В реальном анализе , разделе математики , теорема Бернштейна утверждает, что каждая вещественнозначная функция на полупрямой [0, ∞) , которая является полностью монотонной , является смесью экспоненциальных функций . В одном важном частном случае смесь представляет собой средневзвешенное или ожидаемое значение .
Полная монотонность (иногда также полная монотонность ) функции f означает, что f непрерывна на [0, ∞) , бесконечно дифференцируема на (0, ∞) и удовлетворяетусловию
Утверждение о «средневзвешенном» можно охарактеризовать следующим образом: существует неотрицательная конечная борелевская мера на [0, ∞) с кумулятивной функцией распределения g такая, что
Говоря более абстрактным языком, теорема характеризует преобразования Лапласа положительных борелевских мер на [0, ∞) . В этой форме она известна как теорема Бернштейна-Виддера или теорема Хаусдорфа-Бернштейна-Виддера . Феликс Хаусдорф ранее охарактеризовал полностью монотонные последовательности . Это последовательности, встречающиеся в проблеме моментов Хаусдорфа .
Неотрицательные функции, производная которых вполне монотонна, называются функциями Бернштейна . Каждая функция Бернштейна имеет представление Леви – Хинчина :