Теория Кермака – Маккендрика - это гипотеза, которая предсказывает количество и распределение случаев инфекционного заболевания, передаваемого через популяцию с течением времени. Основываясь на исследованиях Рональда Росс и Хильды Хадсон , А.Г. Маккендрик и В.О. Кермак опубликовали свою теорию в серии из трех статей за 1927, 1932 и 1933 годы. Хотя теория Кермака – Маккендрика действительно была источником моделей SIR и их родственников, Кермак и Маккендрик думали о более тонкой и эмпирически полезной проблеме, чем простые компартментные модели.обсуждается здесь. Текст несколько труднее читать по сравнению с современными документами, но важная особенность заключается в том, что это была модель, в которой возраст заражения влиял на скорость передачи и удаления.
Эти статьи были переизданы в Бюллетене математической биологии в 1991 году, поскольку они имеют огромное значение для теоретической эпидемиологии . [1] [2] [3]
Модель эпидемии (1927 г.)
В своей первоначальной форме теория Кермака – МакКендрика представляет собой модель дифференциального уравнения в частных производных, которая структурирует инфицированную популяцию с точки зрения возраста заражения, используя простые компартменты для людей, которые являются восприимчивыми (S), инфицированными (I) и выздоровевшими. / удалено (R). Указанные начальные условия будут меняться со временем в соответствии с
где является дельта-функцией Дирака и инфекционным давлением
Эта формулировка эквивалентна определению частоты инфицирования. . Только в частном случае, когда скорость съема и скорость передачи постоянны для всех возрастов, можно ли выразить динамику эпидемии через распространенность? , что приводит к стандартной модели SIR с отсеками . Эта модель учитывает только события заражения и удаления, которых достаточно для описания простой эпидемии, включая пороговое условие, необходимое для начала эпидемии, но не может объяснить передачу эндемических заболеваний или повторяющиеся эпидемии.
Эндемическая болезнь (1932, 1933)
В своих последующих статьях Кермак и МакКендрик расширили свою теорию, допустив рождение, миграцию и смерть, а также несовершенный иммунитет. В современных обозначениях их модель можно представить в виде
где - коэффициент иммиграции уязвимых людей, b j - коэффициент рождаемости на душу населения для штата j , m j - коэффициент смертности на душу населения в штате j , относительный риск заражения выздоровевших людей с частичным иммунитетом и инфекционное давление.
Кермак и МакКендрик смогли показать, что он допускает стационарное решение там, где болезнь носит эндемический характер, при условии, что количество восприимчивых людей достаточно велико. Эту модель сложно анализировать в ее полной общности, и остается ряд открытых вопросов относительно ее динамики.
Рекомендации
- ^ Кермак, Вт; Маккендрик, А (1991). «Вклад в математическую теорию эпидемий - I». Вестник математической биологии . 53 (1–2): 33–55. DOI : 10.1007 / BF02464423 . PMID 2059741 .
- ^ Кермак, Вт; Маккендрик, А (1991). «Вклад в математическую теорию эпидемий - II. Проблема эндемичности». Вестник математической биологии . 53 (1–2): 57–87. DOI : 10.1007 / BF02464424 . PMID 2059742 .
- ^ Кермак, Вт; Маккендрик, А (1991). «Вклад в математическую теорию эпидемий - III. Дальнейшие исследования проблемы эндемичности». Вестник математической биологии . 53 (1–2): 89–118. DOI : 10.1007 / BF02464425 . PMID 2059743 .