Четвертая, пятая и шестая производные позиции

Производные от позиции по времени

В физике , в четвертый, пятый и шестой позиции производные определены как производные этого вектора положения по отношению к времени - с первым, вторым и третьи производные быть скорость , ускорение и рывок , соответственно. Однако эти производные более высокого порядка появляются редко ^[1] и имеют мало практического применения, поэтому их названия не являются стандартными.

Четвертую производную часто называют щелчком или скачком . Название «щелчок» для четвертой производной привело к треску и попу для пятой и шестой производных соответственно ^[2], вдохновленных рекламными талисманами Snap, Crackle и Pop . ^[3] Иногда они используются, хотя и «иногда несколько шутливо». ^[3]

Четвертая производная (щелчок / толчок) [ править ]

Привязка , ^[4] или ударяться , является четвертой производной от вектора положения по отношению к времени , или скорость изменения в рывке по времени. ^[3] Эквивалентно, это вторая производная от ускорения или третья производная от скорости , и определяется любым из следующих эквивалентных выражений:

${\ displaystyle {\ vec {s}} = {\ frac {d \, {\ vec {\ jmath}}} {dt}} = {\ frac {d ^ {2} {\ vec {a}}} { dt ^ {2}}} = {\ frac {d ^ {3} {\ vec {v}}} {dt ^ {3}}} = {\ frac {d ^ {4} {\ vec {r}} } {dt ^ {4}}}.}$

Следующие уравнения используются для постоянной привязки:

${\ displaystyle {\ vec {\ jmath}} = {\ vec {\ jmath}} _ {0} + {\ vec {s}} t,}$

${\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ vec {a}} _ {0} + {\ vec {\ jmath}} _ {0} t + {\ tfrac {1} {2}} {\ vec { s}} t ^ {2},}$

${\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ vec {v}} _ {0} + {\ vec {a}} _ {0} t + {\ tfrac {1} {2}} {\ vec {\ jmath}} _ {0} t ^ {2} + {\ tfrac {1} {6}} {\ vec {s}} t ^ {3},}$

${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {s}}t^{4},}$

куда

${\displaystyle {\vec {s}}}$ постоянный щелчок,

${\displaystyle {\vec {\jmath }}_{0}}$ это начальный рывок,

${\displaystyle {\vec {\jmath }}}$ последний рывок,

${\displaystyle {\vec {a}}_{0}}$ начальное ускорение,

${\displaystyle {\vec {a}}}$ это финальное ускорение,

${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$ начальная скорость,

${\displaystyle {\vec {v}}}$ конечная скорость,

${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$ начальная позиция,

${\displaystyle {\vec {r}}}$ конечная позиция,

${\displaystyle t}$ время между начальным и конечным состояниями.

Обозначение (используемое Виссером ^[3] ) не следует путать с вектором смещения, обычно обозначаемым аналогичным образом.${\displaystyle {\vec {s}}}$

Размеры привязки - это расстояние в четвертой степени времени. В единицах СИ это «метры в секунду до четвертой», м / с ⁴ , м⋅с ⁻⁴ или 100 галлонов в секунду в квадрате в единицах СГС .

Пятая производная (треск / волан) [ править ]

Хруст ^[2] является пятой производной от вектора положения по отношению к времени , причем первым, вторые, третьи и четвертые производные будучи скоростью , ускорение , рывок и оснастку , соответственно; треск, таким образом, представляет собой скорость изменения щелчка во времени. ^{[2] [3]} Кракл определяется любым из следующих эквивалентных выражений:

${\displaystyle {\vec {c}}={\frac {d{\vec {s}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {\jmath }}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {a}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {v}}}{dt^{4}}}={\frac {d^{5}{\vec {r}}}{dt^{5}}}}$

Следующие уравнения используются для постоянного треска:

${\displaystyle {\vec {s}}={\vec {s}}_{0}+{\vec {c}}\,t}$

${\displaystyle {\vec {\jmath }}={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {c}}\,t^{2}}$

${\displaystyle {\vec {a}}={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {s}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {c}}\,t^{3}}$

${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {s}}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {c}}\,t^{4}}$

${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {s}}_{0}\,t^{4}+{\tfrac {1}{120}}{\vec {c}}\,t^{5}}$

куда

${\displaystyle {\vec {c}}}$ : постоянный треск,

${\displaystyle {\vec {s}}_{0}}$ : начальная привязка,

${\displaystyle {\vec {s}}}$ : final snap,

${\displaystyle {\vec {\jmath }}_{0}}$ : начальный рывок,

${\displaystyle {\vec {\jmath }}}$ : финальный рывок,

${\displaystyle {\vec {a}}_{0}}$ : начальное ускорение,

${\displaystyle {\vec {a}}}$ : конечное ускорение,

${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$ : Начальная скорость,

${\displaystyle {\vec {v}}}$ : конечная скорость,

${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$ : исходное положение,

${\displaystyle {\vec {r}}}$ : конечная позиция,

${\displaystyle t}$ : время между начальным и конечным состояниями.

Размеры треска LT ⁻⁵ . В единицах СИ это м / с ⁵ , а в единицах СГС - 100 галлонов в кубе секунды.

Шестая производная (pop / pounce) [ править ]

Поп ^[2] (иногда Pounce ^{[ править ]} ) является шестым производным от вектора положения по отношению к времени , причем первым, вторые, третьи, четвертые и пятые производные будучи скоростью , ускорение , рывок , оснастка , и потрескивание , соответственно; pop, таким образом, представляет собой скорость изменения треска во времени. ^{[2] [3]} Pop определяется любым из следующих эквивалентных выражений:

${\displaystyle {\vec {p}}={\frac {d{\vec {c}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {s}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {\jmath }}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {a}}}{dt^{4}}}={\frac {d^{5}{\vec {v}}}{dt^{5}}}={\frac {d^{6}{\vec {r}}}{dt^{6}}}}$

Следующие уравнения используются для постоянного давления:

${\displaystyle {\vec {c}}={\vec {c}}_{0}+{\vec {p}}\,t}$

${\displaystyle {\vec {s}}={\vec {s}}_{0}+{\vec {c}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {p}}\,t^{2}}$

${\displaystyle {\vec {\jmath }}={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {c}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {p}}\,t^{3}}$

${\displaystyle {\vec {a}}={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {s}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {c}}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {p}}\,t^{4}}$

${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {s}}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {c}}_{0}\,t^{4}+{\tfrac {1}{120}}{\vec {p}}\,t^{5}}$

${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {s}}_{0}\,t^{4}+{\tfrac {1}{120}}{\vec {c}}_{0}\,t^{5}+{\tfrac {1}{720}}{\vec {p}}\,t^{6}}$

куда

${\displaystyle {\vec {p}}}$ : постоянный треск,

${\displaystyle {\vec {c}}_{0}}$ : начальное потрескивание,

${\displaystyle {\vec {c}}}$ : финальный треск,

${\displaystyle {\vec {s}}_{0}}$ : начальная привязка,

${\displaystyle {\vec {s}}}$ : final snap,

${\displaystyle {\vec {\jmath }}_{0}}$ : начальный рывок,

${\displaystyle {\vec {\jmath }}}$ : финальный рывок,

${\displaystyle {\vec {a}}_{0}}$ : начальное ускорение,

${\displaystyle {\vec {a}}}$ : конечное ускорение,

${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$ : Начальная скорость,

${\displaystyle {\vec {v}}}$ : конечная скорость,

${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$ : исходное положение,

${\displaystyle {\vec {r}}}$ : конечная позиция,

${\displaystyle t}$ : время между начальным и конечным состояниями.

Размеры поп - LT ⁻⁶ . В единицах СИ это м / с ⁶ , а в единицах СГС - 100 галлонов за кварту секунду.

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Посмотрите оснастки , ударяться , потрескивание , волан , поп , или наброситься в Wiktionary, бесплатный словарь.

• Космография: космология без уравнений Эйнштейна , Мэтт Виссер, Школа математики, статистики и информатики, Веллингтонский университет Виктории, 2004 г.