В математике , и в частности в теории гомотопий , гиперпокрытие (или гиперпокрытие) - это симплициальный объект, который обобщает чешский нерв покрытия . Для чешского нерва открытой крышки, можно показать, что если пространство компактно, и если каждое пересечение открытых множеств в покрытии стягиваемо, то можно сжать эти множества и получить симплициальное множество, слабо эквивалентное естественным образом. Для эталонной топологии и других сайтов эти условия не выполняются. Идея гиперпокрытия состоит в том, чтобы вместо того, чтобы работать только с-кратные пересечения множеств заданного открытого покрытия , чтобы допускать попарные пересечения множеств в быть закрытым открытой крышкой , и позволить тройным пересечениям этого покрытия накрыть еще одно открытое покрытие и так далее, итеративно. Гиперпокрытия играют центральную роль в этальной гомотопии и других областях, где теория гомотопий применяется к алгебраической геометрии , таких как теория мотивной гомотопии .
Формальное определение
Первоначальное определение дано для этальной когомологий от Жан-Луи Вердье в SGA4 , Разоблачи V, гл. 7, чт. 7.4.1 для вычисления когомологий пучков в произвольных топологиях Гротендика. Для эталонного сайта определение следующее:
Позволять быть схему и рассмотрим категорию схем Этальные над. Hypercover является симплициальным объектом этой категории такая, что является этальной обложкой и такой, что этальная обложка для каждого .
Здесь, предел диаграммы, имеющей одну копию для каждого -мерная грань эталона -симплекс (для ) и один морфизм для каждого включения граней. Морфизмы задаются граничными отображениями симплициального объекта.
Характеристики
Теорема Вердье о гиперпокрытии утверждает, что когомологии абелевых пучков этального пучка могут быть вычислены как копредел когомологий коцепей по всем гиперпокрытиям.
Для локальной нётеровой схемы , категория гиперпокрытий по модулю симплициальной гомотопии кофильтрирует и, таким образом, дает про-объект в гомотопической категории симплициальных множеств. Геометрическая реализация этого - гомотопический тип Артина-Мазура . Обобщение Э. Фридлендера, использующее бисимплициальные гиперпокрытия симплициальных схем, называется этальным топологическим типом.
Рекомендации
- Артин, Майкл; Мазур, Барри (1969). Etale гомотопия . Springer.
- Фридлендер, Эрик (1982). Этальная гомотопия симплициальных схем . Анналы математических исследований, ПУП.
- Конспект лекций Дж. Куика « Этальная гомотопическая лекция 2 ».
- Гиперпокрытие в nLab