В теории меры , разделе математики , теорема Какутани является фундаментальным результатом об эквивалентности или взаимной сингулярности счетных мер произведения . Он дает характеристику « тогда и только тогда », когда две такие меры эквивалентны, и, следовательно, он чрезвычайно полезен при попытке установить формулы замены меры для мер на функциональных пространствах . Результат принадлежит японскому математику Шизуо Какутани . Теорема Какутани может использоваться, например, для определения того, является ли сдвиг гауссовской меры эквивалентно (только тогда , когда перевод вектор лежит в Камероне-Мартин пространстве из), или расширение эквивалентно (только когда абсолютное значение фактора растяжения равно 1, что является частью теоремы Фельдмана – Хайека ).
Формулировка теоремы
Для каждого , позволять а также быть мерой на реальной линии , и разреши а также - соответствующие меры продукта на . Предположим также, что для каждого, а также эквивалентны (т. е. имеют одинаковые нулевые наборы). Тогда либо а также эквивалентны, или же они взаимно сингулярны. Более того, эквивалентность имеет место именно тогда, когда бесконечное произведение
имеет ненулевой предел; или, что то же самое, когда бесконечный ряд
сходится.
Рекомендации
- Богачев, Владимир (1998). Гауссовы меры . Математические обзоры и монографии. 62 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. DOI : 10,1090 / сур / 062 . ISBN 0-8218-1054-5. (См. Теорему 2.12.7)
- Какутани, Шизуо (1948). «Об эквивалентности бесконечных мер произведения». Аня. Математика . 49 : 214–224. DOI : 10.2307 / 1969123 .