Изотропное многообразие

В этой статье не процитировать какие - либо источники . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . Найти источники:  «Изотропное многообразие»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( июнь 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это шаблонное сообщение )

В математике , изотропное многообразие является многообразием , в котором геометрия не зависит от направлений. Формально мы говорим , что риманов многообразие является изотропным , если для любой точки и единичных векторов , существует изометрия из с и . Всякое связное изотропное многообразие является однородным , т.е. для любого существует изометрия из с Это можно увидеть, рассматривая геодезические от к и с изометрией , какие исправления и карты в${\ displaystyle (M, g)}$${\ displaystyle p \ in M}$${\ displaystyle v, w \ in T_ {p} M}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ varphi (p) = p}$${\ displaystyle \ varphi _ {\ ast} (v) = w}$${\ displaystyle p, q \ in M}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ varphi (p) = q.}$${\ displaystyle \ gamma: [0,2] \ до M}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle \ gamma (1)}$${\ displaystyle \ gamma '(1)}$${\ displaystyle - \ gamma '(1).}$

Примеры [ править ]

Односвязные пространственные формы ( n-сфера , гиперболическое пространство и ) изотропны. Вообще говоря, неверно, что любое многообразие постоянной кривизны изотропно; например, плоский тор не изотропен. Это можно увидеть, заметив, что любая изометрия, фиксирующая точку, должна подниматься до изометрии, которая фиксирует точку и сохраняет ; таким образом, группа изометрий, у которых fix , дискретна. Более того, таким же образом можно увидеть, что никакая ориентированная поверхность с постоянной кривизной и отрицательной эйлеровой характеристикой не является изотропной.${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle Т = \ mathbb {R} ^ {2} / \ mathbb {Z} ^ {2}}$${\ displaystyle T}$${\displaystyle p\in T}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle p}$

Кроме того, существуют изотропные многообразия, не имеющие постоянной кривизны, такие как комплексное проективное пространство ( ), снабженное метрикой Фубини-Штуди. Действительно, все многообразия постоянной кривизны имеют свое универсальное покрытие, которое может быть либо сферой , либо гиперболическим пространством , либо , но односвязным, но не сферой (для ), как можно увидеть, например, из вычислений гомотопической группы из длинной точной последовательности расслоения .${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle U(1)\to S^{2n+1}\to \mathbb {CP} ^{n}}$

Дальнейшие примеры изотропных многообразий задаются рангом один симметрические пространства, в том числе проективных пространств , , , и , а также их некомпактные гиперболических аналоги.${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {OP} ^{2}}$

Многообразие может быть однородным, но не изотропным, например плоский тор или с метрикой произведения.${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbb {R} \times S^{2}}$

См. Также [ править ]

• Космологический принцип
• Изотропный многообразие на Math.StackExchange (июль 2013 г.)

Эта статья, посвященная дифференциальной геометрии, является незавершенной . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

• v
• t
• e

Эта статья о топологии незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

• v
• t
• e