Компартментные модели в эпидемиологии

Компартментные модели упрощают математическое моделирование инфекционных заболеваний . Население присваиваются отсеки с этикетками - например, S , I или R , ( S usceptible, я nfectious, или R ecovered). Люди могут перемещаться между отсеками. Порядок наклеек обычно показывает схемы потока между отсеками; например, SEIS означает «восприимчивый», «незащищенный», «заразный», затем снова «восприимчивый».

Источником таких моделей является начало 20 века, при этом важными работами были работы Росса ^[1] в 1916 году, Росс и Хадсон в 1917 году ^{[2] [3]} и Кермака и МакКендрика в 1927 году . ^[4]

Модели чаще всего работают с обыкновенными дифференциальными уравнениями (которые являются детерминированными), но также могут использоваться со стохастической (случайной) структурой, которая более реалистична, но гораздо сложнее для анализа.

Модели пытаются предсказать такие вещи, как распространение болезни, общее число инфицированных или продолжительность эпидемии, а также оценить различные эпидемиологические параметры, такие как репродуктивное число . Такие модели могут показать, как различные меры общественного здравоохранения могут повлиять на исход эпидемии, например, какой метод является наиболее эффективным для выпуска ограниченного количества вакцин для данной группы населения.

Модель SIR [ править ]

Модель SIR ^{[5] [6] [7]} является одной из простейших компартментальных моделей, и многие модели являются производными от этой базовой формы. Модель состоит из трех отсеков: -

S : Количество з usceptible лиц. Когда восприимчивый и заразный индивидуум входят в «инфекционный контакт», восприимчивый индивидуум заражается болезнью и переходит в инфекционный компартмент.

Я : Число я nfectious лиц. Это инфицированные люди, способные заразить восприимчивых людей.

R для числа г emoved (и иммунной) или умерших лиц. Это люди, которые были инфицированы и либо вылечились от болезни и попали в удаленный отсек, либо умерли. Предполагается, что количество смертей незначительно по отношению к общей численности населения. Этот отсек может также называться « г ecovered» или « г esistant».

Эта модель достаточно предсказуема ^[8] для инфекционных заболеваний, которые передаются от человека к человеку, и когда выздоровление вызывает устойчивую резистентность, таких как корь , эпидемический паротит и краснуха .

Эти переменные ( S , I и R ) представляют количество людей в каждом отсеке в определенное время. Чтобы представить, что количество восприимчивых, заразных и удаленных особей может меняться со временем (даже если общая численность популяции остается постоянной), мы делаем точные числа функцией t (времени): S ( t ), I ( t ) и R ( t ). Для конкретного заболевания в конкретной популяции эти функции могут быть разработаны для прогнозирования возможных вспышек и их контроля. ^[8]

Как следует из переменной функции t , модель является динамичной в том смысле, что числа в каждом отделении могут колебаться во времени. Важность этого динамического аспекта наиболее очевидна при эндемическом заболевании с коротким инфекционным периодом, таком как корь в Великобритании до введения вакцины в 1968 году. Такие заболевания, как правило, возникают циклами вспышек из-за различий в количестве восприимчивых (S ( t )) с течением времени. Во время эпидемиичисло восприимчивых людей быстро падает, поскольку все больше из них заражаются и, таким образом, попадают в инфекционные и удаленные отсеки. Заболевание не может возобновиться до тех пор, пока количество восприимчивых не восстановится, например, в результате рождения потомства в восприимчивом компартменте.

Каждый член популяции обычно прогрессирует от восприимчивого к инфекционному к выздоровлению. Это можно представить в виде блок-схемы, на которой прямоугольники представляют различные отсеки, а стрелки - переходы между отсеками, т. Е.

Скорость перехода [ править ]

Для полной спецификации модели стрелками должны быть указаны скорости перехода между отсеками. Предполагается, что между S и I скорость перехода равна d (S / N) / dt = -βSI / N ² , где N - общая численность населения, β - среднее количество контактов на человека за раз, умноженное на вероятность передачи болезни при контакте между восприимчивым и инфекционным субъектом, а SI / N ² - это доля тех контактов между инфекционным и восприимчивым индивидуумом, которые приводят к инфицированию восприимчивого человека. (Это математически похоже на закон действия массв химии, в которой случайные столкновения между молекулами приводят к химической реакции, а относительная скорость пропорциональна концентрации двух реагентов).

Между I и R , предполагается , что скорость перехода пропорциональна числу инфекционных лиц , что является γ I . Это эквивалентно предположению, что вероятность выздоровления заразного человека в любой интервал времени dt равна просто γ dt . Если человек является заразным для среднего периода времени D , то Г = 1 / D . Это также эквивалентно предположению, что продолжительность времени, проведенного человеком в инфекционном состоянии, является случайной величиной с экспоненциальным распределением . «Классическая» модель SIR может быть изменена путем использования более сложных и реалистичных распределений для скорости перехода IR (например,Распределение Эрланга ^[9] ).

Для особого случая, когда нет удаления из инфекционного отсека (γ = 0), модель SIR сводится к очень простой модели SI, которая имеет логистическое решение, в котором каждый человек в конечном итоге становится инфицированным.

Модель SIR без витальной динамики [ править ]

Динамика эпидемии, например, гриппа , часто намного быстрее, чем динамика рождений и смертей, поэтому рождение и смерть часто не учитываются в простых компартментных моделях. Система SIR без так называемой жизненной динамики (рождение и смерть, иногда называемая демографией), описанная выше, может быть выражена следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений : ^{[6] [10]}

${\ displaystyle {\ begin {align} & {\ frac {dS} {dt}} = - {\ frac {\ beta IS} {N}}, \\ [6pt] и {\ frac {dI} {dt} } = {\ frac {\ beta IS} {N}} - \ gamma I, \\ [6pt] & {\ frac {dR} {dt}} = \ gamma I, \ end {align}}}$

где - количество восприимчивого населения, - количество инфицированных, - количество удаленного населения (либо в результате смерти, либо в результате выздоровления), и является суммой этих трех.${\ displaystyle S}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle N}$

Эта модель была впервые предложена Уильямом Огилви Кермаком и Андерсоном Греем Маккендриком как частный случай того, что мы теперь называем теорией Кермака – Маккендрика , и следовала за работой Маккендрика с Рональдом Россом .

Эта система является нелинейной , однако ее аналитическое решение можно получить в неявной форме. ^[5] Во-первых, обратите внимание, что от:

${\ displaystyle {\ frac {dS} {dt}} + {\ frac {dI} {dt}} + {\ frac {dR} {dt}} = 0,}$

следует, что:

${\ Displaystyle S (t) + I (t) + R (t) = {\ text {constant}} = N,}$

выражая в математических терминах постоянство населения . Обратите внимание, что указанная выше взаимосвязь подразумевает, что нужно только изучить уравнение для двух из трех переменных.${\ displaystyle N}$

Во-вторых, отметим, что динамика инфекционного класса зависит от следующего соотношения:

${\ displaystyle R_ {0} = {\ frac {\ beta} {\ gamma}},}$

так называемое базовое число воспроизведения (также называемое базовым коэффициентом воспроизведения). Это соотношение рассчитывается как ожидаемое количество новых инфекций (эти новые инфекции иногда называют вторичными инфекциями) от одной инфекции в популяции, где все субъекты восприимчивы. ^{[11] [12]} Эту идею, вероятно, будет легче увидеть, если мы скажем, что типичное время между контактами составляет , а типичное время до удаления составляет . Отсюда следует, что, в среднем, количество контактов инфекционного человека с другими людьми до того, как инфекционное заболевание будет удалено, составляет:${\ displaystyle T_ {c} = \ beta ^ {- 1}}$${\ displaystyle T_ {r} = \ gamma ^ {- 1}}$${\ displaystyle T_ {r} / T_ {c}.}$

Разделив первое дифференциальное уравнение на третье, разделив переменные и интегрировав, мы получим

${\ Displaystyle S (t) = S (0) e ^ {- R_ {0} (R (t) -R (0)) / N},}$

где и - начальное количество соответственно восприимчивых и удаленных субъектов. Запись для начальной доли восприимчивых лиц, а также и на долю восприимчивых индивидуумов и удаленных соответственно в пределе одной есть ${\ Displaystyle S (0)}$${\displaystyle R(0)}$${\displaystyle s_{0}=S(0)/N}$${\displaystyle s_{\infty }=S(\infty )/N}$${\displaystyle r_{\infty }=R(\infty )/N}$${\displaystyle t\to \infty ,}$

${\displaystyle s_{\infty }=1-r_{\infty }=s_{0}e^{-R_{0}(r_{\infty }-r_{0})}}$

(обратите внимание, что инфекционный отсек опустеет в этом пределе). Это уравнение трансцендентное имеет решение в терминах Ламберта W функции , ^[13] , а именно

${\displaystyle s_{\infty }=1-r_{\infty }=-R_{0}^{-1}\,W(-s_{0}R_{0}e^{-R_{0}(1-r_{0})}).}$

Это показывает, что в конце эпидемии, которая соответствует простым предположениям модели SIR, если не все особи популяции были удалены, поэтому некоторые должны оставаться уязвимыми. Движущей силой, ведущей к прекращению эпидемии, является снижение числа инфекционных людей. Эпидемия обычно не заканчивается из-за полного отсутствия восприимчивых людей. ${\displaystyle s_{0}=0}$

Чрезвычайно важна роль как основного репродуктивного числа, так и начальной восприимчивости. Фактически, переписав уравнение для инфекционных индивидуумов следующим образом:

${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}=\left(R_{0}{\frac {S}{N}}-1\right)\gamma I,}$

это дает, если:

${\displaystyle R_{0}\cdot S(0)>N,}$

тогда:

${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}(0)>0,}$

т.е. произойдет настоящая эпидемическая вспышка с увеличением числа инфекционных (которые могут достигнуть значительной части населения). Напротив, если

${\displaystyle R_{0}\cdot S(0)<N,}$

тогда

${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}(0)<0,}$

то есть, независимо от первоначального размера восприимчивой популяции, болезнь никогда не может вызвать надлежащую эпидемическую вспышку. Как следствие, ясно, что как базовое число воспроизводства, так и начальная восприимчивость чрезвычайно важны.

Сила заражения [ править ]

Обратите внимание, что в приведенной выше модели функция:

${\displaystyle F=\beta I,}$

моделирует скорость перехода из компартмента восприимчивых индивидов в компартмент инфекционных индивидов, так что это называется силой инфекции . Однако для больших классов инфекционных заболеваний более реалистично рассматривать силу заражения, которая зависит не от абсолютного количества инфекционных субъектов, а от их доли (по отношению к общей постоянной популяции ):${\displaystyle N}$

${\displaystyle F=\beta {\frac {I}{N}}.}$

Капассо ^[14] и впоследствии другие авторы предложили нелинейные силы заражения для более реалистичного моделирования процесса заражения.

Точные аналитические решения модели SIR [ править ]

В 2014 году Харко и соавторы получили точное так называемое аналитическое решение (включающее интеграл, который можно вычислить только численно) модели SIR. ^[5] В случае без настройки динамики жизнедеятельности, при и т. Д., Это соответствует следующей параметризации времени${\displaystyle {\mathcal {S}}(u)=S(t)}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}(u)=S(0)u}$

${\displaystyle {\mathcal {I}}(u)=N-{\mathcal {R}}(u)-{\mathcal {S}}(u)}$

${\displaystyle {\mathcal {R}}(u)=R(0)-\rho \ln(u)}$

для

${\displaystyle t={\frac {N}{\beta }}\int _{u}^{1}{\frac {du^{*}}{u^{*}{\mathcal {I}}(u^{*})}},\quad \rho ={\frac {\gamma N}{\beta }},}$

с начальными условиями

${\displaystyle ({\mathcal {S}}(1),{\mathcal {I}}(1),{\mathcal {R}}(1))=(S(0),N-R(0)-S(0),R(0)),\quad u_{T}<u<1,}$

где удовлетворяет . Из трансцендентного уравнения для выше следует, что , если и .${\displaystyle u_{T}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}(u_{T})=0}$${\displaystyle R_{\infty }}$${\displaystyle u_{T}=e^{-(R_{\infty }-R(0))/\rho }(=S_{\infty }/S(0)}$${\displaystyle S(0)\neq 0)}$${\displaystyle I_{\infty }=0}$

Эквивалентное так называемое аналитическое решение (включающее интеграл, который можно вычислить только численно), найденное Миллером ^{[15] [16],} дает

${\displaystyle {\begin{aligned}S(t)&=S(0)e^{-\xi (t)}\\[8pt]I(t)&=N-S(t)-R(t)\\[8pt]R(t)&=R(0)+\rho \xi (t)\\[8pt]\xi (t)&={\frac {\beta }{N}}\int _{0}^{t}I(t^{*})\,dt^{*}\end{aligned}}}$

Здесь можно интерпретировать как ожидаемое количество передач, полученных человеком за время . Эти два решения связаны между собой .${\displaystyle \xi (t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle e^{-\xi (t)}=u}$

Фактически тот же результат можно найти в оригинальной работе Кермака и МакКендрика. ^[4]

Эти решения можно легко понять, заметив, что все члены в правых частях исходных дифференциальных уравнений пропорциональны . Уравнения Таким образом , можно разделить насквозь , и время масштабируется так , что дифференциальный оператор на стороне левой руки становится просто , где , то есть . Теперь все дифференциальные уравнения являются линейными, а третье уравнение формы const. Показывает, что и (и выше) просто линейно связаны.${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle d/d\tau }$${\displaystyle d\tau =Idt}$${\displaystyle \tau =\int Idt}$${\displaystyle dR/d\tau =}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle R}$${\displaystyle \xi }$

Высокоточная аналитическая аппроксимация модели SIR была предоставлена Крегером и Шликкейзером ^[7], так что нет необходимости выполнять численное интегрирование для решения модели SIR, для получения ее параметров из существующих данных или для прогнозирования будущей динамики. эпидемий, смоделированных с помощью модели SIR. Аппроксимация включает функцию Ламберта W, которая является частью всего основного программного обеспечения для визуализации данных, такого как Microsoft Excel , MATLAB и Mathematica .

Модель SIR с жизненной динамикой и постоянным населением [ править ]

Рассмотрим популяцию, характеризующуюся уровнем смертности и рождаемости , и где распространяется инфекционное заболевание. ^[6] Модель с трансмиссией массового действия:${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\Lambda -\mu S-{\frac {\beta IS}{N}}\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&={\frac {\beta IS}{N}}-\gamma I-\mu I\\[8pt]{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I-\mu R\end{aligned}}}$

для которых безболезненное равновесие (DFE) равно:

${\displaystyle \left(S(t),I(t),R(t)\right)=\left({\frac {\Lambda }{\mu }},0,0\right).}$

В этом случае мы можем получить базовый номер репродукции :

${\displaystyle R_{0}={\frac {\beta }{\mu +\gamma }},}$

который имеет пороговые свойства. Фактически, независимо от биологически значимых исходных значений, можно показать, что:

${\displaystyle R_{0}\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to \infty }(S(t),I(t),R(t))={\textrm {DFE}}=\left({\frac {\Lambda }{\mu }},0,0\right)}$

${\displaystyle R_{0}>1,I(0)>0\Rightarrow \lim _{t\to \infty }(S(t),I(t),R(t))={\textrm {EE}}=\left({\frac {\gamma +\mu }{\beta }},{\frac {\mu }{\beta }}\left(R_{0}-1\right),{\frac {\gamma }{\beta }}\left(R_{0}-1\right)\right).}$

Точка EE называется эндемическим равновесием (болезнь не искоренена полностью и остается в популяции). С помощью эвристических аргументов можно показать, что это может быть прочитано как среднее количество инфекций, вызванных одним заразным субъектом в полностью восприимчивой популяции, указанная выше взаимосвязь биологически означает, что если это число меньше или равно единице, болезнь вымирает, тогда как если это число больше единицы, болезнь останется постоянно эндемичной для населения.${\displaystyle R_{0}}$

Модель SIR [ править ]

Диаграмма модели SIR с начальными значениями и коэффициентами заражения и выздоровления${\textstyle S(0)=997,I(0)=3,R(0)=0}$${\textstyle \beta =0.4}$${\textstyle \gamma =0.04}$

Анимация модели SIR с начальными значениями и скоростью восстановления . Анимация показывает эффект снижения скорости заражения с до . Если нет доступных лекарств или вакцинации, снизить уровень инфицирования (часто называемое « сглаживанием кривой ») можно только с помощью соответствующих мер, таких как социальное дистанцирование.${\textstyle S(0)=997,I(0)=3,R(0)=0}$${\textstyle \gamma =0.04}$${\textstyle \beta =0.5}$${\textstyle \beta =0.12}$

В 1927 году, WO Kermack и AG Маккендрик создали модель , в которой они считали фиксированное население только с тремя отделениями: восприимчивыми, ; инфицированных, ; и извлекают, . Отсеки, используемые в этой модели, состоят из трех классов: ^[4]${\displaystyle S(t)}$${\displaystyle I(t)}$${\displaystyle R(t)}$

• ${\displaystyle S(t)}$ используется для представления людей, еще не инфицированных заболеванием в момент времени t, или людей, восприимчивых к заболеванию в популяции.
• ${\displaystyle I(t)}$ обозначает людей из населения, которые были инфицированы этим заболеванием и способны распространить болезнь среди лиц, относящихся к уязвимой категории.
• ${\displaystyle R(t)}$это отделение, используемое для людей из популяции, которые были инфицированы, а затем удалены от болезни, либо из-за иммунизации, либо из-за смерти. Люди из этой категории не могут снова заразиться или передать инфекцию другим.

Ход этой модели можно рассматривать следующим образом:

${\displaystyle {\color {blue}{{\mathcal {S}}\rightarrow {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {R}}}}}$

Используя фиксированную совокупность, в трех функциях решает, что значение должно оставаться постоянным в рамках моделирования, если моделирование используется для решения модели SIR. В качестве альтернативы можно использовать аналитический аппроксимант ^[7] без проведения моделирования. Модель запускается со значениями , и . Это количество людей в уязвимых, зараженных и удаленных категориях в момент времени, равное нулю. Если предполагается, что модель SIR выполняется все время, эти начальные условия не являются независимыми. ^[7] Впоследствии потоковая модель обновляет три переменные для каждой временной точки с заданными значениями для и${\displaystyle N=S(t)+I(t)+R(t)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle S(t=0)}$${\displaystyle I(t=0)}$${\displaystyle R(t=0)}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \gamma }$. Моделирование сначала обновляет инфицированных от уязвимых, а затем удаленная категория обновляется из зараженной категории для следующего момента времени (t = 1). Это описывает поток людей между тремя категориями. Во время эпидемии категория восприимчивых не меняется в соответствии с этой моделью, изменяется в ходе эпидемии, и то же самое происходит . Эти переменные определяют продолжительность эпидемии и должны обновляться с каждым циклом.${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}=-{\frac {\beta SI}{N}}}$

${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}={\frac {\beta SI}{N}}-\gamma I}$

${\displaystyle {\frac {dR}{dt}}=\gamma I}$

При формулировке этих уравнений было сделано несколько предположений: во-первых, индивидуум в популяции должен рассматриваться как имеющий такую ​​же вероятность, как и любой другой индивидуум, заразиться болезнью со скоростью и равной долей людей, с которыми индивидуум вступает в контакт. в единицу времени. Затем позвольте быть умножением и . Это вероятность передачи, умноженная на частоту контакта. Кроме того, инфицированный человек вступает в контакт с людьми в единицу времени, в то время как только часть из них являются восприимчивыми. Таким образом, у нас есть каждый инфекционный, который может заразить восприимчивых людей, и, следовательно, общее количество восприимчивых, инфицированных инфекционными инфекциями, в единицу времени составляет${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle {\frac {S}{N}}}$${\displaystyle abS=\beta S}$${\displaystyle \beta SI}$. Для второго и третьего уравнений считаем, что популяция, покидающая уязвимый класс, равна числу, попавшему в инфицированный класс. Однако число, равное доле (которая представляет собой средний уровень выздоровления / смертности или средний период заражения) инфекционных заболеваний, покидающих этот класс в единицу времени, чтобы войти в удаленный класс. Эти процессы, которые происходят одновременно, называются Законом действия массы, широко распространенной идеей, согласно которой скорость контакта между двумя группами в популяции пропорциональна размеру каждой из заинтересованных групп. Наконец, предполагается, что скорость инфицирования и выздоровления намного выше, чем временной масштаб рождений и смертей, и поэтому эти факторы игнорируются в этой модели. ^[17]${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle 1/\gamma }$

Устойчивые решения [ править ]

Ожидаемая продолжительность восприимчивости будет где отражает время живого (продолжительность жизни) , и отражает время в состоянии восприимчивого до заражения, который может быть упрощен ^[18] , чтобы:${\displaystyle \operatorname {E} [\min(T_{L}\mid T_{S})]}$${\displaystyle T_{L}}$${\displaystyle T_{S}}$

${\displaystyle \operatorname {E} [\min(T_{L}\mid T_{S})]=\int _{0}^{\infty }e^{-(\mu +\delta )x}\,dx={\frac {1}{\mu +\delta }},}$

таким образом, чтобы количество восприимчивых людей было числом, попавшим в восприимчивый отсек, умноженным на продолжительность восприимчивости:${\displaystyle \mu N}$

${\displaystyle S={\frac {\mu N}{\mu +\lambda }}.}$

Аналогично, постоянное количество инфицированных людей - это количество, перешедшее в инфицированное состояние из восприимчивого состояния (число восприимчивых людей, умноженное на скорость инфекции, умноженную на продолжительность заразности :${\displaystyle \lambda ={\tfrac {\beta I}{N}},}$${\displaystyle {\tfrac {1}{\mu +v}}}$

${\displaystyle I={\frac {\mu N}{\mu +\lambda }}\lambda {\frac {1}{\mu +v}}.}$

Другие компартментные модели [ править ]

Существует множество модификаций модели SIR, в том числе те, которые включают рождение и смерть, где после выздоровления нет иммунитета (модель SIS), где иммунитет длится только в течение короткого периода времени (SIRS), где есть латентный период заболевание, при котором человек не заразен ( SEIS и SEIR ) и при котором младенцы могут родиться с иммунитетом (MSIR).

Варианты базовой модели SIR [ править ]

Модель SIS [ править ]

Некоторые инфекции, например, простуда или грипп , не вызывают длительного иммунитета. Такие инфекции не дают иммунитета после выздоровления от инфекции, и люди снова становятся восприимчивыми.

У нас есть модель:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=-{\frac {\beta SI}{N}}+\gamma I\\[6pt]{\frac {dI}{dt}}&={\frac {\beta SI}{N}}-\gamma I\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что, обозначая N общую численность населения, мы получаем следующее:

${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}+{\frac {dI}{dt}}=0\Rightarrow S(t)+I(t)=N}$.

Следует, что:

${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}=(\beta -\gamma )I-{\frac {\beta }{N}}I^{2}}$,

т.е. динамикой инфекционных заболеваний управляет логистическая функция , так что :${\displaystyle \forall I(0)>0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\beta }{\gamma }}\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }I(t)=0,\\[6pt]&{\frac {\beta }{\gamma }}>1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }I(t)=\left(1-{\frac {\gamma }{\beta }}\right)N.\end{aligned}}}$

Можно найти аналитическое решение этой модели (сделав преобразование переменных и подставив его в уравнения среднего поля) ^[19], такое, что базовая скорость воспроизводства будет больше единицы. Решение дается как${\displaystyle I=y^{-1}}$

${\displaystyle I(t)={\frac {I_{\infty }}{1+Ve^{-\chi t}}}}$.

где - эндемичная инфекционная популяция , и . Поскольку предполагается, что система закрыта, тогда восприимчивая популяция будет .${\displaystyle I_{\infty }=(1-\gamma /\beta )N}$${\displaystyle \chi =\beta -\gamma }$${\displaystyle V=I_{\infty }/I_{0}-1}$${\displaystyle S(t)=N-I(t)}$

В качестве особого случая можно получить обычную логистическую функцию, предположив . Это также можно учесть в модели SIR , т. Е. Удаление не будет происходить. Это модель SI . ^[20] Таким образом, использование системы дифференциальных уравнений сводится к:${\displaystyle \gamma =0}$${\displaystyle R=0}$${\displaystyle S=N-I}$

${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}\propto I\cdot (N-I).}$

В долгосрочной перспективе в модели SI все люди будут инфицированы. Для оценки эпидемического порога в модели SIS в сетях см. Parshani et al. ^[21]

Модель SIRD [ править ]

Диаграмма модели SIRD с исходными значениями и темпами инфицирования , выздоровления и смертности${\displaystyle S(0)=997,I(0)=3,R(0)=0}$${\displaystyle \beta =0.4}$${\displaystyle \gamma =0.035}$${\displaystyle \mu =0.005}$

Анимация модели SIRD с начальными значениями , показателями выздоровления и смертности . Анимация показывает эффект снижения скорости заражения с до . Если нет доступных лекарств или вакцинации, снизить уровень инфицирования (часто называемое «сглаживанием кривой») можно только с помощью таких мер, как «социальное дистанцирование».${\textstyle S(0)=997,I(0)=3,R(0)=0}$${\textstyle \gamma =0.035}$${\textstyle \mu =0.005}$${\textstyle \beta =0.5}$${\textstyle \beta =0.12}$

Модель « восприимчиво-инфекционно-выздоровевшие-умершие» различает « выздоровевших» (то есть людей, переживших болезнь и получивших иммунитет) и умерших . ^{[11] В} этой модели используется следующая система дифференциальных уравнений:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dS}{dt}}=-{\frac {\beta IS}{N}},\\[6pt]&{\frac {dI}{dt}}={\frac {\beta IS}{N}}-\gamma I-\mu I,\\[6pt]&{\frac {dR}{dt}}=\gamma I,\\[6pt]&{\frac {dD}{dt}}=\mu I,\end{aligned}}}$

где - уровни инфицирования, выздоровления и смертности соответственно. ^[22]${\displaystyle \beta ,\gamma ,\mu }$

Модель MSIR [ править ]

При многих инфекциях, включая корь , младенцы не рождаются в восприимчивом компартменте, но обладают иммунитетом к заболеванию в течение первых нескольких месяцев жизни благодаря защите от материнских антител (передающихся через плаценту и дополнительно через молозиво ). Это называется пассивным иммунитетом . Эту дополнительную деталь можно показать, включив в начало модели класс M (для материнского иммунитета).

Чтобы обозначить это математически, добавлен дополнительный отсек M ( t ) . Это приводит к следующим дифференциальным уравнениям:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dM}{dt}}&=\Lambda -\delta M-\mu M\\[8pt]{\frac {dS}{dt}}&=\delta M-{\frac {\beta SI}{N}}-\mu S\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&={\frac {\beta SI}{N}}-\gamma I-\mu I\\[8pt]{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I-\mu R\end{aligned}}}$

Состояние оператора [ править ]

Некоторые люди, перенесшие инфекционное заболевание, такое как туберкулез, никогда полностью не выздоравливают и продолжают переносить инфекцию, хотя сами не страдают этим заболеванием. Затем они могут вернуться в инфекционный отсек и страдать от симптомов (как при туберкулезе) или они могут продолжать инфицировать других в состоянии своего носительства, не испытывая при этом симптомов. Самым известным примером этого, вероятно, является Мэри Мэллон , которая заразила 22 человека брюшным тифом . Отсек для переноски обозначен буквой C.

Модель SEIR [ править ]

Для многих важных инфекций существует значительный инкубационный период, в течение которого люди были инфицированы, но сами еще не заразны. В этот период человек находится в отсеке E (для облученных).

Предполагая, что инкубационный период является случайной величиной с экспоненциальным распределением с параметром (т. Е. Средний инкубационный период равен ), а также предполагая наличие жизненной динамики с коэффициентом рождаемости, равным уровню смертности (чтобы общее число было постоянным), мы имеем модель:${\displaystyle a}$${\displaystyle a^{-1}}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle N\mu }$${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\mu N-\mu S-{\frac {\beta IS}{N}}\\[8pt]{\frac {dE}{dt}}&={\frac {\beta IS}{N}}-(\mu +a)E\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&=aE-(\gamma +\mu )I\\[8pt]{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I-\mu R.\end{aligned}}}$

У нас есть, но это постоянно только из-за упрощающего предположения, что уровни рождаемости и смертности равны; в общем это переменная.${\displaystyle S+E+I+R=N,}$${\displaystyle N}$

Для этой модели базовый номер репродукции:

${\displaystyle R_{0}={\frac {a}{\mu +a}}{\frac {\beta }{\mu +\gamma }}.}$

Подобно модели SIR, также и в этом случае мы имеем равновесие без болезней ( N , 0,0,0) и эндемическое равновесие EE, и можно показать, что независимо от биологически значимых начальных условий

${\displaystyle \left(S(0),E(0),I(0),R(0)\right)\in \left\{(S,E,I,R)\in [0,N]^{4}:S\geq 0,E\geq 0,I\geq 0,R\geq 0,S+E+I+R=N\right\}}$

он утверждает, что:

${\displaystyle R_{0}\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }\left(S(t),E(t),I(t),R(t)\right)=DFE=(N,0,0,0),}$

${\displaystyle R_{0}>1,I(0)>0\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }\left(S(t),E(t),I(t),R(t)\right)=EE.}$

В случае периодически меняющейся скорости контакта условием глобальной привлекательности DFE является наличие следующей линейной системы с периодическими коэффициентами:${\displaystyle \beta (t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dE_{1}}{dt}}&=\beta (t)I_{1}-(\gamma +a)E_{1}\\[8pt]{\frac {dI_{1}}{dt}}&=aE_{1}-(\gamma +\mu )I_{1}\end{aligned}}}$

устойчиво (т.е. имеет собственные значения Флоке внутри единичной окружности на комплексной плоскости).

Модель SEIS [ править ]

Модель SEIS похожа на модель SEIR (см. Выше) за исключением того, что в конце концов иммунитет не приобретается.

${\displaystyle {\color {blue}{{\mathcal {S}}\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {I}}\to {\mathcal {S}}}}}$

В этой модели инфекция не оставляет никакого иммунитета, поэтому выздоровевшие люди становятся восприимчивыми и возвращаются в отсек S ( t ). Следующие дифференциальные уравнения описывают эту модель:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\Lambda -{\frac {\beta SI}{N}}-\mu S+\gamma I\\[6pt]{\frac {dE}{dt}}&={\frac {\beta SI}{N}}-(\epsilon +\mu )E\\[6pt]{\frac {dI}{dt}}&=\varepsilon E-(\gamma +\mu )I\end{aligned}}}$

Модель MSEIR [ править ]

Для случая заболевания с факторами пассивного иммунитета и латентным периодом существует модель MSEIR.

${\displaystyle \color {blue}{{\mathcal {M}}\to {\mathcal {S}}\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {I}}\to {\mathcal {R}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dM}{dt}}&=\Lambda -\delta M-\mu M\\[6pt]{\frac {dS}{dt}}&=\delta M-{\frac {\beta SI}{N}}-\mu S\\[6pt]{\frac {dE}{dt}}&={\frac {\beta SI}{N}}-(\varepsilon +\mu )E\\[6pt]{\frac {dI}{dt}}&=\varepsilon E-(\gamma +\mu )I\\[6pt]{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I-\mu R\end{aligned}}}$

Модель MSEIRS [ править ]

Модель MSEIRS похожа на MSEIR, но иммунитет в классе R будет временным, так что люди восстановят свою восприимчивость, когда временный иммунитет закончится.

${\displaystyle {\color {blue}{{\mathcal {M}}\to {\mathcal {S}}\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {I}}\to {\mathcal {R}}\to {\mathcal {S}}}}}$

Переменная частота контактов [ править ]

Общеизвестно, что вероятность заболеть не постоянна во времени. По мере развития пандемии реакции на пандемию могут изменить частоту контактов, которая в более простых моделях считается постоянной. Контрмеры, такие как маски, социальное дистанцирование и изоляция, изменят частоту контактов таким образом, чтобы снизить скорость пандемии.

Кроме того, некоторые заболевания носят сезонный характер, например, вирусы простуды , которые чаще встречаются зимой. С детскими болезнями, такими как корь, паротит и краснуха, существует сильная корреляция со школьным календарем, так что во время школьных каникул вероятность заболеть такой болезнью резко снижается. Как следствие, для многих классов заболеваний следует учитывать силу инфекции с периодически («сезонной») изменяющейся частотой контактов.

${\displaystyle F=\beta (t){\frac {I}{N}},\quad \beta (t+T)=\beta (t)}$

с периодом T равным одному году.

Таким образом, наша модель становится

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\mu N-\mu S-\beta (t){\frac {I}{N}}S\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&=\beta (t){\frac {I}{N}}S-(\gamma +\mu )I\end{aligned}}}$

(динамика восстановленного легко следует из ), т.е. нелинейная система дифференциальных уравнений с периодически меняющимися параметрами. Хорошо известно, что в этом классе динамических систем могут происходить очень интересные и сложные явления нелинейного параметрического резонанса. Легко увидеть, что если:${\displaystyle R=N-S-I}$

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}{\frac {\beta (t)}{\mu +\gamma }}\,dt<1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }(S(t),I(t))=DFE=(N,0),}$

тогда как если интеграл больше единицы, болезнь не исчезнет, ​​и могут быть такие резонансы. Например, рассматривая периодически изменяющуюся скорость контакта как «вход» системы, мы получаем, что выход является периодической функцией, период которой кратен периоду входа. Это позволило внести вклад в объяснение многолетних (обычно двухгодичных) эпидемических вспышек некоторых инфекционных заболеваний как взаимодействия между периодом колебаний скорости контакта и псевдопериодом затухающих колебаний вблизи эндемического равновесия. Примечательно, что в некоторых случаях поведение также может быть квазипериодическим или даже хаотическим.

Модель SIR с диффузией [ править ]

Пространственно-временные компартментальные модели описывают не общее количество, а плотность восприимчивых / инфицированных / выздоровевших людей. Следовательно, они также позволяют моделировать распределение инфицированных людей в космосе. В большинстве случаев это достигается путем объединения модели SIR с уравнением диффузии.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\partial _{t}S=D_{S}\nabla ^{2}S-{\frac {\beta IS}{N}},\\[6pt]&\partial _{t}I=D_{I}\nabla ^{2}I+{\frac {\beta IS}{N}}-\gamma I,\\[6pt]&\partial _{t}R=D_{R}\nabla ^{2}R+\gamma I,\end{aligned}}}$

где , и - константы диффузии. Таким образом, получается уравнение реакции-диффузии. (Обратите внимание, что по причинам измерения параметр должен быть изменен по сравнению с простой моделью SIR.) Ранние модели этого типа использовались для моделирования распространения черной смерти в Европе. ^[23] Расширения этой модели использовались для включения, например, эффектов нефармацевтических вмешательств, таких как социальное дистанцирование. ^[24]${\displaystyle D_{S}}$${\displaystyle D_{I}}$${\displaystyle D_{R}}$${\displaystyle \beta }$

Моделирование вакцинации [ править ]

Модель SIR может быть изменена для моделирования вакцинации. ^[25] Обычно они вводят дополнительный отсек в модель SIR для вакцинированных лиц. Ниже приведены некоторые примеры.${\displaystyle V}$

Вакцинация новорожденных [ править ]

При наличии инфекционного заболевания одной из основных задач является его искоренение с помощью профилактических мер и, если возможно, путем создания программы массовой вакцинации. Рассмотрим болезнь, от которой новорожденных вакцинируют (вакциной, дающей пожизненный иммунитет) со скоростью :${\displaystyle P\in (0,1)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\nu N(1-P)-\mu S-\beta {\frac {I}{N}}S\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&=\beta {\frac {I}{N}}S-(\mu +\gamma )I\\[8pt]{\frac {dV}{dt}}&=\nu NP-\mu V\end{aligned}}}$

где - класс вакцинированных лиц. Немедленно показать, что:${\displaystyle V}$

${\displaystyle \lim _{t\to +\infty }V(t)=NP,}$

таким образом, мы будем иметь дело с долгосрочным поведением и , для которого он считает, что:${\displaystyle S}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle R_{0}(1-P)\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }\left(S(t),I(t)\right)=DFE=\left(N\left(1-P\right),0\right)}$

${\displaystyle R_{0}(1-P)>1,\quad I(0)>0\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }\left(S(t),I(t)\right)=EE=\left({\frac {N}{R_{0}(1-P)}},N\left(R_{0}(1-P)-1\right)\right).}$

Другими словами, если

${\displaystyle P<P^{*}=1-{\frac {1}{R_{0}}}}$

Программа вакцинации не увенчалась успехом в искоренении болезни, напротив, она останется эндемичной, хотя и на более низком уровне, чем в случае отсутствия вакцинации. Это означает, что математическая модель предполагает, что от болезни, базовое число воспроизводимых которой может достигать 18, необходимо вакцинировать не менее 94,4% новорожденных, чтобы искоренить болезнь.

Вакцинация и информация [ править ]

Современное общество сталкивается с проблемой «рационального» исключения, то есть решения семьи не вакцинировать детей в результате «рационального» сравнения между предполагаемым риском заражения и риском нанесения ущерба от вакцины. Чтобы оценить, действительно ли такое поведение рационально, то есть может ли оно в равной степени привести к искоренению болезни, можно просто предположить, что частота вакцинации является возрастающей функцией количества инфекционных субъектов:

${\displaystyle P=P(I),\quad P'(I)>0.}$

В таком случае условием искоренения становится:

${\displaystyle P(0)\geq P^{*},}$

т.е. базовый уровень вакцинации должен быть выше порога «обязательной вакцинации», который, в случае исключения, не может соблюдаться. Таким образом, «рациональное» исключение может быть близоруким, поскольку оно основано только на текущем низком уровне заболеваемости из-за высокого охвата вакцинацией, а не на учете будущего возобновления инфекции из-за снижения охвата.

Вакцинация не новорожденных [ править ]

В случае вакцинации не новорожденных со скоростью ρ уравнение для восприимчивого и вакцинированного субъекта должно быть изменено следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\mu N(1-P)-\mu S-\rho S-\beta {\frac {I}{N}}S\\[8pt]{\frac {dV}{dt}}&=\mu NP+\rho S-\mu V\end{aligned}}}$

что приводит к следующему условию искоренения:

${\displaystyle P\geq 1-\left(1+{\frac {\rho }{\mu }}\right){\frac {1}{R_{0}}}}$

Стратегия импульсной вакцинации [ править ]

Эта стратегия позволяет многократно вакцинировать определенную возрастную группу (например, детей раннего возраста или пожилых людей) из уязвимой группы населения с течением времени. Используя эту стратегию, затем немедленно удаляется блок восприимчивых людей, что позволяет ликвидировать инфекционное заболевание (например, корь) у всего населения. Каждые T единиц времени вакцинируют постоянную долю p восприимчивых субъектов за относительно короткое (по отношению к динамике болезни) время. Это приводит к следующим импульсным дифференциальным уравнениям для восприимчивых и вакцинированных субъектов:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\mu N-\mu S-\beta {\frac {I}{N}}S,\quad S(nT^{+})=(1-p)S(nT^{-}),&&n=0,1,2,\ldots \\[8pt]{\frac {dV}{dt}}&=-\mu V,\quad V(nT^{+})=V(nT^{-})+pS(nT^{-}),&&n=0,1,2,\ldots \end{aligned}}}$

Легко видеть, что, задав I = 0, можно получить, что динамика восприимчивых субъектов определяется выражением:

${\displaystyle S^{*}(t)=1-{\frac {p}{1-(1-p)E^{-\mu T}}}E^{-\mu MOD(t,T)}}$

и что условие искоренения:

${\displaystyle R_{0}\int _{0}^{T}S^{*}(t)\,dt<1}$

Влияние возраста: возрастные модели [ править ]

Возраст оказывает сильное влияние на скорость распространения болезни среди населения, особенно на частоту контактов. Этот показатель суммирует эффективность контактов между восприимчивыми и инфекционными субъектами. Принимая во внимание возраст эпидемических классов (чтобы ограничиться схемой «восприимчивые-инфекционные-удаленные»), такой, что:${\displaystyle s(t,a),i(t,a),r(t,a)}$

${\displaystyle S(t)=\int _{0}^{a_{M}}s(t,a)\,da}$

${\displaystyle I(t)=\int _{0}^{a_{M}}i(t,a)\,da}$

${\displaystyle R(t)=\int _{0}^{a_{M}}r(t,a)\,da}$

(где - максимально допустимый возраст) и их динамика описывается, как можно было бы подумать, не "простыми" дифференциальными уравнениями в частных производных, а интегро-дифференциальными уравнениями :${\displaystyle a_{M}\leq +\infty }$

${\displaystyle \partial _{t}s(t,a)+\partial _{a}s(t,a)=-\mu (a)s(a,t)-s(a,t)\int _{0}^{a_{M}}k(a,a_{1};t)i(a_{1},t)\,da_{1}}$

${\displaystyle \partial _{t}i(t,a)+\partial _{a}i(t,a)=s(a,t)\int _{0}^{a_{M}}{k(a,a_{1};t)i(a_{1},t)da_{1}}-\mu (a)i(a,t)-\gamma (a)i(a,t)}$

${\displaystyle \partial _{t}r(t,a)+\partial _{a}r(t,a)=-\mu (a)r(a,t)+\gamma (a)i(a,t)}$

где:

${\displaystyle F(a,t,i(\cdot ,\cdot ))=\int _{0}^{a_{M}}k(a,a_{1};t)i(a_{1},t)\,da_{1}}$

- это сила заражения, которая, конечно, будет зависеть, хотя ядро ​​контакта, от взаимодействий между возрастами.${\displaystyle k(a,a_{1};t)}$

Сложность добавляют начальные условия для новорожденных (т.е. при a = 0), которые просты для инфекционных и устраняются:

${\displaystyle i(t,0)=r(t,0)=0}$

но это нелокально для плотности восприимчивых новорожденных:

${\displaystyle s(t,0)=\int _{0}^{a_{M}}\left(\varphi _{s}(a)s(a,t)+\varphi _{i}(a)i(a,t)+\varphi _{r}(a)r(a,t)\right)\,da}$

где оплодотворение взрослых особей.${\displaystyle \varphi _{j}(a),j=s,i,r}$

Более того, определяя теперь плотность всего населения, получаем:${\displaystyle n(t,a)=s(t,a)+i(t,a)+r(t,a)}$

${\displaystyle \partial _{t}n(t,a)+\partial _{a}n(t,a)=-\mu (a)n(a,t)}$

В простейшем случае равной рождаемости в трех эпидемических классах мы имеем, что для достижения демографического равновесия должно выполняться следующее необходимое и достаточное условие, связывающее рождаемость со смертностью :${\displaystyle \varphi (.)}$${\displaystyle \mu (a)}$

${\displaystyle 1=\int _{0}^{a_{M}}\varphi (a)\exp \left(-\int _{0}^{a}{\mu (q)dq}\right)\,da}$

и демографическое равновесие

${\displaystyle n^{*}(a)=C\exp \left(-\int _{0}^{a}\mu (q)\,dq\right),}$

автоматическое обеспечение существования безболезненного решения:

${\displaystyle DFS(a)=(n^{*}(a),0,0).}$

Базовое число воспроизведения может быть вычислено как спектральный радиус соответствующего функционального оператора.

Другие соображения в рамках компартментных моделей эпидемии [ править ]

Вертикальная передача [ править ]

В случае некоторых заболеваний, таких как СПИД и гепатит B, дети инфицированных родителей могут родиться инфицированными. Эта передача болезни от матери называется вертикальной передачей. Приток дополнительных членов в зараженную категорию можно учесть в модели, включив часть новорожденных членов в инфицированный компартмент. ^[26]

Векторная передача [ править ]

Болезни, передающиеся от человека человеку косвенно, например, малярия, передающаяся через комаров, передаются через переносчиков. В этих случаях инфекция передается от человека к насекомому, и модель эпидемии должна включать оба вида, что обычно требует гораздо большего количества компартментов, чем модель прямой передачи. ^{[26] [27]}

Другое [ править ]

Другие случаи, которые, возможно, необходимо учитывать при моделировании эпидемии, включают такие вещи, как следующее: ^[26]

• Неоднородное перемешивание
• Переменная заразительность
• Распределения, которые пространственно неоднородны
• Заболевания, вызванные макропаразитами

Детерминированные модели эпидемии в сравнении со стохастическими [ править ]

Важно подчеркнуть, что представленные здесь детерминированные модели действительны только в случае достаточно больших популяций, и поэтому их следует использовать с осторожностью. ^[28]

Чтобы быть более точным, эти модели действительны только в термодинамическом пределе , где населенность фактически бесконечна. В стохастических моделях долгосрочное эндемическое равновесие, полученное выше, не выполняется, поскольку существует конечная вероятность того, что число инфицированных людей в системе упадет ниже одного. В настоящей системе патоген может не размножаться, поскольку ни один хозяин не будет инфицирован. Но в детерминированных моделях среднего поля количество зараженных может принимать реальные, а именно нецелые значения зараженных хостов, а количество хостов в модели может быть меньше единицы, но больше нуля, что позволяет патоген в модели для размножения. Надежность разделенных моделей ограничена разделенными приложениями.

Одно из возможных расширений моделей среднего поля рассматривает распространение эпидемий в сети на основе концепций теории перколяции. ^[29] Стохастические модели эпидемии изучались в различных сетях ^{[30] [31] [32]} и недавно были применены к пандемии COVID-19 . ^[33]

См. Также [ править ]

• Математическое моделирование в эпидемиологии
• Модифицируемая проблема площадных единиц
• Матрица следующего поколения
• Оценка рисков
• Скорость атаки
• Список имитационных моделей COVID-19

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Мэй, Роберт М .; Андерсон, Рой М. (1991). Инфекционные болезни человека: динамика и контроль . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-854040-X.
• Винницкий, Э .; Уайт, RG, ред. (2010). Введение в моделирование инфекционных заболеваний . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-856576-5.
• Капассо, Винченцо (2008). Математические структуры эпидемических систем. 2-я печать . Гейдельберг: Springer. ISBN 978-3-540-56526-0.

Внешние ссылки [ править ]

• Модель SIR: онлайн-эксперименты с JSXGraph
• «Имитация эпидемии» . 3Синий1Коричневый . 27 марта 2020 г. - через YouTube .