёделем (1931), может оказаться невозможным предсказать время сходимости с помощью программы остановки, иначе проблема остановки может быть решена. Шмидхубер ( [26] [27] ) использует этот подход для определения множества формально описываемых или конструктивно вычислимых вселенных или конструктивных теорий всего.. Обобщенные машины Тьюринга могут в конечном итоге прийти к правильному решению проблемы остановки путем оценки последовательности Спекера .

Анализ возможностей [ править ]

Многие предложения по гипервычислениям сводятся к альтернативным способам чтения функции оракула или совета, встроенной в классическую машину. Другие позволяют получить доступ к более высокому уровню арифметической иерархии . Например, сверхзадачные машины Тьюринга при обычных предположениях могут вычислить любой предикат в степени таблицы истинности, содержащий или . Предельная рекурсия, напротив, может вычислить любой предикат или функцию в соответствующей степени Тьюринга , что, как известно, есть . Далее Голд показал, что ограничение частичной рекурсии позволит вычислять именно предикаты.

МодельВычислимые предикатыПримечанияСсылки
сверхзадачаtt ( )зависит от стороннего наблюдателя[28]
ограничение / метод проб и ошибок[23]
повторное ограничение ( k раз)[25]
Машина Блюма – Шуба – Смейла.несравнимо с традиционными вычислимыми действительными функциями[29]
Пространство-время Маламента-ХогартаHYPзависит от структуры пространства-времени[30]
аналоговая рекуррентная нейронная сетьf - функция совета, дающая веса соединения; размер ограничен временем выполнения[31] [32]
бесконечное время машина ТьюрингаАрифметические квазииндуктивные множества[33]
классическая нечеткая машина Тьюрингадля любой вычислимой t-нормы[8]
увеличение функции оракуладля модели с одной последовательностью; ре[11]

Критика [ править ]

Мартин Дэвис в своих работах по гиперкомпьютерам [34] [35] называет этот предмет «мифом» и предлагает контраргументы против физической реализуемости гиперкомпьютеров. Что касается его теории, он выступает против утверждений о том, что это новая область, основанная в 1990-х годах. Эта точка зрения опирается на историю теории вычислимости (степени неразрешимости, вычислимость над функциями, действительными числами и порядковыми числами), как также упоминалось выше. В своем аргументе он делает замечание, что все гипервычисления - это не что иное, как: « если разрешены невычислимые входные данные, то невычислимые выходы достижимы » [36].

См. Также [ править ]

  • Вычисление
  • Цифровая физика
  • Сверхзадача

Ссылки [ править ]

  1. ↑ Алан Тьюринг, 1939, Системы логики, основанные на порядковых записях Лондонского математического общества, Тома 2–45, выпуск 1, стр. 161–228. [1]
  2. ^ «Предположим, что мы снабжены какими-то неопределенными средствами решения теоретико-числовых задач; своего рода оракулом. Мы не будем углубляться в природу этого оракула, кроме как заявить, что он не может быть машиной» (Неразрешимый стр. 167, перепечатка статьи Тьюринга « Системы логики, основанные на порядковых числах» )
  3. ^ Дж. Кабесса; HT Siegelmann (апрель 2012 г.). «Вычислительная мощность интерактивных рекуррентных нейронных сетей» (PDF) . Нейронные вычисления . 24 (4): 996–1019. CiteSeerX  10.1.1.411.7540 . DOI : 10.1162 / neco_a_00263 . PMID  22295978 .
  4. ^ Арнольд Шёнхаге , «О мощности машин с произвольным доступом», в Proc. Intl. Коллоквиум по автоматам, языкам и программированию (ICALP) , страницы 520–529, 1979. Источник цитирования: Скотт Ааронсон , «NP-полные проблемы и физическая реальность» [2] с. 12
  5. ^ Эндрю Ходжес. «Профессора и мозговые штурмы» . Домашняя страница Алана Тьюринга . Проверено 23 сентября 2011 года .
  6. ^ HT Siegelmann; ЭД Зонтаг (1994). «Аналоговые вычисления через нейронные сети». Теоретическая информатика . 131 (2): 331–360. DOI : 10.1016 / 0304-3975 (94) 90178-3 .
  7. ^ Biacino, L .; Герла, Г. (2002). «Нечеткая логика, преемственность и эффективность». Архив по математической логике . 41 (7): 643–667. CiteSeerX 10.1.1.2.8029 . DOI : 10.1007 / s001530100128 . ISSN 0933-5846 .  
  8. ^ a b Видерманн, Иржи (2004). «Описание вычислительной мощности супер-Тьюринга и эффективности классических нечетких машин Тьюринга» . Теор. Comput. Sci . 317 (1–3): 61–69. DOI : 10.1016 / j.tcs.2003.12.004 . Их (способность решать проблему остановки) обусловлена ​​их критерием приемлемости, в котором косвенно предполагается способность решить проблему остановки.
  9. ^ Эдит Спаан; Лин Торенвлит; Питер ван Эмде Боас (1989). «Недетерминизм, справедливость и фундаментальная аналогия». Бюллетень EATCS . 37 : 186–193.
  10. ^ Орд, Тоби. «Множество форм гиперкомпьютеров». Прикладная математика и вычисления 178.1 (2006): 143–153.
  11. ^ a b Дмитрий Тарановский (17 июля 2005 г.). «Конечность и гиперкомпьютинг» . Проверено 26 апреля 2011 года .
  12. ^ Хьюитт, Карл. «Что такое обязательство». Физическая, организационная и социальная (пересмотренная), координация, организации, учреждения и нормы в агентских системах II: AAMAS (2006).
  13. ^ Эти модели были независимо разработаны многими разными авторами, включая Германа Вейля (1927). Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft .; модель обсуждается в Shagrir, O. (июнь 2004 г.). «Сверхзадачи, ускоряющие машины Тьюринга и невычислимость» (PDF) . Теор. Comput. Sci . 317 (1–3): 105–114. DOI : 10.1016 / j.tcs.2003.12.007 . Архивировано из оригинального (PDF) 2007-07-09. , Петрус Х. Потгитер (июль 2006 г.). «Машины Зенона и гипервычисления». Теоретическая информатика . 358 (1): 23–33. arXiv : cs / 0412022 . DOI : 10.1016 / j.tcs.2005.11.040 .и Винсент К. Мюллер (2011). «О возможностях гиперкомпьютерных суперзадач» . Умы и машины . 21 (1): 83–96. CiteSeerX 10.1.1.225.3696 . DOI : 10.1007 / s11023-011-9222-6 . 
  14. ^ Хайнал Андрека , Иштван Немети и Гергели Секели, Замкнутые времениподобные кривые в параллельном процессе релятивистских вычислений . Lett. 22, 1240010 (2012). [3]
  15. ↑ Хогарт, М., 1992, «Позволяет ли общая теория относительности наблюдателю увидеть вечность за конечное время?», Foundations of Physics Letters, 5, 173–181.
  16. ^ Иштван Немети; Хайнал Андрека (2006). «Могут ли общие релятивистские компьютеры преодолеть барьер Тьюринга?». Логические подходы к вычислительным барьерам, Вторая конференция по вычислимости в Европе, CiE 2006, Суонси, Великобритания, 30 июня - 5 июля 2006 г. Труды . Конспект лекций по информатике. 3988 . Springer. DOI : 10.1007 / 11780342 . ISBN 978-3-540-35466-6.
  17. ^ Etesi Г., Nemeti И., 2002 'Non-Тьюринг вычисления через Malament-Hogarth пространства-времени', Int.J.Theor.Phys. 41 (2002) 341-370, Non-Тьюринг вычисление через Malament-Хогарт пространство-время: .
  18. ^ Earman, J. и Нортон, J., 1993, 'Навсегда является день: сверхзадачи в Pitowsky и Malament-Хогарт хронотопы', философии науки, 5, 22-42.
  19. ^ Тодд А. Брун, Компьютеры с замкнутыми времениподобными кривыми могут решать сложные задачи , Found.Phys.Lett. 16 (2003) 245–253. [4]
  20. ^ С. Ааронсон и Дж. Уотроус. Замкнутые времяподобные кривые делают квантовые и классические вычисления эквивалентными [5]
  21. ^ Были некоторые претензии по этому поводу; см. Tien Kieu (2003). «Квантовый алгоритм десятой проблемы Гильберта» . Int. J. Theor. Phys . 42 (7): 1461–1478. arXiv : квант-ph / 0110136 . DOI : 10,1023 / A: 1025780028846 .или М. Зиглер (2005). «Вычислительная мощность бесконечного квантового параллелизма». Международный журнал теоретической физики . 44 (11): 2059–2071. arXiv : квант-ph / 0410141 . Bibcode : 2005IJTP ... 44.2059Z . DOI : 10.1007 / s10773-005-8984-0 .и последующая литература. Для ответа см. Уоррен Д. Смит (2006). «Три контрпримера, опровергающие план Кье по« квантовому адиабатическому гипервычислению »; и некоторые невычислимые квантово-механические задачи». Прикладная математика и вычисления . 178 (1): 184–193. DOI : 10.1016 / j.amc.2005.09.078 ..
  22. ^ Бернштейн и Вазирани, Квантовая теория сложности, SIAM Journal on Computing , 26 (5): 1411–1473, 1997. [6]
  23. ^ а б Э. М. Голд (1965). «Предельная рекурсия». Журнал символической логики . 30 (1): 28–48. DOI : 10.2307 / 2270580 . JSTOR 2270580 . , Э. Марк Голд (1967). «Определение языка в пределе» . Информация и контроль . 10 (5): 447–474. DOI : 10.1016 / S0019-9958 (67) 91165-5 .
  24. ^ a b Хилари Патнэм (1965). «Предикаты проб и ошибок и решение проблемы Мостовски». Журнал символической логики . 30 (1): 49–57. DOI : 10.2307 / 2270581 . JSTOR 2270581 . 
  25. ^ а б Л. К. Шуберт (июль 1974 г.). «Итерированная предельная рекурсия и проблема минимизации программы». Журнал ACM . 21 (3): 436–445. DOI : 10.1145 / 321832.321841 .
  26. ↑ Юрген Шмидхубер (2000). «Алгоритмические теории всего». Разделы в: Иерархии обобщенных колмогоровских сложностей и неисчислимые универсальные меры, вычислимые в пределе. Международный журнал основ информатики 13 (4): 587-612. Раздел 6 в: The Speed ​​Prior: Новая мера простоты, дающая почти оптимальные вычислимые прогнозы. В J. Kivinen и RH Sloan, Editors, Proceedings of the 15th Annual Conference on Computational Learning Theory (COLT), Sydney, Australia, Lecture Notes in Artificial Intelligence, Pages 216–228. Springer, . 13 (4): 1–5. arXiv : квант-ph / 0011122 . Bibcode : 2000quant.ph.11122S .
  27. ^ J. Schmidhuber (2002). «Иерархии обобщенных колмогоровских сложностей и неисчислимые универсальные меры, вычислимые в пределе» . Международный журнал основ компьютерных наук . 13 (4): 587–612. Bibcode : 2000quant.ph.11122S . DOI : 10.1142 / S0129054102001291 .
  28. ↑ Петрус Х. Потгитер (июль 2006 г.). «Машины Зенона и гипервычисления». Теоретическая информатика . 358 (1): 23–33. arXiv : cs / 0412022 . DOI : 10.1016 / j.tcs.2005.11.040 .
  29. ^ Ленор Блюм , Фелипе Кукер, Майкл Шуб и Стивен Смейл (1998). Сложность и реальные вычисления . ISBN 978-0-387-98281-6.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  30. ^ PD Welch (2008). «Степень вычислений в пространстве-времени Маламента-Хогарта». Британский журнал философии науки . 59 (4): 659–674. arXiv : gr-qc / 0609035 . DOI : 10.1093 / bjps / axn031 .
  31. ^ HT Siegelmann (апрель 1995). «Вычисления за пределом Тьюринга» (PDF) . Наука . 268 (5210): 545–548. Bibcode : 1995Sci ... 268..545S . DOI : 10.1126 / science.268.5210.545 . PMID 17756722 .  
  32. ^ Хава Зигельманн ; Эдуардо Зонтаг (1994). «Аналоговые вычисления через нейронные сети». Теоретическая информатика . 131 (2): 331–360. DOI : 10.1016 / 0304-3975 (94) 90178-3 .
  33. ^ PD Welch (2009). «Характеристики дискретных моделей машины Тьюринга с трансфинитным временем: времена остановки, времена стабилизации и теоремы нормальной формы». Теоретическая информатика . 410 (4–5): 426–442. DOI : 10.1016 / j.tcs.2008.09.050 .
  34. ^ Дэвис, Мартин (2006). «Почему нет такой дисциплины, как гипервычисления». Прикладная математика и вычисления . 178 (1): 4–7. DOI : 10.1016 / j.amc.2005.09.066 .
  35. ^ Дэвис, Мартин (2004). «Миф о гиперкомпьютерах». Алан Тьюринг: жизнь и наследие великого мыслителя . Springer.
  36. ↑ Мартин Дэвис (январь 2003 г.). «Миф о гиперкомпьютерах». В Александре Шлапентох (ред.). Мини-семинар: Десятая проблема Гильберта, гипотеза Мазура и последовательности делимости (PDF) . Отчет МФО. 3 . Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach. п. 2.

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Марио Антуан Аун, « Достижения в трех моделях гипервычислений », (2016)
  • Л. Блюм, Ф. Кукер, М. Шуб, С. Смейл, Сложность и реальные вычисления , Springer-Verlag 1997. Общее развитие теории сложности для абстрактных машин, которые вычисляют действительные числа вместо битов.
  • Бургин, М.С. (1983) Индуктивные машины Тьюринга, Извещения Академии наук СССР , т. 270, № 6, с. 1289–1293.
  • Кейт Дуглас. Вычисления Супер-Тьюринга: анализ конкретного случая ( PDF ), докторская диссертация, Университет Карнеги-Меллона, 2003.
  • Марк Бургин (2005), Суперрекурсивные алгоритмы , Монографии по информатике, Springer. ISBN 0-387-95569-0 
  • Кокшотт П. и Майклсон Г. Существуют ли новые модели вычислений? Ответ Вегнеру и Эбербаху, Компьютерный журнал , 2007 г.
  • Купер, С.Б. (2006). «Определимость как гиперкомпьютерный эффект» (PDF) . Прикладная математика и вычисления . 178 : 72–82. CiteSeerX  10.1.1.65.4088 . DOI : 10.1016 / j.amc.2005.09.072 . Архивировано из оригинального (PDF) 24 июля 2011 года . Проверено 16 июня 2011 .
  • Купер, SB; Одифредди, П. (2003). «Невычислимость в природе» (PDF) . В SB Cooper; С.С. Гончаров (ред.). Вычислимость и модели: перспективы Востока и Запада . Издательство Пленума, Нью-Йорк, Бостон, Дордрехт, Лондон, Москва. С. 137–160.
  • Коупленд, Дж. (2002) Гипервычисления , Умы и машины, т. 12, стр. 461–502.
  • Дэвис, Мартин (2006), « Тезис Чёрча-Тьюринга: консенсус и оппозиция ». Труды, Вычислимость в Европе, 2006. Запрошенный URL /~simon/TEACH/28000/DavisUniversal.pdf не найден на этом сервере. Конспект лекций по информатике, 3988 с. 125–132
  • Хагар А., Королев А. Квантовые гиперкомпьютеры - обман или вычисления? , (2007)
  • Мюллер, Винсент К. (2011). «О возможностях гиперкомпьютерных суперзадач» . Умы и машины . 21 (1): 83–96. CiteSeerX  10.1.1.225.3696 . DOI : 10.1007 / s11023-011-9222-6 .
  • Орд, Тоби. Гипервычисления: Вычислить больше, чем может вычислить машина Тьюринга : обзорная статья о различных формах гипервычислений.
  • Пиччинини , Гуальтьеро : вычисления в физических системах
  • Пуц, Фолькмар и Карл Свозил, Можно ли « заставить» компьютер работать со скоростью быстрее скорости света? , (2010)
  • Роджерс, Х. (1987) Теория рекурсивных функций и эффективной вычислимости, MIT Press, Кембридж, Массачусетс
  • Майк Стэннетт, Майк (1990). «Х-машины и проблема остановки: создание супер-машины Тьюринга». Формальные аспекты вычислений . 2 (1): 331–341. DOI : 10.1007 / BF01888233 .
  • Майк Стэннетт , Случай гиперкомпьютера , Прикладная математика и вычисления, Том 178, выпуск 1, 1 июля 2006 г., страницы 8–24, специальный выпуск о гиперкомпьютерах
  • Сиропулос, Апостолос (2008), Гипервычисления: Вычисления за пределами барьера Черча – Тьюринга ( предварительный просмотр ), Springer. ISBN 978-0-387-30886-9 
  • Тьюринг, Алан (1939). «Логические системы на основе ординалов». Труды Лондонского математического общества . 45 : 161–228. DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s2-45.1.161 . ЛВП : 21,11116 / 0000-0001-91CE-3 .

Внешние ссылки [ править ]

  • Сеть исследований гиперкомпьютеров