Ограничение ниже и ограничение выше

В математике нижний предел и верхний предел последовательности можно рассматривать как предельные (то есть возможные и крайние) границы последовательности . Их можно рассматривать аналогичным образом для функции (см. Предел функции ). Для набора они являются инфимумом и супремумом предельных точек набора., соответственно. В общем, когда есть несколько объектов, вокруг которых накапливается последовательность, функция или набор, нижний и верхний пределы извлекают наименьший и наибольший из них; тип объекта и мера размера зависят от контекста, но понятие крайних пределов остается инвариантным. Нижний предел также называют пределом инфимума , пределом инфимума , лиминфом , нижним пределом , нижним пределом или внутренним пределом ; верхний предел также известен как верхний предел , верхний предел , верхний предел , предельный предел , верхний предел или внешний предел .

Нижний предел последовательности обозначается${\ Displaystyle х_ {п}}$

В качестве альтернативы иногда используются обозначения и .${\ displaystyle \ varliminf _ {n \ to \ infty} x_ {n}: = \ liminf _ {n \ to \ infty} x_ {n}}$${\ displaystyle \ varlimsup _ {n \ to \ infty} x_ {n}: = \ limsup _ {n \ to \ infty} x_ {n}}$

Верхний и нижний пределы могут быть эквивалентно определены с использованием концепции последовательных пределов последовательности . ^[1] Элемент расширенных действительных чисел является секвенциальным пределом , если существует строго возрастающая последовательность натуральных чисел такая, что . Если множество всех последовательных пределов , то ${\ Displaystyle (х_ {п})}$${\ Displaystyle \ хи}$${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$${\ Displaystyle (х_ {п})}$${\ Displaystyle (п_ {к})}$${\ displaystyle \ xi = \ lim _ {k \ to \ infty} x_ {n_ {k}}}$${\ displaystyle E \ subseteq {\ overline {\ mathbb {R}}}}$${\ Displaystyle (х_ {п})}$

Иллюстрация верхнего предела и нижнего предела. Последовательность x _n показана синим цветом. Две красные кривые приближаются к верхнему и нижнему пределу x _n , показанным пунктирными черными линиями. В этом случае последовательность накапливается вокруг двух пределов. Верхний предел — это больший из двух, а нижний предел — меньший из двух. Нижний и верхний пределы согласуются тогда и только тогда, когда последовательность сходится (т. е. когда существует единственный предел).

В случае, если последовательность ограничена, для всех почти все члены последовательности лежат в открытом интервале${\ Displaystyle \ эпсилон > 0}$${\ displaystyle (\ liminf _ {n \ to \ infty} x_ {n} - \ epsilon, \ limsup _ {n \ to \ infty} x_ {n} + \ epsilon).}$