Внутренняя форма

В математике внутренняя форма из алгебраической группы над полем является еще одной алгебраической группой таким образом, что существует изоморфизм между и определенно над (это означает , что является -формой из ) и, кроме того, для каждого автоморфизма Галуа автоморфизма является внутренним автоморфизм из (т.е. сопряжения элемента ). ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle {\ overline {K}}}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle \ sigma \ in \ mathrm {Gal} ({\ overline {K}} / K)}$ ${\ Displaystyle \ phi ^ {- 1} \ circ \ phi ^ {\ sigma}}$ ${\ Displaystyle G ({\ overline {K}})}$ ${\ Displaystyle G ({\ overline {K}})}$

Через соответствие между -формами и когомологиями Галуа это означает, что это связано с элементом подмножества, где - подгруппа внутренних автоморфизмов . ${\ displaystyle K}$ ${\ Displaystyle Н ^ {1} (\ mathrm {Gal} ({\ overline {K}} / K), \ mathrm {Inn} (G))}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ Displaystyle Н ^ {1} (\ mathrm {Gal} ({\ overline {K}} / K), \ mathrm {Inn} (G))}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {Inn} (G)}$ ${\ displaystyle G}$

Быть внутренними формами друг друга - это отношение эквивалентности на множестве -форм данной алгебраической группы. ${\ displaystyle K}$

Форма, которая не является внутренней, называется внешней формой . На практике, чтобы проверить группой является ли внутренней или наружной формой выглядит при действии группы Галуа на диаграмму Дынкина из (вызванной его действия на , который сохраняет любой тор и , следовательно , действует на корнях). Две группы являются внутренними формами друг друга тогда и только тогда, когда действия, которые они определяют, одинаковы. ${\ Displaystyle \ mathrm {Gal} ({\ overline {K}} / K)}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ Displaystyle G ({\ overline {K}})}$

Например, -формы являются самими собой и унитарными группами и . Последние два являются внешними формами и внутренними формами друг друга. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {SL} _ {3} (\ mathbb {R})}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {SU} (2,1)}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {SU} (3)}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {SL} _ {3} (\ mathbb {R})}$

использованная литература

Титс, Жак (1966), "Классификация алгебраических полупростых групп", в Бореле, Арманд ; Мостоу, Джордж Д. (ред.), Алгебраические группы и разрывные подгруппы (Proc. Sympos. Pure Math., Boulder, Colo., 1965) , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 33–62, ISBN 978-0-8218-1409-3, MR 0224710

Эта статья по абстрактной алгебре незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .