Взвешивание обратной вероятности

Обратное вероятностное взвешивание - это статистический метод расчета статистики, стандартизированной для псевдопопуляции, отличной от той, в которой были собраны данные. Часто применяются планы исследований с разрозненной выборкой и популяцией целевой группы (целевая группа). ^[1] Могут существовать запретительные факторы, не позволяющие исследователям напрямую брать образцы из целевой группы, такие как стоимость, время или этические соображения. ^[2] Решение этой проблемы состоит в использовании альтернативной стратегии проектирования, например, стратифицированной выборки . Взвешивание при правильном применении потенциально может повысить эффективность и уменьшить смещение невзвешенных оценок.

Одна очень ранняя взвешенная оценка - это оценка среднего значения Хорвица – Томпсона . ^[3] Если известна вероятность выборки , из которой выборочная совокупность берется из целевой совокупности, то для взвешивания наблюдений используется величина, обратная этой вероятности. Этот подход был обобщен для многих аспектов статистики в различных рамках. В частности, есть взвешенные вероятности , взвешенные уравнения оценки и взвешенные плотности вероятностей, из которых выводится большая часть статистики. Эти приложения систематизировали теорию других статистических данных и оценок, таких как модели маргинальной структуры ,стандартизированный коэффициент смертности и алгоритм EM для грубых или агрегированных данных.

Взвешивание обратной вероятности также используется для учета отсутствующих данных, когда субъекты с отсутствующими данными не могут быть включены в первичный анализ. ^[4] С оценкой вероятности выборки или вероятности того, что фактор будет измерен в другом измерении, можно использовать взвешивание обратной вероятности для завышения веса для субъектов, которые недопредставлены из-за большой степени отсутствующих данных .

Взвешенная оценка обратной вероятности (IPWE) [ править ]

Оценщик с обратной вероятностью взвешивания может использоваться для демонстрации причинно-следственной связи, когда исследователь не может провести контролируемый эксперимент, но имеет наблюдаемые данные для моделирования. Поскольку предполагается, что лечение не назначается случайным образом, цель состоит в том, чтобы оценить контрфактический или потенциальный результат, если бы всем субъектам в популяции было назначено любое лечение.

Предположим, что наблюдаемые данные взяты iid ^{[ необходимы пояснения ]} (независимые и одинаково распределенные) из неизвестного распределения P, где${\ displaystyle \ {{\ bigl (} X_ {i}, A_ {i}, Y_ {i} {\ bigr)} \} _ {i = 1} ^ {n}}$

• ${\ Displaystyle X \ in \ mathbb {R} ^ {p}}$ ковариаты
• ${\ Displaystyle А \ в \ {0,1 \}}$ это два возможных лечения.
• ${\ Displaystyle Y \ in \ mathbb {R}}$ отклик
• Мы не предполагаем, что лечение назначается случайным образом.

Цель состоит в том, чтобы оценить потенциальный результат, который будет наблюдаться, если субъекту будет назначено лечение a. Затем сравните средние результаты , если у всех пациентов в популяции были назначены либо лечение: . Мы хотим оценить, используя данные наблюдений .${\ Displaystyle Y ^ {*} {\ bigl (} а {\ bigr)}}$${\displaystyle \mu _{a}=\mathbb {E} Y^{*}(a)}$${\displaystyle \mu _{a}}$${\displaystyle \{{\bigl (}X_{i},A_{i},Y_{i}{\bigr )}\}_{i=1}^{n}}$

Формула оценщика [ править ]

${\displaystyle {\hat {\mu }}_{a,n}^{IPWE}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Y_{i}{\frac {\mathbf {1} _{A_{i}=a}}{{\hat {p}}_{n}(A_{i}=a|X_{i})}}}$

Создание IPWE [ править ]

1. ${\displaystyle \mu _{a}=\mathbb {E} \{Y1_{A=a}/p(A|X)\}}$ куда ${\displaystyle p(a|x)=P(A=a,X=x)/P(X=x)}$
2. построить или использовать любую модель склонности (часто модель логистической регрессии)${\displaystyle {\hat {p}}_{n}(a|x)}$${\displaystyle p(a|x)}$
3. ${\displaystyle {\hat {\mu }}_{a,n}^{IPWE}=n^{-1}\Sigma _{i=1}^{n}Y_{i}1_{A_{i}=a}/{\hat {p}}_{n}(A_{i}|X_{i})}$

После вычисления среднего значения каждой группы лечения можно использовать статистический t-критерий или тест ANOVA для оценки разницы между средними значениями группы и определения статистической значимости эффекта лечения.

Предположения [ править ]

1. Последовательность: ${\displaystyle Y=Y^{*}(A)}$
2. Никаких неизмеренных искажающих факторов: ${\displaystyle \{Y^{*}(0),Y^{*}(1)\}\perp A|X}$
   • Назначение лечения основано исключительно на данных ковариации и не зависит от потенциальных результатов.
3. Позитивность: для всех и${\displaystyle P(A=a|X=x)>0}$${\displaystyle a}$${\displaystyle x}$

Ограничения [ править ]

Взвешенная оценка обратной вероятности (IPWE) может быть нестабильной, если предполагаемые склонности невелики. Если вероятность назначения какого-либо лечения мала, тогда модель логистической регрессии может стать нестабильной вокруг хвостов, в результате чего IPWE также станет менее стабильным.

Расширенная обратная взвешенная оценка вероятности (AIPWE) [ править ]

Альтернативная оценка - это расширенная оценка с обратной взвешенной вероятностью (AIPWE), сочетающая в себе свойства оценки на основе регрессии и оценки с обратной взвешенной вероятностью. Следовательно, это «вдвойне надежный» метод, поскольку он требует только правильного определения модели склонности или результата, но не того и другого вместе. Этот метод дополняет IPWE, чтобы уменьшить изменчивость и повысить эффективность оценки. Эта модель придерживается тех же предположений, что и взвешенная оценка обратной вероятности (IPWE). ^[5]

Формула оценщика [ править ]

${\displaystyle {\hat {\mu }}_{a,n}^{AIPWE}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\Biggl (}{\frac {Y_{i}1_{A_{i}=a}}{{\hat {p}}_{n}(A_{i}|X_{i})}}-{\frac {1_{A_{i}=a}-{\hat {p}}_{n}(A_{i}|X_{i})}{{\hat {p}}_{n}(A_{i}|X_{i})}}{\hat {Q}}_{n}(X_{i},a){\Biggr )}}$

Строительство AIPWE [ править ]

1. Построить регрессионный оценщик для прогнозирования результата на основе ковариат и лечения${\displaystyle {\hat {Q}}_{n}(x,a)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$
2. Построить оценку склонности ${\displaystyle {\hat {p}}_{n}(A_{i}|X_{i})}$
3. Объедините в AIPWE, чтобы получить ${\displaystyle {\hat {\mu }}_{a,n}^{AIPWE}}$

См. Также [ править ]

• Соответствие баллов склонности

Ссылки [ править ]