Джексон q -функция Бесселя

В математике, Джексон д функция Бесселя (или основная функция Бесселя ) является одним из три д -аналогов в функции Бесселя , введенном Джексон  ( 1906a , 1906b , 1905a , 1905b ). Третий Джексон д функции Бесселя является такой же , как Хан-Экстон д функции Бесселя .

Определение [ править ]

Три q- функции Джексона q- Бесселя задаются в терминах q- символа Почхаммера и базовой гипергеометрической функции как${\ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle J _ {\ nu} ^ {(1)} (x; q) = {\ frac {(q ^ {\ nu +1}; q) _ {\ infty}} {(q; q) _ { \ infty}}} (x / 2) ^ {\ nu} {} _ {2} \ phi _ {1} (0,0; q ^ {\ nu +1}; q, -x ^ {2} / 4), \ quad | x | <2,}$

${\ Displaystyle J _ {\ nu} ^ {(2)} (x; q) = {\ frac {(q ^ {\ nu +1}; q) _ {\ infty}} {(q; q) _ { \ infty}}} (x / 2) ^ {\ nu} {} _ {0} \ phi _ {1} (; q ^ {\ nu +1}; q, -x ^ {2} q ^ {\ nu +1} / 4), \ quad x \ in \ mathbb {C},}$

${\ displaystyle J _ {\ nu} ^ {(3)} (x; q) = {\ frac {(q ^ {\ nu +1}; q) _ {\ infty}} {(q; q) _ { \ infty}}} (x / 2) ^ {\ nu} {} _ {1} \ phi _ {1} (0; q ^ {\ nu +1}; q, qx ^ {2} / 4), \ quad x \ in \ mathbb {C}.}$

Их можно свести к функции Бесселя непрерывным пределом:

${\displaystyle \lim _{q\to 1}J_{\nu }^{(k)}(x(1-q);q)=J_{\nu }(x),\ k=1,2,3.}$

Существует формула связи между первой и второй функцией Джексона q- Бесселя ( Гаспер и Рахман (2004) ):

${\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(x;q)=(-x^{2}/4;q)_{\infty }J_{\nu }^{(1)}(x;q),\ |x|<2.}$

Для целочисленного порядка q -функции Бесселя удовлетворяют

${\displaystyle J_{n}^{(k)}(-x;q)=(-1)^{n}J_{n}^{(k)}(x;q),\ n\in \mathbb {Z} ,\ k=1,2,3.}$

Свойства [ править ]

Отрицательный целочисленный порядок [ править ]

Используя отношения ( Гаспер и Рахман (2004) ):

${\displaystyle (q^{m+1};q)_{\infty }=(q^{m+n+1};q)_{\infty }(q^{m+1};q)_{n},}$

${\displaystyle (q;q)_{m+n}=(q;q)_{m}(q^{m+1};q)_{n},\ m,n\in \mathbb {Z} ,}$

мы получаем

${\displaystyle J_{-n}^{(k)}(x;q)=(-1)^{n}J_{n}^{(k)}(x;q),\ k=1,2.}$

Нули [ править ]

Хан упомянул, что у него бесконечно много действительных нулей ( Hahn  ( 1949 )). Исмаил доказал, что для всех ненулевых корни являются действительными ( Исмаил  ( 1982 )).${\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(x;q)}$${\displaystyle \nu >-1}$${\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(x;q)}$

Соотношение q- функций Бесселя [ править ]

Функция является полностью монотонной функцией ( Ismail  ( 1982 )).${\displaystyle -ix^{-1/2}J_{\nu +1}^{(2)}(ix^{1/2};q)/J_{\nu }^{(2)}(ix^{1/2};q)}$

Повторяющиеся отношения [ править ]

Первая и вторая функции Джексона q- Бесселя имеют следующие рекуррентные отношения (см. Ismail (1982) и Gasper & Rahman (2004) ):

${\displaystyle q^{\nu }J_{\nu +1}^{(k)}(x;q)={\frac {2(1-q^{\nu })}{x}}J_{\nu }^{(k)}(x;q)-J_{\nu -1}^{(k)}(x;q),\ k=1,2.}$

${\displaystyle J_{\nu }^{(1)}(x{\sqrt {q}};q)=q^{\pm \nu /2}\left(J_{\nu }^{(1)}(x;q)\pm {\frac {x}{2}}J_{\nu \pm 1}^{(1)}(x;q)\right).}$

Неравенства [ править ]

Когда вторая функция Джексона q- Бесселя удовлетворяет: (см. Zhang ( 2006 ).)${\displaystyle \nu >-1}$${\displaystyle \left|J_{\nu }^{(2)}(z;q)\right|\leq {\frac {(-{\sqrt {q}};q)_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}\left({\frac {|z|}{2}}\right)^{\nu }\exp \left\{{\frac {\log \left(|z|^{2}q^{\nu }/4\right)}{2\log q}}\right\}.}$

Для , (см Koelink ( 1993 ).)${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \left|J_{n}^{(2)}(z;q)\right|\leq {\frac {(-q^{n+1};q)_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}\left({\frac {|z|}{2}}\right)^{n}(-|z|^{2};q)_{\infty }.}$

Генерирующая функция [ править ]

Следующие формулы являются q- аналогом производящей функции для функции Бесселя (см. Gasper & Rahman (2004) ):

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }t^{n}J_{n}^{(2)}(x;q)=(-x^{2}/4;q)_{\infty }e_{q}(xt/2)e_{q}(-x/2t),}$

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }t^{n}J_{n}^{(3)}(x;q)=e_{q}(xt/2)E_{q}(-qx/2t).}$

${\displaystyle e_{q}}$- q -экспоненциальная функция.

Альтернативные представления [ править ]

Интегральные представления [ править ]

Вторая функция Джексона q- Бесселя имеет следующие интегральные представления (см. Rahman (1987) и Ismail & Zhang (2018a) ):

${\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(x;q)={\frac {(q^{2\nu };q)_{\infty }}{2\pi (q^{\nu };q)_{\infty }}}(x/2)^{\nu }\cdot \int _{0}^{\pi }{\frac {\left(e^{2i\theta },e^{-2i\theta },-{\frac {ixq^{(\nu +1)/2}}{2}}e^{i\theta },-{\frac {ixq^{(\nu +1)/2}}{2}}e^{-i\theta };q\right)_{\infty }}{(e^{2i\theta }q^{\nu },e^{-2i\theta }q^{\nu };q)_{\infty }}}\,d\theta ,}$

${\displaystyle (a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n};q)_{\infty }:=(a_{1};q)_{\infty }(a_{2};q)_{\infty }\cdots (a_{n};q)_{\infty },\ \Re \nu >0,}$

где - символ q- Почхаммера . Это представление сводится к интегральному представлению функции Бесселя в пределе .${\displaystyle (a;q)_{\infty }}$${\displaystyle q\to 1}$

${\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(z;q)={\frac {(z/2)^{\nu }}{\sqrt {2\pi \log q^{-1}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\left({\frac {q^{\nu +1/2}z^{2}e^{ix}}{4}};q\right)_{\infty }\exp \left({\frac {x^{2}}{\log q^{2}}}\right)}{(q,-q^{\nu +1/2}e^{ix};q)_{\infty }}}\,dx.}$

Гипергеометрические представления [ править ]

Вторая функция Джексона q- Бесселя имеет следующие гипергеометрические представления (см. Koelink ( 1993 ), Chen, Ismail , and Muttalib ( 1994 )):

${\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(x;q)={\frac {(x/2)^{\nu }}{(q;q)_{\infty }}}\ _{1}\phi _{1}(-x^{2}/4;0;q,q^{\nu +1}),}$

${\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(x;q)={\frac {(x/2)^{\nu }({\sqrt {q}};q)_{\infty }}{2(q;q)_{\infty }}}[f(x/2,q^{(\nu +1/2)/2};q)+f(-x/2,q^{(\nu +1/2)/2};q)],\ f(x,a;q):=(iax;{\sqrt {q}})_{\infty }\ _{3}\phi _{2}\left({\begin{matrix}a,&-a,&0\\-{\sqrt {q}},&iax\end{matrix}};{\sqrt {q}},{\sqrt {q}}\right).}$

Асимптотическое разложение может быть получено как непосредственное следствие второй формулы.

По поводу других гипергеометрических представлений см. Rahman (1987) .

Модифицированные функции q- Бесселя [ править ]

Д -аналог модифицированных функций Бесселя определяется с Джексон д функцией Бесселя ( Ismail (1981) и Ольшанецкий & Рога (1995) ):

${\displaystyle I_{\nu }^{(j)}(x;q)=e^{i\nu \pi /2}J_{\nu }^{(j)}(x;q),\ j=1,2.}$

${\displaystyle K_{\nu }^{(j)}(x;q)={\frac {\pi }{2\sin(\pi \nu )}}\left\{I_{-\nu }^{(j)}(x;q)-I_{\nu }^{(j)}(x;q)\right\},\ j=1,2,\ \nu \in \mathbb {C} -\mathbb {Z} ,}$

${\displaystyle K_{n}^{(j)}(x;q)=\lim _{\nu \to n}K_{\nu }^{(j)}(x;q),\ n\in \mathbb {Z} .}$

Существует формула связи между модифицированными функциями q-Бесселя:

${\displaystyle I_{\nu }^{(2)}(x;q)=(-x^{2}/4;q)_{\infty }I_{\nu }^{(1)}(x;q).}$

Для статистических приложений см. Kemp (1997) . harvtxt error: no target: CITEREFKemp1997 (help)

Повторяющиеся отношения [ править ]

Используя рекуррентное соотношение q- функций Джексона и определение модифицированных q- функций Бесселя, можно получить следующее рекуррентное соотношение ( также удовлетворяет тому же соотношению) ( Ismail (1981) ):${\displaystyle K_{\nu }^{(j)}(x;q)}$

${\displaystyle q^{\nu }I_{\nu +1}^{(j)}(x;q)={\frac {2}{z}}(1-q^{\nu })I_{\nu }^{(j)}(x;q)+I_{\nu -1}^{(j)}(x;q),\ j=1,2.}$

О других повторяющихся отношениях см. Ольшанецкий и Рогов (1995) .

Непрерывное представление дроби [ править ]

Отношение модифицированных q- функций Бесселя образуют непрерывную дробь ( Ismail (1981) ):

${\displaystyle {\frac {I_{\nu }^{(2)}(z;q)}{I_{\nu -1}^{(2)}(z;q)}}={\cfrac {1}{2(1-q^{\nu })/z+{\cfrac {q^{\nu }}{2(1-q^{\nu +1})/z+{\cfrac {q^{\nu +1}}{2(1-q^{\nu +2})/z+\ddots }}}}}}.}$

Альтернативные представления [ править ]

Гипергеометрические представления [ править ]

Функция имеет следующее представление ( Ismail & Zhang (2018b) ):${\displaystyle I_{\nu }^{(2)}(z;q)}$

${\displaystyle I_{\nu }^{(2)}(z;q)={\frac {(z/2)^{\nu }}{(q,q)_{\infty }}}{}_{1}\phi _{1}(z^{2}/4;0;q,q^{\nu +1}).}$

Интегральные представления [ править ]

Модифицированные q- функции Бесселя имеют следующие интегральные представления ( Ismail (1981) ):

${\displaystyle I_{\nu }^{(2)}(z;q)=\left(z^{2}/4;q\right)_{\infty }\left({\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\cos \nu \theta \,d\theta }{\left(e^{i\theta }z/2;q\right)_{\infty }\left(e^{-i\theta }z/2;q\right)_{\infty }}}-{\frac {\sin \nu \pi }{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-\nu t}\,dt}{\left(-e^{t}z/2;q\right)_{\infty }\left(-e^{-t}z/2;q\right)_{\infty }}}\right),}$

${\displaystyle K_{\nu }^{(1)}(z;q)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-\nu t}\,dt}{\left(-e^{t/2}z/2;q\right)_{\infty }\left(-e^{-t/2}z/2;q\right)_{\infty }}},\ |\arg z|<\pi /2,}$

${\displaystyle K_{\nu }^{(1)}(z;q)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\cosh \nu \,dt}{\left(-e^{t/2}z/2;q\right)_{\infty }\left(-e^{-t/2}z/2;q\right)_{\infty }}}.}$

См. Также [ править ]

• q -полиномы Бесселя

Ссылки [ править ]

• Чен, Ян; Исмаил, Мурад Э.Х .; Муталлиб, К. (1994), "Асимптотика основных функций Бесселя и д -Laguerre многочлены", Журнал вычислительной и прикладной математики , 54 (3): 263-272, DOI : 10.1016 / 0377-0427 (92) 00128-V
• Гаспер, G .; Рахман, М. (2004), Основные гипергеометрические ряды , Энциклопедия математики и ее приложений, 96 (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-83357-8, Руководство по ремонту  2128719
• Хан, Вольфганг (1949), "Убер Orthogonalpolynome, матрица Q-Differenzengleichungen genügen", Mathematische нахрихтен , 2 : 4-34, DOI : 10.1002 / mana.19490020103 , ISSN  0025-584X , МР  0030647
• Исмаил, Mourad EH (1981), "Функции Бесселя и Basic Многочлены", SIAM журнал по математическому анализу , 12 (3): 454-468, DOI : 10,1137 / 0512038
• Исмаил, Мурад Э.Х. (1982), «Нули основных функций Бесселя, функции J _{ν + ax} ( x ) и соответствующие ортогональные многочлены», Журнал математического анализа и приложений , 86 (1): 1–19, DOI : 10.1016 / 0022-247X (82) 90248-7 , ISSN  0022-247X , MR  0649849
• Исмаил, MEH; Чжан, Р. (2018a), "Интегральные и серии представлений д -полиномов и функции: Часть I", анализ и приложения , 16 (2): 209-281, Arxiv : 1604.08441 , DOI : 10,1142 / S0219530517500129
• Исмаил, MEH; Чжан, Р. (2018b), « q- Функции Бесселя и тождества типа Роджерса-Рамануджана», Труды Американского математического общества , 146 (9): 3633–3646, arXiv : 1508.06861 , doi : 10.1090 / proc / 13078
• Джексон, Ф.Х. (1906a), «I. - Об обобщенных функциях Лежандра и Бесселя», Труды Королевского общества Эдинбурга , 41 (1): 1–28, doi : 10.1017 / S0080456800080017
• Джексон, АЯ (1906b), "VI.-теорема , относящийся к обобщению функции Бесселя" , Труды Королевского общества Эдинбурга , 41 (1): 105-118, DOI : 10,1017 / S0080456800080078
• Джексон, FH (1906c), "XVII.-теорема , относящийся к обобщению функции Бесселя" , Труды Королевского общества Эдинбурга , 41 (2): 399-408, DOI : 10,1017 / s0080456800034475 , JFM  36.0513.02
• Джексон, FH (1905a), "Применение основных чисел к Бесселю и функции Лежандра" , Труды Лондонского математического общества , 2, 2 (1): 192-220, DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s2-2.1.192
• Джексон, Ф.Х. (1905b), «Применение основных чисел к функциям Бесселя и Лежандра (вторая статья)» , Труды Лондонского математического общества , 2, 3 (1): 1–23, doi : 10.1112 / plms / s2- 3.1.1
• Koelink, HT (1993), "Хансен-Ломмел ортогональности для Джексона д Бесселя функций", журнал математического анализа и приложений , 175 (2): 425-437, DOI : 10,1006 / jmaa.1993.1181
• Ольшанецкий, М.А. Рогов, В.Б. (1995), "Модифицированные q- функции Бесселя и q -функции Бесселя-Макдональда", arXiv : q-alg / 9509013
• Рахман, М. (1987), «Интегральное представление и некоторые свойства преобразования q- функций Бесселя», Журнал математического анализа и приложений , 125 : 58–71, DOI : 10.1016 / 0022-247x (87) 90164-8
• Чжан Р. (2006), "Асимптотика Планшереля- Ротаха для q- серии", arXiv : math / 0612216