Гипотеза

Гипотензия - это математическая функция, предназначенная для вычисления длины гипотенузы прямоугольного треугольника. Он был разработан, чтобы избежать ошибок, возникающих из-за вычислений с ограниченной точностью, выполняемых на компьютерах.

Мотивация и использование [ править ]

Вычислить длину гипотенузы треугольника можно с помощью функции извлечения квадратного корня из суммы двух квадратов, но гипотеза ( x ,  y ) позволяет избежать проблем, возникающих при возведении в квадрат очень больших или очень малых чисел.

Величину гипотенузы от (0, 0) до ( x ,  y ) можно вычислить с помощью

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$

Эта операция также известна как сложение Пифагора .

Тем не менее, квадраты очень больших или малых значений х и у могут превышать диапазон машинной точности при расчете на компьютере, что приводит к неверному результату , вызванной арифметической сгущенного и / или арифметического переполнения . Функция гипотезы была разработана, чтобы вычислить результат, не вызывая этой проблемы.

Функция гипотезы часто используется вместе с функцией atan2 для преобразования декартовых координат в полярные координаты :

г = гипотеза ( х ,  у ),

θ = atan2 ( y ,  x ).

Если любой вход бесконечен, результат будет бесконечным, т. Е.

гипотеза ( x , ± ∞) = гипотеза (± ∞, x ) = + ∞

Поскольку это верно для всех возможных значений х , в том числе бесконечности, IEEE 754 стандарт с плавающей точкой требует , чтобы это определение также применимо , если х это не является числом (NaN). ^[1]

Реализация [ править ]

Сложность наивной реализации состоит в том, что x ² или y ² могут быть переполнены или не заполнены, если промежуточный результат не вычислен с повышенной точностью . Распространенным методом реализации является при необходимости обмен значениями, чтобы | х | ≥ | y |, а затем использовать эквивалентную форму ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\&={\sqrt {x^{2}\left(1+\left({\tfrac {y}{x}}\right)^{2}\right)}}\\&=|x|{\sqrt {1+\left({\tfrac {y}{x}}\right)^{2}}}\left(=|x|+{\frac {y}{|x|}}{\frac {y}{1+{\sqrt {1+\left({\tfrac {y}{x}}\right)^{2}}}}}\right).\end{aligned}}}$

Вычисление y / x не может быть переполнено, если оба x и y не равны 0. Если y / x не переполняется , окончательный результат будет равен | x |, что верно в пределах точности вычисления. Квадратный корень вычисляется из значения от 1 до 2. Наконец, умножение на | х | не может быть недостаточным и переполняется только тогда, когда результат слишком велик для представления.

У этой реализации есть обратная сторона: требуется дополнительное деление с плавающей запятой, что может удвоить стоимость наивной реализации, поскольку умножение и сложение обычно намного быстрее, чем деление и извлечение квадратного корня.

Более сложные реализации избегают этого, разделяя входные данные на большее количество случаев:

• x ≫ y : гипотеза ( x , y ) = | x | с точностью до машинной точности .
• x ² переполнения: умножьте и x, и y на небольшой коэффициент масштабирования (например, 2 ⁻⁶⁴ для одинарной точности IEEE), используйте наивный алгоритм, который теперь не будет переполняться, и умножьте результат на (большой) обратный (например, 2 ⁶⁴ ) .
• y ² потери значимости: То же, что и выше, но измените коэффициенты масштабирования для увеличения промежуточных значений.
• В противном случае: использование наивного алгоритма безопасно.

Дополнительные методы позволяют вычислить результат более точно, например, до менее одного ulp . ^[3]

Поддержка языков программирования [ править ]

Функция присутствует на нескольких языках программирования:

• C99
• CSS ^[4]
• C ++ 11 ^[5]
• D (язык программирования) ^[6]
• Фортран 2008
• Юлия (язык программирования) ^[7]
• Swift (язык программирования)
• Python (язык программирования) ^[8]
• Числовые значения PowerPC от Apple ^[9]
• MATLAB ^[10]
• Паскаль ^[11]
• PHP ^[12]
• Java (язык программирования) (начиная с версии 1.5) ^[13]
• Котлин ^[14]
• Рубин ^[15]
• Вперед ^[16]
• Ржавчина ^[17]
• JavaScript (с ES2015) ^[18]
• Некоторые библиотеки C90 и C ++ предоставляют функцию гипотез. ^{[19] [20] [21]}
• Скала ^[22]

См. Также [ править ]

• Алгоритм Alpha max плюс beta min , более быстрый алгоритм, дающий приблизительный результат

Ссылки [ править ]